Theorem lelttrd 11416

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lelttr 11348	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   < clt 11292   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298

This theorem is referenced by:  lt2msq1  12149  suprzcl  12695  ge0p1rp  13063  elfzolt3  13705  flflp1  13843  ltdifltdiv  13870  modsubdir  13977  seqf1olem1  14078  seqf1olem2  14079  expmulnbnd  14270  discr1  14274  faclbnd5  14333  bcp1nk  14352  hashfun  14472  swrds2  14975  abslt  15349  abs3lem  15373  fzomaxdiflem  15377  icodiamlt  15470  reccn2  15629  o1rlimmul  15651  caucvgrlem  15705  geomulcvg  15908  mertenslem1  15916  bpoly4  16091  ef01bndlem  16216  sin01bnd  16217  cos01bnd  16218  sinltx  16221  eirrlem  16236  rpnnen2lem11  16256  ruclem10  16271  bitsfzolem  16467  bitsfzo  16468  bitsinv1lem  16474  smueqlem  16523  pcfaclem  16931  pockthg  16939  prmreclem5  16953  1arith  16960  4sqlem11  16988  4sqlem12  16989  4sqlem13  16990  coe1tmmul2  22294  ssblex  24453  nlmvscnlem2  24721  nlmvscnlem1  24722  nrginvrcnlem  24727  blcvx  24833  icccmplem2  24858  reconnlem2  24862  metdcnlem  24871  icopnfcnv  24986  nmoleub2lem3  25161  ipcnlem2  25291  ipcnlem1  25292  minveclem3b  25475  minveclem3  25476  pjthlem1  25484  pmltpclem2  25497  ivthlem2  25500  ovollb2lem  25536  iundisj  25596  uniioombllem3  25633  opnmbllem  25649  itg2monolem3  25801  itg2cnlem2  25811  dveflem  26031  dvferm2lem  26038  lhop1lem  26066  dvcnvre  26072  ftc1a  26092  ftc1lem4  26094  coeeulem  26277  dgradd2  26322  aaliou2b  26397  ulmdvlem1  26457  itgulm  26465  radcnvlem1  26470  radcnvlt1  26475  radcnvle  26477  psercnlem1  26483  pserdvlem1  26485  pserdv  26487  abelthlem2  26490  abelthlem7  26496  cosordlem  26586  tanord1  26593  efif1olem1  26598  logcnlem3  26700  logcnlem4  26701  efopnlem1  26712  logtayl  26716  cxpcn3lem  26804  birthdaylem3  27010  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  lgamgulmlem2  27087  lgamucov  27095  ftalem1  27130  ftalem2  27131  ftalem5  27134  basellem1  27138  basellem3  27140  perfectlem2  27288  bposlem1  27342  bposlem3  27344  bposlem6  27347  lgsdirprm  27389  lgsqrlem2  27405  lgseisen  27437  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  2sqlem8  27484  2sqblem  27489  dchrvmasumiflem1  27559  pntrmax  27622  pntlemc  27653  pntlemg  27656  pntlemr  27660  axpaschlem  28969  axlowdimlem16  28986  clwwisshclwwslem  30042  smcnlem  30725  minvecolem3  30904  pjhthlem1  31419  nmcexi  32054  iundisjf  32608  iundisjfi  32803  psgnfzto1stlem  33102  dya2icoseg  34258  reprgt  34614  hgt750lem  34644  tgoldbachgtde  34653  subfaclim  35172  bcprod  35717  dnicn  36474  unbdqndv2lem1  36491  unbdqndv2lem2  36492  knoppndvlem18  36511  poimirlem6  37612  poimirlem7  37613  poimirlem12  37618  poimirlem15  37621  poimirlem17  37623  poimirlem19  37625  poimirlem20  37626  poimirlem23  37629  poimirlem24  37630  opnmbllem0  37642  mblfinlem3  37645  mblfinlem4  37646  ftc1cnnclem  37677  ftc1anclem7  37685  isbnd3  37770  cntotbnd  37782  rrnequiv  37821  aks4d1p1p3  42050  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p5  42061  posbezout  42081  primrootlekpowne0  42086  aks6d1c5lem1  42117  2np3bcnp1  42125  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones22  42149  aks6d1c7lem1  42161  unitscyglem2  42177  metakunt1  42186  metakunt12  42197  metakunt28  42213  metakunt30  42215  flt4lem7  42645  fltnltalem  42648  fltnlta  42649  irrapxlem1  42809  pell14qrgapw  42863  monotoddzzfi  42930  ltrmynn0  42936  jm2.24nn  42947  acongeq  42971  jm2.26lem3  42989  jm3.1lem2  43006  binomcxplemnotnn0  44351  isosctrlem1ALT  44931  rfcnnnub  44973  zltlesub  45235  monoords  45247  supxrge  45287  infleinflem2  45320  uzubioo  45519  fmul01lt1lem1  45539  fmul01lt1lem2  45540  lptre2pt  45595  addlimc  45603  0ellimcdiv  45604  limclner  45606  climleltrp  45631  limsupubuzlem  45667  limsup10exlem  45727  icccncfext  45842  ioodvbdlimc1lem1  45886  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dvnmul  45898  iblspltprt  45928  itgspltprt  45934  stoweidlem5  45960  stoweidlem11  45966  stoweidlem13  45968  stoweidlem14  45969  stoweidlem25  45980  stoweidlem26  45981  stoweidlem42  45997  stoweidlem59  46014  stoweid  46018  wallispilem3  46022  wallispilem4  46023  wallispilem5  46024  fourierdlem10  46072  fourierdlem11  46073  fourierdlem12  46074  fourierdlem15  46077  fourierdlem20  46082  fourierdlem24  46086  fourierdlem30  46092  fourierdlem31  46093  fourierdlem33  46095  fourierdlem40  46102  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem43  46105  fourierdlem44  46106  fourierdlem46  46107  fourierdlem47  46108  fourierdlem48  46109  fourierdlem50  46111  fourierdlem63  46124  fourierdlem64  46125  fourierdlem65  46126  fourierdlem73  46134  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem77  46138  fourierdlem78  46139  fourierdlem79  46140  fourierdlem87  46148  fourierdlem91  46152  fourierdlem92  46153  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fouriersw  46186  etransclem19  46208  etransclem23  46212  etransclem48  46237  ioorrnopnlem  46259  iundjiun  46415  omeiunltfirp  46474  caratheodorylem1  46481  hoicvr  46503  hoidmv1lelem2  46547  hoidmvlelem2  46551  hoiqssbllem2  46578  vonioolem1  46635  vonicclem1  46638  smflimlem4  46729  smfmullem1  46746  addmodne  47283  iccpartgt  47351  perfectALTVlem2  47646  bgoldbtbndlem2  47730  2tceilhalfelfzo1  47952  pgrple2abl  48209  logbpw2m1  48416  dignn0ldlem  48451  2itscp  48630