Theorem rightval 27856

Description: The value of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightval	⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rightval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6839	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ( O ‘( bday ‘𝑦)) = ( O ‘( bday ‘𝐴)))
2		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 <s 𝑥 ↔ 𝐴 <s 𝑥))
3	1, 2	rabeqbidv 3408	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
4		df-right 27837	. . 3 ⊢ R = (𝑦 ∈ No ↦ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
5		fvex 6847	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∈ V
6	5	rabex 5276	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
8	4	fvmptndm 6973	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
9		bdaydm 27756	. . . . . . . . 9 ⊢ dom bday = No
10	9	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom bday ↔ 𝐴 ∈ No )
11		ndmfv 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom bday → ( bday ‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 331	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = ∅)
13	12	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( O ‘∅))
14		old0 27845	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
16	15	rabeqdv 3405	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥})
17		rab0 4327	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅)
19	8, 18	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
20	7, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492   No csur 27617   <s clts 27618   bday cbday 27619   O cold 27829   R cright 27832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-no 27620  df-bday 27622  df-made 27833  df-old 27834  df-right 27837

This theorem is referenced by:  elright  27858  sltsright  27867  rightssold  27878  right1s  27902  lrold  27903  madebdaylemlrcut  27905  cofcutr  27930  cofcutrtime  27933  addsproplem2  27976