Theorem gtned 11448

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351

This theorem is used by:  ltned  11449  gt0ne0d  11883  fzdif1  13742  seqf1olem1  14187  seqf1olem2  14188  hashfun  14585  abssubne0  15489  rpnnen2lem9  16395  rpnnen2lem11  16397  qsidomlem1  21641  coe1tmmul2  22600  iccpnfcnv  25270  iccpnfhmeo  25271  pmltpclem2  25775  voliunlem1  25876  dvferm1lem  26309  lhop2  26340  ftc1lem5  26365  vieta1lem2  26639  geolim3  26671  logtayl  26993  rtprmirr  27093  atanre  27218  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem3  27363  perfectlem2  27562  axlowdimlem16  29540  clwwisshclwwslem  30610  frgrogt3nreg  31003  madjusmdetlem2  34506  esumcvgre  34769  eulerpartlems  35038  hgt750lem  35326  ivthALT  37215  unbdqndv2lem2  37468  knoppndvlem17  37486  poimirlem11  38642  poimirlem12  38643  poimirlem24  38655  lcmineqlem11  43182  3lexlogpow2ineq2  43202  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1p4  43214  aks4d1p1p6  43216  aks4d1p1p7  43217  aks4d1p1p5  43218  aks4d1p3  43221  aks4d1p7d1  43225  aks4d1p7  43226  aks4d1p8  43230  aks4d1p9  43231  aks6d1c1  43259  aks6d1c7lem1  43323  aks6d1c7lem2  43324  sn-0ne2  43550  pellfundne1  43989  eliccelioc  46626  fmul01lt1lem1  46689  lptre2pt  46743  cncfiooicclem1  46996  cncfioobdlem  46999  dvnmul  47046  ditgeqiooicc  47063  itgioocnicc  47080  iblcncfioo  47081  wallispilem4  47171  wallispi  47173  wallispi2lem1  47174  wallispi2lem2  47175  wallispi2  47176  stirlinglem5  47181  fourierdlem4  47214  fourierdlem34  47244  fourierdlem41  47251  fourierdlem42  47252  fourierdlem48  47257  fourierdlem49  47258  fourierdlem61  47270  fourierdlem73  47282  fourierdlem75  47284  fourierdlem76  47285  fourierdlem81  47290  fourierdlem82  47291  fourierdlem84  47293  fourierdlem93  47302  fourierdlem111  47320  fouriersw  47334  etransclem35  47372  qndenserrnbllem  47397  nnfoctbdjlem  47558  hoidmvlelem3  47700  hoiqssbllem2  47726  smfmullem1  47894  sfprmdvdsmersenne  48781  lighneallem2  48784  perfectALTVlem2  48913  eenglngeehlnmlem2  49944