Theorem nnunifi 9247

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi	⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4883	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 = ∪ ∅)
2		uni0 4901	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3		peano1 7881	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	eqeltri 2859	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 ∈ ω)
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
7		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8		omsson 7862	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
9	7, 8	sstrdi 3949	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12		ordunifi 9246	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
14	7, 13	sseldd 3938	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
15	6, 14	pm2.61dane 3045	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  Oncon0 6360  ωcom 7858  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10213  isf32lem5  10336  fineqvnttrclselem1  35534  finxpreclem4  38060