MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunifi 8501
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4681 . . . 4 (𝑆 = ∅ → 𝑆 = ∅)
2 uni0 4702 . . . . 5 ∅ = ∅
3 peano1 7365 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3eqeltri 2855 . . . 4 ∅ ∈ ω
51, 4syl6eqel 2867 . . 3 (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ ω)
65adantl 475 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ ω)
7 simpll 757 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8 omsson 7349 . . . . 5 ω ⊆ On
97, 8syl6ss 3833 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10 simplr 759 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11 simpr 479 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12 ordunifi 8500 . . . 4 ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
139, 10, 11, 12syl3anc 1439 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
147, 13sseldd 3822 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ω)
156, 14pm2.61dane 3057 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wss 3792  c0 4141   cuni 4673  Oncon0 5978  ωcom 7345  Fincfn 8243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-om 7346  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-fin 8247
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9394  isf32lem5  9516  finxpreclem4  33829
  Copyright terms: Public domain W3C validator