Theorem rightval 27867

Description: The value of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightval	⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rightval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6839	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ( O ‘( bday ‘𝑦)) = ( O ‘( bday ‘𝐴)))
2		breq1 5082	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 <s 𝑥 ↔ 𝐴 <s 𝑥))
3	1, 2	rabeqbidv 3410	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
4		df-right 27848	. . 3 ⊢ R = (𝑦 ∈ No ↦ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
5		fvex 6847	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∈ V
6	5	rabex 5274	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
8	4	fvmptndm 6974	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
9		bdaydm 27767	. . . . . . . . 9 ⊢ dom bday = No
10	9	eleq2i 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom bday ↔ 𝐴 ∈ No )
11		ndmfv 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom bday → ( bday ‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 332	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = ∅)
13	12	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( O ‘∅))
14		old0 27856	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
16	15	rabeqdv 3407	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥})
17		rab0 4321	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅)
19	8, 18	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
20	7, 19	pm2.61i 183	1 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ‘cfv 6492   No csur 27628   <s clts 27629   bday cbday 27630   O cold 27840   R cright 27843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-no 27631  df-bday 27633  df-made 27844  df-old 27845  df-right 27848

This theorem is referenced by:  elright  27869  sltsright  27878  rightssold  27889  right1s  27913  lrold  27914  madebdaylemlrcut  27916  cofcutr  27941  cofcutrtime  27944  addsproplem2  27987