MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunifi 9293
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4913 . . . 4 (𝑆 = ∅ → 𝑆 = ∅)
2 uni0 4932 . . . . 5 ∅ = ∅
3 peano1 7875 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3eqeltri 2823 . . . 4 ∅ ∈ ω
51, 4eqeltrdi 2835 . . 3 (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ ω)
65adantl 481 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ ω)
7 simpll 764 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8 omsson 7855 . . . . 5 ω ⊆ On
97, 8sstrdi 3989 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10 simplr 766 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12 ordunifi 9292 . . . 4 ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
147, 13sseldd 3978 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ω)
156, 14pm2.61dane 3023 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wss 3943  c0 4317   cuni 4902  Oncon0 6357  ωcom 7851  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10229  isf32lem5  10351  finxpreclem4  36781
  Copyright terms: Public domain W3C validator