Theorem old0 28255

Description: No surreal is older than ∅. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
old0	⊢ (O‘∅) = ∅

Proof of Theorem old0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6436	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oldval 28250	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → (O‘∅) = ∪ (M “ ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (O‘∅) = ∪ (M “ ∅)
4		ima0 6087	. . 3 ⊢ (M “ ∅) = ∅
5	4	unieqi 4882	. 2 ⊢ ∪ (M “ ∅) = ∪ ∅
6		uni0 4899	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	3, 5, 6	3eqtri 2790	1 ⊢ (O‘∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  ∪ cuni 4870   “ cima 5658  Oncon0 6380  ‘cfv 6558  Mcmade 28238  Ocold 28239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-made 28243  df-old 28244

This theorem is used by:  leftval  28265  rightval  28266  new0  28280  left0s  28309  right0s  28310  lrold  28313