Theorem nnunifi 9251

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi	⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4887	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 = ∪ ∅)
2		uni0 4905	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3		peano1 7885	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	eqeltri 2865	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltrdi 2877	. . 3 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 ∈ ω)
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
7		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8		omsson 7866	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
9	7, 8	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12		ordunifi 9250	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
14	7, 13	sseldd 3946	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
15	6, 14	pm2.61dane 3051	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∪ cuni 4876  Oncon0 6361  ωcom 7862  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-en 8944  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10217  isf32lem5  10341  fineqvnttrclselem1  35457  finxpreclem4  37928