Theorem omge2 43652

Description: Any nonzero ordinal product is greater-than-or-equal to the term on the right. Lemma 3.12 of [Schloeder] p. 9. See omword2 8511. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omge2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))

Proof of Theorem omge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ↔ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
2	1	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
3		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4		on0eln0 6382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	2, 3, 6	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
8		omword2 8511	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))
9	7, 8	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  Oncon0 6325  (class class class)co 7368   ·_o comu 8405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-omul 8412

This theorem is referenced by: (None)