Theorem gtned 11309

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  ltned  11310  gt0ne0d  11742  fzdif1  13566  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  hashfun  14402  abssubne0  15283  rpnnen2lem9  16190  rpnnen2lem11  16192  coe1tmmul2  22162  iccpnfcnv  24842  iccpnfhmeo  24843  pmltpclem2  25350  voliunlem1  25451  dvferm1lem  25888  lhop2  25920  ftc1lem5  25947  vieta1lem2  26219  geolim3  26247  logtayl  26569  rtprmirr  26670  atanre  26795  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  perfectlem2  27141  axlowdimlem16  28884  clwwisshclwwslem  29943  frgrogt3nreg  30326  qsidomlem1  33423  madjusmdetlem2  33818  esumcvgre  34081  eulerpartlems  34351  hgt750lem  34642  ivthALT  36323  unbdqndv2lem2  36498  knoppndvlem17  36516  poimirlem11  37625  poimirlem12  37626  poimirlem24  37638  lcmineqlem11  42027  3lexlogpow2ineq2  42047  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p3  42066  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p7  42071  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  aks6d1c1  42104  aks6d1c7lem1  42168  aks6d1c7lem2  42169  sn-0ne2  42394  pellfundne1  42877  eliccelioc  45519  fmul01lt1lem1  45582  lptre2pt  45638  cncfiooicclem1  45891  cncfioobdlem  45894  dvnmul  45941  ditgeqiooicc  45958  itgioocnicc  45975  iblcncfioo  45976  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem5  46076  fourierdlem4  46109  fourierdlem34  46139  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem61  46165  fourierdlem73  46177  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem81  46185  fourierdlem82  46186  fourierdlem84  46188  fourierdlem93  46197  fourierdlem111  46215  fouriersw  46229  etransclem35  46267  qndenserrnbllem  46292  nnfoctbdjlem  46453  hoidmvlelem3  46595  hoiqssbllem2  46621  smfmullem1  46789  sfprmdvdsmersenne  47604  lighneallem2  47607  perfectALTVlem2  47723  eenglngeehlnmlem2  48727