Theorem rightval 27593

Description: The value of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightval	⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rightval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6897	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ( O ‘( bday ‘𝑦)) = ( O ‘( bday ‘𝐴)))
2		breq1 5152	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 <s 𝑥 ↔ 𝐴 <s 𝑥))
3	1, 2	rabeqbidv 3448	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
4		df-right 27580	. . 3 ⊢ R = (𝑦 ∈ No ↦ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
5		fvex 6905	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∈ V
6	5	rabex 5333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
8	4	fvmptndm 7029	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
9		bdaydm 27509	. . . . . . . . 9 ⊢ dom bday = No
10	9	eleq2i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom bday ↔ 𝐴 ∈ No )
11		ndmfv 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom bday → ( bday ‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 330	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = ∅)
13	12	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( O ‘∅))
14		old0 27588	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
16	15	rabeqdv 3446	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥})
17		rab0 4383	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅)
19	8, 18	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
20	7, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544   No csur 27376   <s cslt 27377   bday cbday 27378   O cold 27572   R cright 27575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-1o 8469  df-no 27379  df-bday 27381  df-made 27576  df-old 27577  df-right 27580

This theorem is referenced by:  ssltright  27600  rightssold  27608  right1s  27624  lrold  27625  madebdaylemlrcut  27627  0elright  27639  cofcutr  27646  cofcutrtime  27649  addsproplem2  27689  addsproplem5  27692  addsproplem6  27693  sleadd1  27708  negsproplem5  27742  negsproplem6  27743  negsid  27751  mulsproplem12  27819  precsexlem8  27896  precsexlem9  27897  precsexlem11  27899