Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omge1 41882
Description: Any non-zero ordinal product is greater-than-or-equal to the term on the left. Lemma 3.11 of [Schloeder] p. 8. See omword1 8558. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
omge1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))

Proof of Theorem omge1
StepHypRef Expression
1 3simpa 1148 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
2 on0eln0 6410 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
32biimpar 478 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
433adant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
5 omword1 8558 . 2 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))
61, 4, 5syl2anc 584 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ·o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wne 2940  wss 3945  c0 4319  Oncon0 6354  (class class class)co 7394   ·o comu 8448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-oadd 8454  df-omul 8455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator