Theorem lelttrd 11374

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 11306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105   < clt 11249   ≤ cle 11250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255

This theorem is used by:  lt2msq1  12105  suprzcl  12682  ge0p1rp  13055  elfzolt3  13705  flflp1  13847  ltdifltdiv  13874  modsubdir  13983  seqf1olem1  14084  seqf1olem2  14085  expmulnbnd  14278  discr1  14282  faclbnd5  14341  bcp1nk  14360  hashfun  14481  swrds2  14984  abslt  15373  abs3lem  15397  fzomaxdiflem  15401  icodiamlt  15496  reccn2  15655  o1rlimmul  15677  caucvgrlem  15731  geomulcvg  15937  mertenslem1  15945  bpoly4  16119  ef01bndlem  16246  sin01bnd  16247  cos01bnd  16248  sinltx  16251  eirrlem  16266  rpnnen2lem11  16286  ruclem10  16301  bitsfzolem  16498  bitsfzo  16499  bitsinv1lem  16505  smueqlem  16554  pcfaclem  16964  pockthg  16972  prmreclem5  16986  1arith  16993  4sqlem11  17021  4sqlem12  17022  4sqlem13  17023  coe1tmmul2  22448  ssblex  24596  nlmvscnlem2  24853  nlmvscnlem1  24854  nrginvrcnlem  24859  blcvx  24966  icccmplem2  24992  reconnlem2  24996  metdcnlem  25005  icopnfcnv  25112  nmoleub2lem3  25285  ipcnlem2  25414  ipcnlem1  25415  minveclem3b  25598  minveclem3  25599  pjthlem1  25607  pmltpclem2  25619  ivthlem2  25622  ovollb2lem  25658  iundisj  25718  uniioombllem3  25755  opnmbllem  25771  itg2monolem3  25922  itg2cnlem2  25932  dveflem  26149  dvferm2lem  26156  lhop1lem  26183  dvcnvre  26189  ftc1a  26207  ftc1lem4  26209  coeeulem  26392  dgradd2  26436  aaliou2b  26515  ulmdvlem1  26574  itgulm  26582  radcnvlem1  26587  radcnvlt1  26592  radcnvle  26594  psercnlem1  26599  pserdvlem1  26601  pserdv  26603  abelthlem2  26606  abelthlem7  26612  cosordlem  26706  tanord1  26713  efif1olem1  26718  logcnlem3  26820  logcnlem4  26821  efopnlem1  26832  logtayl  26836  cxpcn3lem  26923  birthdaylem3  27129  efrlim  27145  lgamgulmlem2  27205  lgamucov  27213  ftalem1  27248  ftalem2  27249  ftalem5  27252  basellem1  27256  basellem3  27258  perfectlem2  27405  bposlem1  27459  bposlem3  27461  bposlem6  27464  lgsdirprm  27506  lgsqrlem2  27522  lgseisen  27554  lgsquadlem1  27555  lgsquadlem2  27556  2sqlem8  27601  2sqblem  27606  dchrvmasumiflem1  27676  pntrmax  27739  pntlemc  27770  pntlemg  27773  pntlemr  27777  axpaschlem  29301  axlowdimlem16  29318  clwwisshclwwslem  30376  smcnlem  31060  minvecolem3  31239  pjhthlem1  31754  nmcexi  32389  iundisjf  32945  iundisjfi  33152  psgnfzto1stlem  33429  esplyfval2  33964  esplyfval3  33971  cos9thpiminplylem1  34181  dya2icoseg  34676  reprgt  35017  hgt750lem  35047  tgoldbachgtde  35056  subfaclim  35688  bcprod  36238  dnicn  37109  unbdqndv2lem1  37126  unbdqndv2lem2  37127  knoppndvlem18  37146  poimirlem6  38305  poimirlem7  38306  poimirlem12  38311  poimirlem15  38314  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem23  38322  poimirlem24  38323  opnmbllem0  38335  mblfinlem3  38338  mblfinlem4  38339  ftc1cnnclem  38370  ftc1anclem7  38378  isbnd3  38463  cntotbnd  38475  rrnequiv  38514  aks4d1p1p3  42864  aks4d1p1p2  42865  aks4d1p1p4  42866  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p1p5  42870  aks4d1p5  42875  posbezout  42895  primrootlekpowne0  42900  aks6d1c5lem1  42931  2np3bcnp1  42939  sticksstones10  42950  sticksstones12a  42952  sticksstones22  42963  aks6d1c7lem1  42975  unitscyglem2  42991  flt4lem7  43419  fltnltalem  43422  fltnlta  43423  irrapxlem1  43577  pell14qrgapw  43631  monotoddzzfi  43697  ltrmynn0  43703  jm2.24nn  43714  acongeq  43738  jm2.26lem3  43756  jm3.1lem2  43773  binomcxplemnotnn0  45094  isosctrlem1ALT  45670  rfcnnnub  45784  zltlesub  46032  monoords  46044  supxrge  46082  infleinflem2  46114  uzubioo  46309  fmul01lt1lem1  46328  fmul01lt1lem2  46329  lptre2pt  46382  addlimc  46390  0ellimcdiv  46391  limclner  46393  climleltrp  46418  limsupubuzlem  46454  limsup10exlem  46514  icccncfext  46629  ioodvbdlimc1lem1  46673  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  dvnmul  46685  iblspltprt  46715  itgspltprt  46721  stoweidlem5  46747  stoweidlem11  46753  stoweidlem13  46755  stoweidlem14  46756  stoweidlem25  46767  stoweidlem26  46768  stoweidlem42  46784  stoweidlem59  46801  stoweid  46805  wallispilem3  46809  wallispilem4  46810  wallispilem5  46811  fourierdlem10  46859  fourierdlem11  46860  fourierdlem12  46861  fourierdlem15  46864  fourierdlem20  46869  fourierdlem24  46873  fourierdlem30  46879  fourierdlem31  46880  fourierdlem33  46882  fourierdlem40  46889  fourierdlem41  46890  fourierdlem42  46891  fourierdlem43  46892  fourierdlem44  46893  fourierdlem46  46894  fourierdlem47  46895  fourierdlem48  46896  fourierdlem50  46898  fourierdlem63  46911  fourierdlem64  46912  fourierdlem65  46913  fourierdlem73  46921  fourierdlem74  46922  fourierdlem75  46923  fourierdlem76  46924  fourierdlem77  46925  fourierdlem78  46926  fourierdlem79  46927  fourierdlem87  46935  fourierdlem91  46939  fourierdlem92  46940  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fouriersw  46973  etransclem19  46995  etransclem23  46999  etransclem48  47024  ioorrnopnlem  47046  iundjiun  47202  omeiunltfirp  47261  caratheodorylem1  47268  hoicvr  47290  hoidmv1lelem2  47334  hoidmvlelem2  47338  hoiqssbllem2  47365  vonioolem1  47422  vonicclem1  47425  smflimlem4  47516  smfmullem1  47533  2tceilhalfelfzo1  48101  addmodne  48115  2timesltsqm1  48144  iccpartgt  48204  perfectALTVlem2  48515  bgoldbtbndlem2  48599  pgrple2abl  49173  logbpw2m1  49375  dignn0ldlem  49410  2itscp  49589