MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtned 11297
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
gtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3 ltne 11259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  ltned  11298  seqf1olem1  13954  seqf1olem2  13955  hashfun  14344  abssubne0  15208  rpnnen2lem9  16111  rpnnen2lem11  16113  coe1tmmul2  21663  iccpnfcnv  24323  iccpnfhmeo  24324  pmltpclem2  24829  voliunlem1  24930  dvferm1lem  25364  lhop2  25395  ftc1lem5  25420  vieta1lem2  25687  geolim3  25715  logtayl  26031  atanre  26251  lgamgulmlem2  26395  lgamgulmlem3  26396  perfectlem2  26594  axlowdimlem16  27948  clwwisshclwwslem  29000  frgrogt3nreg  29383  qsidomlem1  32265  esumcvgre  32730  eulerpartlems  33000  hgt750lem  33304  ivthALT  34836  unbdqndv2lem2  35002  knoppndvlem17  35020  poimirlem11  36118  poimirlem12  36119  poimirlem24  36131  lcmineqlem11  40525  3lexlogpow2ineq2  40545  aks4d1p1p2  40556  aks4d1p1p4  40557  aks4d1p1p6  40559  aks4d1p1p7  40560  aks4d1p1p5  40561  aks4d1p3  40564  aks4d1p7d1  40568  aks4d1p7  40569  aks4d1p8  40573  aks4d1p9  40574  rtprmirr  40862  sn-0ne2  40904  pellfundne1  41241  eliccelioc  43833  fmul01lt1lem1  43899  lptre2pt  43955  cncfiooicclem1  44208  cncfioobdlem  44211  dvnmul  44258  ditgeqiooicc  44275  itgioocnicc  44292  iblcncfioo  44293  wallispilem4  44383  wallispi  44385  wallispi2lem1  44386  wallispi2lem2  44387  wallispi2  44388  stirlinglem5  44393  fourierdlem4  44426  fourierdlem34  44456  fourierdlem41  44463  fourierdlem42  44464  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem61  44482  fourierdlem73  44494  fourierdlem75  44496  fourierdlem76  44497  fourierdlem81  44502  fourierdlem82  44503  fourierdlem84  44505  fourierdlem93  44514  fourierdlem111  44532  fouriersw  44546  etransclem35  44584  qndenserrnbllem  44609  nnfoctbdjlem  44770  hoidmvlelem3  44912  hoiqssbllem2  44938  smfmullem1  45106  sfprmdvdsmersenne  45869  lighneallem2  45872  perfectALTVlem2  45988  eenglngeehlnmlem2  46898
  Copyright terms: Public domain W3C validator