Theorem gtned 11393

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11355	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   < clt 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  ltned  11394  fzdif1  13641  seqf1olem1  14078  seqf1olem2  14079  hashfun  14472  abssubne0  15351  rpnnen2lem9  16254  rpnnen2lem11  16256  coe1tmmul2  22294  iccpnfcnv  24988  iccpnfhmeo  24989  pmltpclem2  25497  voliunlem1  25598  dvferm1lem  26036  lhop2  26068  ftc1lem5  26095  vieta1lem2  26367  geolim3  26395  logtayl  26716  rtprmirr  26817  atanre  26942  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  perfectlem2  27288  axlowdimlem16  28986  clwwisshclwwslem  30042  frgrogt3nreg  30425  qsidomlem1  33459  madjusmdetlem2  33788  esumcvgre  34071  eulerpartlems  34341  hgt750lem  34644  ivthALT  36317  unbdqndv2lem2  36492  knoppndvlem17  36510  poimirlem11  37617  poimirlem12  37618  poimirlem24  37630  lcmineqlem11  42020  3lexlogpow2ineq2  42040  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1p5  42056  aks4d1p3  42059  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c1  42097  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  sn-0ne2  42412  pellfundne1  42876  eliccelioc  45473  fmul01lt1lem1  45539  lptre2pt  45595  cncfiooicclem1  45848  cncfioobdlem  45851  dvnmul  45898  ditgeqiooicc  45915  itgioocnicc  45932  iblcncfioo  45933  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  wallispi2  46028  stirlinglem5  46033  fourierdlem4  46066  fourierdlem34  46096  fourierdlem41  46103  fourierdlem42  46104  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem61  46122  fourierdlem73  46134  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem81  46142  fourierdlem82  46143  fourierdlem84  46145  fourierdlem93  46154  fourierdlem111  46172  fouriersw  46186  etransclem35  46224  qndenserrnbllem  46249  nnfoctbdjlem  46410  hoidmvlelem3  46552  hoiqssbllem2  46578  smfmullem1  46746  sfprmdvdsmersenne  47527  lighneallem2  47530  perfectALTVlem2  47646  eenglngeehlnmlem2  48587