MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunifi 9325
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4923 . . . 4 (𝑆 = ∅ → 𝑆 = ∅)
2 uni0 4942 . . . . 5 ∅ = ∅
3 peano1 7900 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3eqeltri 2825 . . . 4 ∅ ∈ ω
51, 4eqeltrdi 2837 . . 3 (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ ω)
65adantl 480 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ ω)
7 simpll 765 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8 omsson 7880 . . . . 5 ω ⊆ On
97, 8sstrdi 3994 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10 simplr 767 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11 simpr 483 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12 ordunifi 9324 . . . 4 ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
147, 13sseldd 3983 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ω)
156, 14pm2.61dane 3026 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wss 3949  c0 4326   cuni 4912  Oncon0 6374  ωcom 7876  Fincfn 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7877  df-en 8971  df-fin 8974
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10266  isf32lem5  10388  finxpreclem4  36906
  Copyright terms: Public domain W3C validator