Theorem newf 27704

Description: The new function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
newf	⊢ N :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem newf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-new 27695	. 2 ⊢ N = (𝑥 ∈ On ↦ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)))
2		madef 27702	. . . . . 6 ⊢ M :On⟶𝒫 No
3	2	ffvelcdmi 7076	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ( M ‘𝑥) ∈ 𝒫 No )
4	3	elpwid 4604	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → ( M ‘𝑥) ⊆ No )
5	4	ssdifssd 4135	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ⊆ No )
6		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ ( M ‘𝑥) ∈ V
7	6	difexi 5319	. . . 4 ⊢ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ V
8	7	elpw 4599	. . 3 ⊢ ((( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No ↔ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ⊆ No )
9	5, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
10	1, 9	fmpti 7104	1 ⊢ N :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3938   ⊆ wss 3941  𝒫 cpw 4595  Oncon0 6355  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534   No csur 27492   M cmade 27688   O cold 27689   N cnew 27690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27495  df-slt 27496  df-bday 27497  df-sslt 27633  df-scut 27635  df-made 27693  df-new 27695

This theorem is referenced by:  newssno  27708