Theorem gtned 11279

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  ℝcr 11035   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  ltned  11280  gt0ne0d  11712  fzdif1  13557  seqf1olem1  14001  seqf1olem2  14002  hashfun  14397  abssubne0  15277  rpnnen2lem9  16187  rpnnen2lem11  16189  coe1tmmul2  22269  iccpnfcnv  24936  iccpnfhmeo  24937  pmltpclem2  25441  voliunlem1  25542  dvferm1lem  25976  lhop2  26007  ftc1lem5  26032  vieta1lem2  26302  geolim3  26330  logtayl  26649  rtprmirr  26749  atanre  26874  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem3  27019  perfectlem2  27218  axlowdimlem16  29051  clwwisshclwwslem  30109  frgrogt3nreg  30492  qsidomlem1  33542  madjusmdetlem2  34019  esumcvgre  34282  eulerpartlems  34551  hgt750lem  34842  ivthALT  36570  unbdqndv2lem2  36823  knoppndvlem17  36841  poimirlem11  38005  poimirlem12  38006  poimirlem24  38018  lcmineqlem11  42531  3lexlogpow2ineq2  42551  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p4  42563  aks4d1p1p6  42565  aks4d1p1p7  42566  aks4d1p1p5  42567  aks4d1p3  42570  aks4d1p7d1  42574  aks4d1p7  42575  aks4d1p8  42579  aks4d1p9  42580  aks6d1c1  42608  aks6d1c7lem1  42672  aks6d1c7lem2  42673  sn-0ne2  42890  pellfundne1  43341  eliccelioc  45973  fmul01lt1lem1  46036  lptre2pt  46090  cncfiooicclem1  46343  cncfioobdlem  46346  dvnmul  46393  ditgeqiooicc  46410  itgioocnicc  46427  iblcncfioo  46428  wallispilem4  46518  wallispi  46520  wallispi2lem1  46521  wallispi2lem2  46522  wallispi2  46523  stirlinglem5  46528  fourierdlem4  46561  fourierdlem34  46591  fourierdlem41  46598  fourierdlem42  46599  fourierdlem48  46604  fourierdlem49  46605  fourierdlem61  46617  fourierdlem73  46629  fourierdlem75  46631  fourierdlem76  46632  fourierdlem81  46637  fourierdlem82  46638  fourierdlem84  46640  fourierdlem93  46649  fourierdlem111  46667  fouriersw  46681  etransclem35  46719  qndenserrnbllem  46744  nnfoctbdjlem  46905  hoidmvlelem3  47047  hoiqssbllem2  47073  smfmullem1  47241  sfprmdvdsmersenne  48088  lighneallem2  48091  perfectALTVlem2  48220  eenglngeehlnmlem2  49236