Theorem gtned 10575

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   class class class wbr 4929  ℝcr 10334   < clt 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479

This theorem is referenced by:  ltned  10576  seqf1olem1  13224  seqf1olem2  13225  hashfun  13611  abssubne0  14537  rpnnen2lem9  15435  rpnnen2lem11  15437  coe1tmmul2  20147  iccpnfcnv  23251  iccpnfhmeo  23252  pmltpclem2  23753  voliunlem1  23854  dvferm1lem  24284  lhop2  24315  ftc1lem5  24340  vieta1lem2  24603  geolim3  24631  logtayl  24944  atanre  25164  lgamgulmlem2  25309  lgamgulmlem3  25310  perfectlem2  25508  axlowdimlem16  26446  clwwisshclwwslem  27529  frgrogt3nreg  27954  esumcvgre  31000  eulerpartlems  31269  hgt750lem  31576  ivthALT  33210  unbdqndv2lem2  33375  knoppndvlem17  33393  poimirlem11  34350  poimirlem12  34351  poimirlem24  34363  rtprmirr  38632  pellfundne1  38888  eliccelioc  41234  fmul01lt1lem1  41302  lptre2pt  41358  cncfiooicclem1  41612  cncfioobdlem  41615  dvnmul  41664  ditgeqiooicc  41681  itgioocnicc  41698  iblcncfioo  41699  wallispilem4  41790  wallispi  41792  wallispi2lem1  41793  wallispi2lem2  41794  wallispi2  41795  stirlinglem5  41800  fourierdlem4  41833  fourierdlem34  41863  fourierdlem41  41870  fourierdlem42  41871  fourierdlem48  41876  fourierdlem49  41877  fourierdlem61  41889  fourierdlem73  41901  fourierdlem75  41903  fourierdlem76  41904  fourierdlem81  41909  fourierdlem82  41910  fourierdlem84  41912  fourierdlem93  41921  fourierdlem111  41939  fouriersw  41953  etransclem35  41991  qndenserrnbllem  42016  nnfoctbdjlem  42174  hoidmvlelem3  42316  hoiqssbllem2  42342  smfmullem1  42503  sfprmdvdsmersenne  43142  lighneallem2  43145  perfectALTVlem2  43261  eenglngeehlnmlem2  44099