Theorem lelttrd 11419

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 11351	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  lt2msq1  12152  suprzcl  12698  ge0p1rp  13066  elfzolt3  13709  flflp1  13847  ltdifltdiv  13874  modsubdir  13981  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  expmulnbnd  14274  discr1  14278  faclbnd5  14337  bcp1nk  14356  hashfun  14476  swrds2  14979  abslt  15353  abs3lem  15377  fzomaxdiflem  15381  icodiamlt  15474  reccn2  15633  o1rlimmul  15655  caucvgrlem  15709  geomulcvg  15912  mertenslem1  15920  bpoly4  16095  ef01bndlem  16220  sin01bnd  16221  cos01bnd  16222  sinltx  16225  eirrlem  16240  rpnnen2lem11  16260  ruclem10  16275  bitsfzolem  16471  bitsfzo  16472  bitsinv1lem  16478  smueqlem  16527  pcfaclem  16936  pockthg  16944  prmreclem5  16958  1arith  16965  4sqlem11  16993  4sqlem12  16994  4sqlem13  16995  coe1tmmul2  22279  ssblex  24438  nlmvscnlem2  24706  nlmvscnlem1  24707  nrginvrcnlem  24712  blcvx  24819  icccmplem2  24845  reconnlem2  24849  metdcnlem  24858  icopnfcnv  24973  nmoleub2lem3  25148  ipcnlem2  25278  ipcnlem1  25279  minveclem3b  25462  minveclem3  25463  pjthlem1  25471  pmltpclem2  25484  ivthlem2  25487  ovollb2lem  25523  iundisj  25583  uniioombllem3  25620  opnmbllem  25636  itg2monolem3  25787  itg2cnlem2  25797  dveflem  26017  dvferm2lem  26024  lhop1lem  26052  dvcnvre  26058  ftc1a  26078  ftc1lem4  26080  coeeulem  26263  dgradd2  26308  aaliou2b  26383  ulmdvlem1  26443  itgulm  26451  radcnvlem1  26456  radcnvlt1  26461  radcnvle  26463  psercnlem1  26469  pserdvlem1  26471  pserdv  26473  abelthlem2  26476  abelthlem7  26482  cosordlem  26572  tanord1  26579  efif1olem1  26584  logcnlem3  26686  logcnlem4  26687  efopnlem1  26698  logtayl  26702  cxpcn3lem  26790  birthdaylem3  26996  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgamgulmlem2  27073  lgamucov  27081  ftalem1  27116  ftalem2  27117  ftalem5  27120  basellem1  27124  basellem3  27126  perfectlem2  27274  bposlem1  27328  bposlem3  27330  bposlem6  27333  lgsdirprm  27375  lgsqrlem2  27391  lgseisen  27423  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2sqlem8  27470  2sqblem  27475  dchrvmasumiflem1  27545  pntrmax  27608  pntlemc  27639  pntlemg  27642  pntlemr  27646  axpaschlem  28955  axlowdimlem16  28972  clwwisshclwwslem  30033  smcnlem  30716  minvecolem3  30895  pjhthlem1  31410  nmcexi  32045  iundisjf  32602  iundisjfi  32798  psgnfzto1stlem  33120  dya2icoseg  34279  reprgt  34636  hgt750lem  34666  tgoldbachgtde  34675  subfaclim  35193  bcprod  35738  dnicn  36493  unbdqndv2lem1  36510  unbdqndv2lem2  36511  knoppndvlem18  36530  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem12  37639  poimirlem15  37642  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  poimirlem23  37650  poimirlem24  37651  opnmbllem0  37663  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ftc1cnnclem  37698  ftc1anclem7  37706  isbnd3  37791  cntotbnd  37803  rrnequiv  37842  aks4d1p1p3  42070  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p5  42081  posbezout  42101  primrootlekpowne0  42106  aks6d1c5lem1  42137  2np3bcnp1  42145  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones22  42169  aks6d1c7lem1  42181  unitscyglem2  42197  metakunt1  42206  metakunt12  42217  metakunt28  42233  metakunt30  42235  flt4lem7  42669  fltnltalem  42672  fltnlta  42673  irrapxlem1  42833  pell14qrgapw  42887  monotoddzzfi  42954  ltrmynn0  42960  jm2.24nn  42971  acongeq  42995  jm2.26lem3  43013  jm3.1lem2  43030  binomcxplemnotnn0  44375  isosctrlem1ALT  44954  rfcnnnub  45041  zltlesub  45297  monoords  45309  supxrge  45349  infleinflem2  45382  uzubioo  45580  fmul01lt1lem1  45599  fmul01lt1lem2  45600  lptre2pt  45655  addlimc  45663  0ellimcdiv  45664  limclner  45666  climleltrp  45691  limsupubuzlem  45727  limsup10exlem  45787  icccncfext  45902  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  dvnmul  45958  iblspltprt  45988  itgspltprt  45994  stoweidlem5  46020  stoweidlem11  46026  stoweidlem13  46028  stoweidlem14  46029  stoweidlem25  46040  stoweidlem26  46041  stoweidlem42  46057  stoweidlem59  46074  stoweid  46078  wallispilem3  46082  wallispilem4  46083  wallispilem5  46084  fourierdlem10  46132  fourierdlem11  46133  fourierdlem12  46134  fourierdlem15  46137  fourierdlem20  46142  fourierdlem24  46146  fourierdlem30  46152  fourierdlem31  46153  fourierdlem33  46155  fourierdlem40  46162  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem43  46165  fourierdlem44  46166  fourierdlem46  46167  fourierdlem47  46168  fourierdlem48  46169  fourierdlem50  46171  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem65  46186  fourierdlem73  46194  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem77  46198  fourierdlem78  46199  fourierdlem79  46200  fourierdlem87  46208  fourierdlem91  46212  fourierdlem92  46213  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fouriersw  46246  etransclem19  46268  etransclem23  46272  etransclem48  46297  ioorrnopnlem  46319  iundjiun  46475  omeiunltfirp  46534  caratheodorylem1  46541  hoicvr  46563  hoidmv1lelem2  46607  hoidmvlelem2  46611  hoiqssbllem2  46638  vonioolem1  46695  vonicclem1  46698  smflimlem4  46789  smfmullem1  46806  addmodne  47346  iccpartgt  47414  perfectALTVlem2  47709  bgoldbtbndlem2  47793  2tceilhalfelfzo1  48018  pgrple2abl  48281  logbpw2m1  48488  dignn0ldlem  48523  2itscp  48702