Theorem omge2 43836

Description: Any nonzero ordinal product is greater-than-or-equal to the term on the right. Lemma 3.12 of [Schloeder] p. 9. See omword2 8537. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
omge2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))

Proof of Theorem omge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ↔ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
2	1	anbi1i 633	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
3		df-3an 1099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4		on0eln0 6398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	pm5.32i 582	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
7	2, 3, 6	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
8		omword2 8537	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))
9	7, 8	sylbi 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  Oncon0 6341  (class class class)co 7391   ·_o comu 8429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-omul 8436

This theorem is referenced by: (None)