Theorem gtned 11346

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249

This theorem is referenced by:  ltned  11347  gt0ne0d  11779  fzdif1  13635  seqf1olem1  14079  seqf1olem2  14080  hashfun  14476  abssubne0  15370  rpnnen2lem9  16279  rpnnen2lem11  16281  qsidomlem1  21461  coe1tmmul2  22418  iccpnfcnv  25084  iccpnfhmeo  25085  pmltpclem2  25589  voliunlem1  25690  dvferm1lem  26124  lhop2  26155  ftc1lem5  26180  vieta1lem2  26453  geolim3  26481  logtayl  26803  rtprmirr  26903  atanre  27028  lgamgulmlem2  27172  lgamgulmlem3  27173  perfectlem2  27372  axlowdimlem16  29285  clwwisshclwwslem  30343  frgrogt3nreg  30726  madjusmdetlem2  34196  esumcvgre  34459  eulerpartlems  34728  hgt750lem  35016  ivthALT  36824  unbdqndv2lem2  37077  knoppndvlem17  37095  poimirlem11  38260  poimirlem12  38261  poimirlem24  38273  lcmineqlem11  42784  3lexlogpow2ineq2  42804  aks4d1p1p2  42815  aks4d1p1p4  42816  aks4d1p1p6  42818  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p1p5  42820  aks4d1p3  42823  aks4d1p7d1  42827  aks4d1p7  42828  aks4d1p8  42832  aks4d1p9  42833  aks6d1c1  42861  aks6d1c7lem1  42925  aks6d1c7lem2  42926  sn-0ne2  43145  pellfundne1  43596  eliccelioc  46217  fmul01lt1lem1  46280  lptre2pt  46334  cncfiooicclem1  46587  cncfioobdlem  46590  dvnmul  46637  ditgeqiooicc  46654  itgioocnicc  46671  iblcncfioo  46672  wallispilem4  46762  wallispi  46764  wallispi2lem1  46765  wallispi2lem2  46766  wallispi2  46767  stirlinglem5  46772  fourierdlem4  46805  fourierdlem34  46835  fourierdlem41  46842  fourierdlem42  46843  fourierdlem48  46848  fourierdlem49  46849  fourierdlem61  46861  fourierdlem73  46873  fourierdlem75  46875  fourierdlem76  46876  fourierdlem81  46881  fourierdlem82  46882  fourierdlem84  46884  fourierdlem93  46893  fourierdlem111  46911  fouriersw  46925  etransclem35  46963  qndenserrnbllem  46988  nnfoctbdjlem  47149  hoidmvlelem3  47291  hoiqssbllem2  47317  smfmullem1  47485  sfprmdvdsmersenne  48332  lighneallem2  48335  perfectALTVlem2  48464  eenglngeehlnmlem2  49495