Theorem ltnled 11358

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltnled	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltnle 11290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-cnv 5684  df-xr 11249  df-le 11251

This theorem is referenced by:  ltsub1  11707  ltsub2  11708  0mnnnnn0  12501  mul2lt0bi  13077  fzp1nel  13582  fzodisj  13663  elfznelfzob  13735  ccatsymb  14529  swrdnd  14601  cshwcsh2id  14776  01sqrexlem7  15192  sqrtlt  15205  lo1bdd2  15465  isercoll  15611  fprodntriv  15883  fzm1ndvds  16262  fzo0dvdseq  16263  bitsfzolem  16372  bitsfzo  16373  sadcaddlem  16395  smuval2  16420  bezoutlem3  16480  2mulprm  16627  isprm5  16641  odzdvds  16725  prm23ge5  16745  pc2dvds  16809  pockthg  16836  prmreclem1  16846  prmreclem5  16850  1arith  16857  4sqlem11  16885  vdwlem6  16916  vdwlem11  16921  ramlb  16949  oddvds  19410  gexdvds  19447  sylow1lem3  19463  zringlpirlem3  21026  coe1tmmul2  21790  iccntr  24329  icccmplem2  24331  reconnlem2  24335  evth  24467  lebnumlem3  24471  nmoleub2lem3  24623  minveclem3b  24937  minveclem4  24941  pmltpclem2  24958  ovolgelb  24989  ovolicc2lem2  25027  ovolicc2lem4  25029  mbfposr  25161  itg2const2  25251  itg2cnlem2  25272  itg2cn  25273  plyco0  25698  coeeulem  25730  dgradd2  25774  cxplt2  26198  fsumharmonic  26506  dmlogdmgm  26518  lgamgulmlem1  26523  lgamucov  26532  ftalem3  26569  ftalem5  26571  ftalem7  26573  ppiprm  26645  chtprm  26647  chpub  26713  perfectlem2  26723  bposlem1  26777  lgsdilem2  26826  lgsqrlem2  26840  lgsquadlem2  26874  2sqblem  26924  2sqmod  26929  2sqnn0  26931  pntpbnd1  27079  pntlem3  27102  nbusgrvtxm1  28626  crctcshwlkn0lem3  29056  frgrreggt1  29636  minvecolem4  30121  minvecolem5  30122  nndiffz1  31985  psgnfzto1stlem  32247  lmdvg  32922  eulerpartlems  33348  ballotlemfc0  33480  ballotlemfcc  33481  ballotlemrv2  33509  signsply0  33551  reprinfz1  33623  lpadmax  33683  lpadright  33685  0nn0m1nnn0  34091  erdszelem8  34178  bccolsum  34698  unbdqndv2lem1  35374  unbdqndv2lem2  35375  poimirlem2  36479  poimirlem3  36480  poimirlem6  36483  poimirlem7  36484  poimirlem8  36485  poimirlem16  36493  poimirlem17  36494  poimirlem19  36496  poimirlem20  36497  poimirlem21  36498  poimirlem22  36499  poimirlem23  36500  poimirlem26  36503  poimirlem31  36508  poimir  36510  mblfinlem2  36515  itg2addnclem  36528  itg2addnclem2  36529  itg2addnclem3  36530  iblabsnclem  36540  ftc1anclem5  36554  areacirclem4  36568  areacirclem5  36569  areacirc  36570  cntotbnd  36653  aks4d1p5  40934  aks4d1p8d2  40939  aks4d1p8  40941  aks4d1p9  40942  sticksstones1  40951  sticksstones22  40973  metakunt29  41002  metakunt30  41003  infdesc  41382  elpell1qr2  41596  pellfundglb  41609  pellfund14gap  41611  congabseq  41699  jm2.19  41718  jm2.26lem3  41726  dgraa0p  41877  dvgrat  43057  uzwo4  43726  divlt0gt0d  43983  supxrgere  44030  uzublem  44127  nleltd  44149  supminfxr  44161  xrpnf  44183  sqrlearg  44253  lptre2pt  44343  limsupubuzlem  44415  climxrrelem  44452  climxlim2lem  44548  icccncfext  44590  ioodvbdlimc1lem2  44635  ioodvbdlimc2lem  44637  volioore  44693  voliooico  44695  voliccico  44702  stoweidlem26  44729  stoweidlem34  44737  stoweidlem59  44762  stirlinglem5  44781  dirkercncflem1  44806  fourierdlem10  44820  fourierdlem19  44829  fourierdlem25  44835  fourierdlem35  44845  fourierdlem40  44850  fourierdlem42  44852  fourierdlem64  44873  fourierdlem65  44874  fourierdlem74  44883  fourierdlem75  44884  fourierdlem78  44887  fourierdlem79  44888  fourierdlem104  44913  fourierswlem  44933  fouriersw  44934  elaa2lem  44936  etransclem32  44969  etransclem41  44978  hsphoidmvle2  45288  hoidmv1lelem1  45294  hoidmv1lelem2  45295  hoidmv1lelem3  45296  hoidmvlelem2  45299  hoidmvlelem4  45301  hoidmvlelem5  45302  hoiqssbllem3  45327  hspmbllem1  45329  hspmbllem2  45330  vonicc  45388  pimdecfgtioo  45420  pimincfltioo  45421  et-sqrtnegnre  45576  fmtno4prmfac  46227  requad01  46276  requad1  46277  perfectALTVlem2  46377  itsclc0yqsol  47404  aacllem  47802