Theorem pmapglb 40602

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 = 𝑥))
2		equcom 2051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
3	2	anbi1ci 638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
4	3	exbii 1881	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
5		eleq1w 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
6	5	equsexvw 2038	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ 𝑦 ∈ 𝑆)
7	1, 4, 6	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆)
8	7	abbii 2832	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥} = {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ 𝑆}
9		abid2 2902	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 ∈ 𝑆} = 𝑆
10	8, 9	eqtr2i 2789	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥}
11	10	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥})
12	11	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥}))
13		dfss3 3927	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ 𝐵)
14		pmapglb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		pmapglb.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
16		pmapglb.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
17	14, 15, 16	pmapglbx 40601	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥})) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18	13, 17	syl3an2b 1431	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝑆 𝑦 = 𝑥})) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
19	12, 18	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∩ ciin 4959  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  glbcglb 18388  HLchlt 40182  pmapcpmap 40329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-poset 18391  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-lat 18510  df-clat 18577  df-ats 40099  df-hlat 40183  df-pmap 40336

This theorem is used by:  pmapglb2N  40603  pmapmeet  40605