Theorem gtned 11363

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ℝcr 11117   < clt 11261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  ltned  11364  gt0ne0d  11796  fzdif1  13652  seqf1olem1  14097  seqf1olem2  14098  hashfun  14494  abssubne0  15394  rpnnen2lem9  16303  rpnnen2lem11  16305  qsidomlem1  21517  coe1tmmul2  22474  iccpnfcnv  25140  iccpnfhmeo  25141  pmltpclem2  25645  voliunlem1  25746  dvferm1lem  26180  lhop2  26211  ftc1lem5  26236  vieta1lem2  26509  geolim3  26539  logtayl  26862  rtprmirr  26962  atanre  27087  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  perfectlem2  27431  axlowdimlem16  29344  clwwisshclwwslem  30402  frgrogt3nreg  30785  madjusmdetlem2  34249  esumcvgre  34512  eulerpartlems  34782  hgt750lem  35070  ivthALT  36887  unbdqndv2lem2  37140  knoppndvlem17  37158  poimirlem11  38323  poimirlem12  38324  poimirlem24  38336  lcmineqlem11  42847  3lexlogpow2ineq2  42867  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p4  42879  aks4d1p1p6  42881  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p1p5  42883  aks4d1p3  42886  aks4d1p7d1  42890  aks4d1p7  42891  aks4d1p8  42895  aks4d1p9  42896  aks6d1c1  42924  aks6d1c7lem1  42988  aks6d1c7lem2  42989  sn-0ne2  43208  pellfundne1  43657  eliccelioc  46278  fmul01lt1lem1  46341  lptre2pt  46395  cncfiooicclem1  46648  cncfioobdlem  46651  dvnmul  46698  ditgeqiooicc  46715  itgioocnicc  46732  iblcncfioo  46733  wallispilem4  46823  wallispi  46825  wallispi2lem1  46826  wallispi2lem2  46827  wallispi2  46828  stirlinglem5  46833  fourierdlem4  46866  fourierdlem34  46896  fourierdlem41  46903  fourierdlem42  46904  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem61  46922  fourierdlem73  46934  fourierdlem75  46936  fourierdlem76  46937  fourierdlem81  46942  fourierdlem82  46943  fourierdlem84  46945  fourierdlem93  46954  fourierdlem111  46972  fouriersw  46986  etransclem35  47024  qndenserrnbllem  47049  nnfoctbdjlem  47210  hoidmvlelem3  47352  hoiqssbllem2  47378  smfmullem1  47546  sfprmdvdsmersenne  48396  lighneallem2  48399  perfectALTVlem2  48528  eenglngeehlnmlem2  49559