Theorem gtned 11255

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ℝcr 11012   < clt 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158

This theorem is referenced by:  ltned  11256  gt0ne0d  11688  fzdif1  13507  seqf1olem1  13950  seqf1olem2  13951  hashfun  14346  abssubne0  15226  rpnnen2lem9  16133  rpnnen2lem11  16135  coe1tmmul2  22191  iccpnfcnv  24870  iccpnfhmeo  24871  pmltpclem2  25378  voliunlem1  25479  dvferm1lem  25916  lhop2  25948  ftc1lem5  25975  vieta1lem2  26247  geolim3  26275  logtayl  26597  rtprmirr  26698  atanre  26823  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  perfectlem2  27169  axlowdimlem16  28937  clwwisshclwwslem  29996  frgrogt3nreg  30379  qsidomlem1  33424  madjusmdetlem2  33862  esumcvgre  34125  eulerpartlems  34394  hgt750lem  34685  ivthALT  36400  unbdqndv2lem2  36575  knoppndvlem17  36593  poimirlem11  37691  poimirlem12  37692  poimirlem24  37704  lcmineqlem11  42152  3lexlogpow2ineq2  42172  aks4d1p1p2  42183  aks4d1p1p4  42184  aks4d1p1p6  42186  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p1p5  42188  aks4d1p3  42191  aks4d1p7d1  42195  aks4d1p7  42196  aks4d1p8  42200  aks4d1p9  42201  aks6d1c1  42229  aks6d1c7lem1  42293  aks6d1c7lem2  42294  sn-0ne2  42524  pellfundne1  43006  eliccelioc  45645  fmul01lt1lem1  45708  lptre2pt  45762  cncfiooicclem1  46015  cncfioobdlem  46018  dvnmul  46065  ditgeqiooicc  46082  itgioocnicc  46099  iblcncfioo  46100  wallispilem4  46190  wallispi  46192  wallispi2lem1  46193  wallispi2lem2  46194  wallispi2  46195  stirlinglem5  46200  fourierdlem4  46233  fourierdlem34  46263  fourierdlem41  46270  fourierdlem42  46271  fourierdlem48  46276  fourierdlem49  46277  fourierdlem61  46289  fourierdlem73  46301  fourierdlem75  46303  fourierdlem76  46304  fourierdlem81  46309  fourierdlem82  46310  fourierdlem84  46312  fourierdlem93  46321  fourierdlem111  46339  fouriersw  46353  etransclem35  46391  qndenserrnbllem  46416  nnfoctbdjlem  46577  hoidmvlelem3  46719  hoiqssbllem2  46745  smfmullem1  46913  sfprmdvdsmersenne  47727  lighneallem2  47730  perfectALTVlem2  47846  eenglngeehlnmlem2  48863