Theorem newf 27778

Description: The new function is a function from ordinals to sets of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 6-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
newf	⊢ N :On⟶𝒫 No

Proof of Theorem newf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-new 27769	. 2 ⊢ N = (𝑥 ∈ On ↦ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)))
2		madef 27776	. . . . . 6 ⊢ M :On⟶𝒫 No
3	2	ffvelcdmi 7087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → ( M ‘𝑥) ∈ 𝒫 No )
4	3	elpwid 4607	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → ( M ‘𝑥) ⊆ No )
5	4	ssdifssd 4138	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ On → (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ⊆ No )
6		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ( M ‘𝑥) ∈ V
7	6	difexi 5324	. . . 4 ⊢ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ V
8	7	elpw 4602	. . 3 ⊢ ((( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No ↔ (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ⊆ No )
9	5, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ On → (( M ‘𝑥) ∖ ( O ‘𝑥)) ∈ 𝒫 No )
10	1, 9	fmpti 7116	1 ⊢ N :On⟶𝒫 No

Syntax hints:   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3942   ⊆ wss 3945  𝒫 cpw 4598  Oncon0 6363  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542   No csur 27566   M cmade 27762   O cold 27763   N cnew 27764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-made 27767  df-new 27769

This theorem is referenced by:  newssno  27782