Theorem nnunifi 9235

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi	⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4876	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 = ∪ ∅)
2		uni0 4894	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3		peano1 7869	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 ∈ ω)
6	5	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
7		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8		omsson 7850	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
9	7, 8	sstrdi 3948	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12		ordunifi 9234	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
14	7, 13	sseldd 3937	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
15	6, 14	pm2.61dane 3044	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4865  Oncon0 6346  ωcom 7846  Fincfn 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-en 8928  df-fin 8931

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10190  isf32lem5  10314  fineqvnttrclselem1  35417  finxpreclem4  37888