Theorem rightval 27359

Description: The value of the right options function. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rightval	⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rightval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6897	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ( O ‘( bday ‘𝑦)) = ( O ‘( bday ‘𝐴)))
2		breq1 5152	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 <s 𝑥 ↔ 𝐴 <s 𝑥))
3	1, 2	rabeqbidv 3450	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
4		df-right 27346	. . 3 ⊢ R = (𝑦 ∈ No ↦ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑦)) ∣ 𝑦 <s 𝑥})
5		fvex 6905	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∈ V
6	5	rabex 5333	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} ∈ V
7	3, 4, 6	fvmpt 6999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
8	4	fvmptndm 7029	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = ∅)
9		bdaydm 27276	. . . . . . . . 9 ⊢ dom bday = No
10	9	eleq2i 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom bday ↔ 𝐴 ∈ No )
11		ndmfv 6927	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom bday → ( bday ‘𝐴) = ∅)
12	10, 11	sylnbir 331	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = ∅)
13	12	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ( O ‘∅))
14		old0 27354	. . . . . 6 ⊢ ( O ‘∅) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( O ‘( bday ‘𝐴)) = ∅)
16	15	rabeqdv 3448	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥})
17		rab0 4383	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥} = ∅)
19	8, 18	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥})
20	7, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544   No csur 27143   <s cslt 27144   bday cbday 27145   O cold 27338   R cright 27341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-no 27146  df-bday 27148  df-made 27342  df-old 27343  df-right 27346

This theorem is referenced by:  ssltright  27366  rightssold  27374  right1s  27390  lrold  27391  madebdaylemlrcut  27393  0elright  27404  cofcutr  27411  cofcutrtime  27414  addsproplem2  27454  addsproplem5  27457  addsproplem6  27458  sleadd1  27472  negsproplem5  27506  negsproplem6  27507  negsid  27515  mulsproplem12  27583  precsexlem8  27660  precsexlem9  27661  precsexlem11  27663