Theorem gtned 11372

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ℝcr 11126   < clt 11270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275

This theorem is used by:  ltned  11373  gt0ne0d  11805  fzdif1  13662  seqf1olem1  14107  seqf1olem2  14108  hashfun  14504  abssubne0  15406  rpnnen2lem9  16314  rpnnen2lem11  16316  qsidomlem1  21547  coe1tmmul2  22506  iccpnfcnv  25176  iccpnfhmeo  25177  pmltpclem2  25681  voliunlem1  25782  dvferm1lem  26216  lhop2  26247  ftc1lem5  26272  vieta1lem2  26545  geolim3  26575  logtayl  26898  rtprmirr  26998  atanre  27123  lgamgulmlem2  27267  lgamgulmlem3  27268  perfectlem2  27467  axlowdimlem16  29415  clwwisshclwwslem  30485  frgrogt3nreg  30878  madjusmdetlem2  34340  esumcvgre  34603  eulerpartlems  34873  hgt750lem  35161  ivthALT  36956  unbdqndv2lem2  37209  knoppndvlem17  37227  poimirlem11  38382  poimirlem12  38383  poimirlem24  38395  lcmineqlem11  42907  3lexlogpow2ineq2  42927  aks4d1p1p2  42938  aks4d1p1p4  42939  aks4d1p1p6  42941  aks4d1p1p7  42942  aks4d1p1p5  42943  aks4d1p3  42946  aks4d1p7d1  42950  aks4d1p7  42951  aks4d1p8  42955  aks4d1p9  42956  aks6d1c1  42984  aks6d1c7lem1  43048  aks6d1c7lem2  43049  sn-0ne2  43283  pellfundne1  43732  eliccelioc  46353  fmul01lt1lem1  46416  lptre2pt  46470  cncfiooicclem1  46723  cncfioobdlem  46726  dvnmul  46773  ditgeqiooicc  46790  itgioocnicc  46807  iblcncfioo  46808  wallispilem4  46898  wallispi  46900  wallispi2lem1  46901  wallispi2lem2  46902  wallispi2  46903  stirlinglem5  46908  fourierdlem4  46941  fourierdlem34  46971  fourierdlem41  46978  fourierdlem42  46979  fourierdlem48  46984  fourierdlem49  46985  fourierdlem61  46997  fourierdlem73  47009  fourierdlem75  47011  fourierdlem76  47012  fourierdlem81  47017  fourierdlem82  47018  fourierdlem84  47020  fourierdlem93  47029  fourierdlem111  47047  fouriersw  47061  etransclem35  47099  qndenserrnbllem  47124  nnfoctbdjlem  47285  hoidmvlelem3  47427  hoiqssbllem2  47453  smfmullem1  47621  sfprmdvdsmersenne  48508  lighneallem2  48511  perfectALTVlem2  48640  eenglngeehlnmlem2  49670