Theorem gtned 11269

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  ltned  11270  gt0ne0d  11702  fzdif1  13526  seqf1olem1  13966  seqf1olem2  13967  hashfun  14362  abssubne0  15242  rpnnen2lem9  16149  rpnnen2lem11  16151  coe1tmmul2  22178  iccpnfcnv  24858  iccpnfhmeo  24859  pmltpclem2  25366  voliunlem1  25467  dvferm1lem  25904  lhop2  25936  ftc1lem5  25963  vieta1lem2  26235  geolim3  26263  logtayl  26585  rtprmirr  26686  atanre  26811  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem3  26957  perfectlem2  27157  axlowdimlem16  28920  clwwisshclwwslem  29976  frgrogt3nreg  30359  qsidomlem1  33399  madjusmdetlem2  33794  esumcvgre  34057  eulerpartlems  34327  hgt750lem  34618  ivthALT  36308  unbdqndv2lem2  36483  knoppndvlem17  36501  poimirlem11  37610  poimirlem12  37611  poimirlem24  37623  lcmineqlem11  42012  3lexlogpow2ineq2  42032  aks4d1p1p2  42043  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p1p6  42046  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p1p5  42048  aks4d1p3  42051  aks4d1p7d1  42055  aks4d1p7  42056  aks4d1p8  42060  aks4d1p9  42061  aks6d1c1  42089  aks6d1c7lem1  42153  aks6d1c7lem2  42154  sn-0ne2  42379  pellfundne1  42862  eliccelioc  45503  fmul01lt1lem1  45566  lptre2pt  45622  cncfiooicclem1  45875  cncfioobdlem  45878  dvnmul  45925  ditgeqiooicc  45942  itgioocnicc  45959  iblcncfioo  45960  wallispilem4  46050  wallispi  46052  wallispi2lem1  46053  wallispi2lem2  46054  wallispi2  46055  stirlinglem5  46060  fourierdlem4  46093  fourierdlem34  46123  fourierdlem41  46130  fourierdlem42  46131  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem61  46149  fourierdlem73  46161  fourierdlem75  46163  fourierdlem76  46164  fourierdlem81  46169  fourierdlem82  46170  fourierdlem84  46172  fourierdlem93  46181  fourierdlem111  46199  fouriersw  46213  etransclem35  46251  qndenserrnbllem  46276  nnfoctbdjlem  46437  hoidmvlelem3  46579  hoiqssbllem2  46605  smfmullem1  46773  sfprmdvdsmersenne  47588  lighneallem2  47591  perfectALTVlem2  47707  eenglngeehlnmlem2  48724