Theorem nnunifi 9262

Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnunifi	⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4878	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 = ∪ ∅)
2		uni0 4896	. . . . 5 ⊢ ∪ ∅ = ∅
3		peano1 7886	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ ∪ ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝑆 = ∅ → ∪ 𝑆 ∈ ω)
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
7		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8		omsson 7867	. . . . 5 ⊢ ω ⊆ On
9	7, 8	sstrdi 3943	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12		ordunifi 9261	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)
14	7, 13	sseldd 3932	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∪ 𝑆 ∈ ω)
15	6, 14	pm2.61dane 3042	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∪ 𝑆 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  Oncon0 6357  ωcom 7863  Fincfn 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-en 8954  df-fin 8957

This theorem is used by:  ackbij1lem16  10237  isf32lem5  10360  fineqvnttrclselem1  35648  finxpreclem4  38149