MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtned 10378
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
gtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3 ltne 10340 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3syl2anc 573 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cr 10141   < clt 10280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285
This theorem is referenced by:  ltned  10379  seqf1olem1  13047  seqf1olem2  13048  hashfun  13426  abssubne0  14264  rpnnen2lem9  15157  rpnnen2lem11  15159  coe1tmmul2  19861  iccpnfcnv  22963  iccpnfhmeo  22964  pmltpclem2  23437  voliunlem1  23538  dvferm1lem  23967  lhop2  23998  ftc1lem5  24023  vieta1lem2  24286  geolim3  24314  logtayl  24627  atanre  24833  lgamgulmlem2  24977  lgamgulmlem3  24978  perfectlem2  25176  axlowdimlem16  26058  clwwisshclwwslem  27164  frgrogt3nreg  27596  nn0sqeq1  29853  esumcvgre  30493  eulerpartlems  30762  hgt750lem  31069  ivthALT  32667  unbdqndv2lem2  32838  knoppndvlem17  32856  poimirlem11  33752  poimirlem12  33753  poimirlem24  33765  pellfundne1  37977  eliccelioc  40261  fmul01lt1lem1  40329  lptre2pt  40385  cncfiooicclem1  40619  cncfioobdlem  40622  dvnmul  40671  ditgeqiooicc  40688  itgioocnicc  40705  iblcncfioo  40706  wallispilem4  40797  wallispi  40799  wallispi2lem1  40800  wallispi2lem2  40801  wallispi2  40802  stirlinglem5  40807  fourierdlem4  40840  fourierdlem34  40870  fourierdlem41  40877  fourierdlem42  40878  fourierdlem48  40883  fourierdlem49  40884  fourierdlem61  40896  fourierdlem73  40908  fourierdlem75  40910  fourierdlem76  40911  fourierdlem81  40916  fourierdlem82  40917  fourierdlem84  40919  fourierdlem93  40928  fourierdlem111  40946  fouriersw  40960  etransclem35  40998  qndenserrnbllem  41026  nnfoctbdjlem  41184  hoidmvlelem3  41326  hoiqssbllem2  41352  smfmullem1  41513  sfprmdvdsmersenne  42043  lighneallem2  42046  perfectALTVlem2  42154
  Copyright terms: Public domain W3C validator