Theorem gtned 11040

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  ltned  11041  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  hashfun  14080  abssubne0  14956  rpnnen2lem9  15859  rpnnen2lem11  15861  coe1tmmul2  21357  iccpnfcnv  24013  iccpnfhmeo  24014  pmltpclem2  24518  voliunlem1  24619  dvferm1lem  25053  lhop2  25084  ftc1lem5  25109  vieta1lem2  25376  geolim3  25404  logtayl  25720  atanre  25940  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  perfectlem2  26283  axlowdimlem16  27228  clwwisshclwwslem  28279  frgrogt3nreg  28662  qsidomlem1  31530  esumcvgre  31959  eulerpartlems  32227  hgt750lem  32531  ivthALT  34451  unbdqndv2lem2  34617  knoppndvlem17  34635  poimirlem11  35715  poimirlem12  35716  poimirlem24  35728  lcmineqlem11  39975  3lexlogpow2ineq2  39995  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  aks4d1p3  40014  aks4d1p7d1  40018  aks4d1p7  40019  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  rtprmirr  40268  sn-0ne2  40310  pellfundne1  40627  eliccelioc  42949  fmul01lt1lem1  43015  lptre2pt  43071  cncfiooicclem1  43324  cncfioobdlem  43327  dvnmul  43374  ditgeqiooicc  43391  itgioocnicc  43408  iblcncfioo  43409  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  wallispi2lem2  43503  wallispi2  43504  stirlinglem5  43509  fourierdlem4  43542  fourierdlem34  43572  fourierdlem41  43579  fourierdlem42  43580  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem61  43598  fourierdlem73  43610  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem81  43618  fourierdlem82  43619  fourierdlem84  43621  fourierdlem93  43630  fourierdlem111  43648  fouriersw  43662  etransclem35  43700  qndenserrnbllem  43725  nnfoctbdjlem  43883  hoidmvlelem3  44025  hoiqssbllem2  44051  smfmullem1  44212  sfprmdvdsmersenne  44943  lighneallem2  44946  perfectALTVlem2  45062  eenglngeehlnmlem2  45972