Theorem lelttrd 11372

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 11304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  lt2msq1  12098  suprzcl  12642  ge0p1rp  13005  elfzolt3  13642  flflp1  13772  ltdifltdiv  13799  modsubdir  13905  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  expmulnbnd  14198  discr1  14202  faclbnd5  14258  bcp1nk  14277  hashfun  14397  swrds2  14891  abslt  15261  abs3lem  15285  fzomaxdiflem  15289  icodiamlt  15382  reccn2  15541  o1rlimmul  15563  caucvgrlem  15619  geomulcvg  15822  mertenslem1  15830  bpoly4  16003  ef01bndlem  16127  sin01bnd  16128  cos01bnd  16129  sinltx  16132  eirrlem  16147  rpnnen2lem11  16167  ruclem10  16182  bitsfzolem  16375  bitsfzo  16376  bitsinv1lem  16382  smueqlem  16431  pcfaclem  16831  pockthg  16839  prmreclem5  16853  1arith  16860  4sqlem11  16888  4sqlem12  16889  4sqlem13  16890  coe1tmmul2  21798  ssblex  23934  nlmvscnlem2  24202  nlmvscnlem1  24203  nrginvrcnlem  24208  blcvx  24314  icccmplem2  24339  reconnlem2  24343  metdcnlem  24352  icopnfcnv  24458  nmoleub2lem3  24631  ipcnlem2  24761  ipcnlem1  24762  minveclem3b  24945  minveclem3  24946  pjthlem1  24954  pmltpclem2  24966  ivthlem2  24969  ovollb2lem  25005  iundisj  25065  uniioombllem3  25102  opnmbllem  25118  itg2monolem3  25270  itg2cnlem2  25280  dveflem  25496  dvferm2lem  25503  lhop1lem  25530  dvcnvre  25536  ftc1a  25554  ftc1lem4  25556  coeeulem  25738  dgradd2  25782  aaliou2b  25854  ulmdvlem1  25912  itgulm  25920  radcnvlem1  25925  radcnvlt1  25930  radcnvle  25932  psercnlem1  25937  pserdvlem1  25939  pserdv  25941  abelthlem2  25944  abelthlem7  25950  cosordlem  26039  tanord1  26046  efif1olem1  26051  logcnlem3  26152  logcnlem4  26153  efopnlem1  26164  logtayl  26168  cxpcn3lem  26255  birthdaylem3  26458  efrlim  26474  lgamgulmlem2  26534  lgamucov  26542  ftalem1  26577  ftalem2  26578  ftalem5  26581  basellem1  26585  basellem3  26587  perfectlem2  26733  bposlem1  26787  bposlem3  26789  bposlem6  26792  lgsdirprm  26834  lgsqrlem2  26850  lgseisen  26882  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  2sqlem8  26929  2sqblem  26934  dchrvmasumiflem1  27004  pntrmax  27067  pntlemc  27098  pntlemg  27101  pntlemr  27105  axpaschlem  28229  axlowdimlem16  28246  clwwisshclwwslem  29298  smcnlem  29981  minvecolem3  30160  pjhthlem1  30675  nmcexi  31310  iundisjf  31851  iundisjfi  32038  psgnfzto1stlem  32290  dya2icoseg  33307  reprgt  33664  hgt750lem  33694  tgoldbachgtde  33703  subfaclim  34210  bcprod  34739  dnicn  35416  unbdqndv2lem1  35433  unbdqndv2lem2  35434  knoppndvlem18  35453  poimirlem6  36542  poimirlem7  36543  poimirlem12  36548  poimirlem15  36551  poimirlem17  36553  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem23  36559  poimirlem24  36560  opnmbllem0  36572  mblfinlem3  36575  mblfinlem4  36576  ftc1cnnclem  36607  ftc1anclem7  36615  isbnd3  36700  cntotbnd  36712  rrnequiv  36751  aks4d1p1p3  40982  aks4d1p1p2  40983  aks4d1p1p4  40984  aks4d1p1p7  40987  aks4d1p1p5  40988  aks4d1p5  40993  2np3bcnp1  41008  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  sticksstones22  41032  metakunt1  41033  metakunt12  41044  metakunt28  41060  metakunt30  41062  flt4lem7  41449  fltnltalem  41452  fltnlta  41453  irrapxlem1  41608  pell14qrgapw  41662  monotoddzzfi  41729  ltrmynn0  41735  jm2.24nn  41746  acongeq  41770  jm2.26lem3  41788  jm3.1lem2  41805  binomcxplemnotnn0  43163  isosctrlem1ALT  43743  rfcnnnub  43768  zltlesub  44043  monoords  44055  supxrge  44096  infleinflem2  44129  uzubioo  44328  fmul01lt1lem1  44348  fmul01lt1lem2  44349  lptre2pt  44404  addlimc  44412  0ellimcdiv  44413  limclner  44415  climleltrp  44440  limsupubuzlem  44476  limsup10exlem  44536  icccncfext  44651  ioodvbdlimc1lem1  44695  ioodvbdlimc1lem2  44696  ioodvbdlimc2lem  44698  dvnmul  44707  iblspltprt  44737  itgspltprt  44743  stoweidlem5  44769  stoweidlem11  44775  stoweidlem13  44777  stoweidlem14  44778  stoweidlem25  44789  stoweidlem26  44790  stoweidlem42  44806  stoweidlem59  44823  stoweid  44827  wallispilem3  44831  wallispilem4  44832  wallispilem5  44833  fourierdlem10  44881  fourierdlem11  44882  fourierdlem12  44883  fourierdlem15  44886  fourierdlem20  44891  fourierdlem24  44895  fourierdlem30  44901  fourierdlem31  44902  fourierdlem33  44904  fourierdlem40  44911  fourierdlem41  44912  fourierdlem42  44913  fourierdlem43  44914  fourierdlem44  44915  fourierdlem46  44916  fourierdlem47  44917  fourierdlem48  44918  fourierdlem50  44920  fourierdlem63  44933  fourierdlem64  44934  fourierdlem65  44935  fourierdlem73  44943  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem76  44946  fourierdlem77  44947  fourierdlem78  44948  fourierdlem79  44949  fourierdlem87  44957  fourierdlem91  44961  fourierdlem92  44962  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fouriersw  44995  etransclem19  45017  etransclem23  45021  etransclem48  45046  ioorrnopnlem  45068  iundjiun  45224  omeiunltfirp  45283  caratheodorylem1  45290  hoicvr  45312  hoidmv1lelem2  45356  hoidmvlelem2  45360  hoiqssbllem2  45387  vonioolem1  45444  vonicclem1  45447  smflimlem4  45538  smfmullem1  45555  iccpartgt  46143  perfectALTVlem2  46438  bgoldbtbndlem2  46522  pgrple2abl  47089  logbpw2m1  47301  dignn0ldlem  47336  2itscp  47515