Theorem nnunifi 9309

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi	⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4898	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 = ∪ ∅)
2		uni0 4915	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3		peano1 7892	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 ∈ ω)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
7		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8		omsson 7873	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
9	7, 8	sstrdi 3976	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12		ordunifi 9308	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
14	7, 13	sseldd 3964	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
15	6, 14	pm2.61dane 3018	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  ∪ cuni 4887  Oncon0 6363  ωcom 7869  Fincfn 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-en 8968  df-fin 8971

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10256  isf32lem5  10379  finxpreclem4  37354