Theorem gtned 11396

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11358	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  ltned  11397  fzdif1  13645  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  hashfun  14476  abssubne0  15355  rpnnen2lem9  16258  rpnnen2lem11  16260  coe1tmmul2  22279  iccpnfcnv  24975  iccpnfhmeo  24976  pmltpclem2  25484  voliunlem1  25585  dvferm1lem  26022  lhop2  26054  ftc1lem5  26081  vieta1lem2  26353  geolim3  26381  logtayl  26702  rtprmirr  26803  atanre  26928  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  perfectlem2  27274  axlowdimlem16  28972  clwwisshclwwslem  30033  frgrogt3nreg  30416  qsidomlem1  33480  madjusmdetlem2  33827  esumcvgre  34092  eulerpartlems  34362  hgt750lem  34666  ivthALT  36336  unbdqndv2lem2  36511  knoppndvlem17  36529  poimirlem11  37638  poimirlem12  37639  poimirlem24  37651  lcmineqlem11  42040  3lexlogpow2ineq2  42060  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p1p5  42076  aks4d1p3  42079  aks4d1p7d1  42083  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088  aks4d1p9  42089  aks6d1c1  42117  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  sn-0ne2  42436  pellfundne1  42900  eliccelioc  45534  fmul01lt1lem1  45599  lptre2pt  45655  cncfiooicclem1  45908  cncfioobdlem  45911  dvnmul  45958  ditgeqiooicc  45975  itgioocnicc  45992  iblcncfioo  45993  wallispilem4  46083  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  wallispi2  46088  stirlinglem5  46093  fourierdlem4  46126  fourierdlem34  46156  fourierdlem41  46163  fourierdlem42  46164  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem61  46182  fourierdlem73  46194  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem81  46202  fourierdlem82  46203  fourierdlem84  46205  fourierdlem93  46214  fourierdlem111  46232  fouriersw  46246  etransclem35  46284  qndenserrnbllem  46309  nnfoctbdjlem  46470  hoidmvlelem3  46612  hoiqssbllem2  46638  smfmullem1  46806  sfprmdvdsmersenne  47590  lighneallem2  47593  perfectALTVlem2  47709  eenglngeehlnmlem2  48659