Theorem gtned 11472

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ℝcr 11226   < clt 11370

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375

This theorem is used by:  ltned  11473  gt0ne0d  11907  fzdif1  13766  seqf1olem1  14211  seqf1olem2  14212  hashfun  14609  abssubne0  15513  rpnnen2lem9  16419  rpnnen2lem11  16421  qsidomlem1  21666  coe1tmmul2  22625  iccpnfcnv  25295  iccpnfhmeo  25296  pmltpclem2  25800  voliunlem1  25901  dvferm1lem  26334  lhop2  26365  ftc1lem5  26390  vieta1lem2  26664  geolim3  26696  logtayl  27018  rtprmirr  27118  atanre  27243  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem3  27388  perfectlem2  27587  axlowdimlem16  29565  clwwisshclwwslem  30635  frgrogt3nreg  31028  madjusmdetlem2  34530  esumcvgre  34793  eulerpartlems  35062  hgt750lem  35350  ivthALT  37301  unbdqndv2lem2  37554  knoppndvlem17  37572  poimirlem11  38741  poimirlem12  38742  poimirlem24  38754  lcmineqlem11  43281  3lexlogpow2ineq2  43301  aks4d1p1p2  43312  aks4d1p1p4  43313  aks4d1p1p6  43315  aks4d1p1p7  43316  aks4d1p1p5  43317  aks4d1p3  43320  aks4d1p7d1  43324  aks4d1p7  43325  aks4d1p8  43329  aks4d1p9  43330  aks6d1c1  43358  aks6d1c7lem1  43422  aks6d1c7lem2  43423  sn-0ne2  43650  pellfundne1  44089  eliccelioc  46738  fmul01lt1lem1  46801  lptre2pt  46855  cncfiooicclem1  47108  cncfioobdlem  47111  dvnmul  47158  ditgeqiooicc  47175  itgioocnicc  47192  iblcncfioo  47193  wallispilem4  47283  wallispi  47285  wallispi2lem1  47286  wallispi2lem2  47287  wallispi2  47288  stirlinglem5  47293  fourierdlem4  47326  fourierdlem34  47356  fourierdlem41  47363  fourierdlem42  47364  fourierdlem48  47369  fourierdlem49  47370  fourierdlem61  47382  fourierdlem73  47394  fourierdlem75  47396  fourierdlem76  47397  fourierdlem81  47402  fourierdlem82  47403  fourierdlem84  47405  fourierdlem93  47414  fourierdlem111  47432  fouriersw  47446  etransclem35  47484  qndenserrnbllem  47509  nnfoctbdjlem  47670  hoidmvlelem3  47812  hoiqssbllem2  47838  smfmullem1  48006  sfprmdvdsmersenne  48893  lighneallem2  48896  perfectALTVlem2  49025  eenglngeehlnmlem2  50056