MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtned Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtned 10453
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
gtned (𝜑𝐵𝐴)

Proof of Theorem gtned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltned.2 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
3 ltne 10415 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3syl2anc 575 1 (𝜑𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2156  wne 2978   class class class wbr 4844  cr 10216   < clt 10355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-resscn 10274  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-ltxr 10360
This theorem is referenced by:  ltned  10454  seqf1olem1  13059  seqf1olem2  13060  hashfun  13437  abssubne0  14275  rpnnen2lem9  15167  rpnnen2lem11  15169  coe1tmmul2  19850  iccpnfcnv  22952  iccpnfhmeo  22953  pmltpclem2  23426  voliunlem1  23527  dvferm1lem  23957  lhop2  23988  ftc1lem5  24013  vieta1lem2  24276  geolim3  24304  logtayl  24616  atanre  24822  lgamgulmlem2  24966  lgamgulmlem3  24967  perfectlem2  25165  axlowdimlem16  26047  clwwisshclwwslem  27153  frgrogt3nreg  27581  nn0sqeq1  29836  esumcvgre  30474  eulerpartlems  30743  hgt750lem  31050  ivthALT  32646  unbdqndv2lem2  32813  knoppndvlem17  32831  poimirlem11  33728  poimirlem12  33729  poimirlem24  33741  pellfundne1  37949  eliccelioc  40222  fmul01lt1lem1  40290  lptre2pt  40346  cncfiooicclem1  40580  cncfioobdlem  40583  dvnmul  40632  ditgeqiooicc  40649  itgioocnicc  40666  iblcncfioo  40667  wallispilem4  40758  wallispi  40760  wallispi2lem1  40761  wallispi2lem2  40762  wallispi2  40763  stirlinglem5  40768  fourierdlem4  40801  fourierdlem34  40831  fourierdlem41  40838  fourierdlem42  40839  fourierdlem48  40844  fourierdlem49  40845  fourierdlem61  40857  fourierdlem73  40869  fourierdlem75  40871  fourierdlem76  40872  fourierdlem81  40877  fourierdlem82  40878  fourierdlem84  40880  fourierdlem93  40889  fourierdlem111  40907  fouriersw  40921  etransclem35  40959  qndenserrnbllem  40987  nnfoctbdjlem  41145  hoidmvlelem3  41287  hoiqssbllem2  41313  smfmullem1  41474  sfprmdvdsmersenne  42089  lighneallem2  42092  perfectALTVlem2  42200
  Copyright terms: Public domain W3C validator