Theorem gtned 11316

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  ltned  11317  gt0ne0d  11749  fzdif1  13573  seqf1olem1  14013  seqf1olem2  14014  hashfun  14409  abssubne0  15290  rpnnen2lem9  16197  rpnnen2lem11  16199  coe1tmmul2  22169  iccpnfcnv  24849  iccpnfhmeo  24850  pmltpclem2  25357  voliunlem1  25458  dvferm1lem  25895  lhop2  25927  ftc1lem5  25954  vieta1lem2  26226  geolim3  26254  logtayl  26576  rtprmirr  26677  atanre  26802  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  perfectlem2  27148  axlowdimlem16  28891  clwwisshclwwslem  29950  frgrogt3nreg  30333  qsidomlem1  33430  madjusmdetlem2  33825  esumcvgre  34088  eulerpartlems  34358  hgt750lem  34649  ivthALT  36330  unbdqndv2lem2  36505  knoppndvlem17  36523  poimirlem11  37632  poimirlem12  37633  poimirlem24  37645  lcmineqlem11  42034  3lexlogpow2ineq2  42054  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p3  42073  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  aks6d1c1  42111  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  sn-0ne2  42401  pellfundne1  42884  eliccelioc  45526  fmul01lt1lem1  45589  lptre2pt  45645  cncfiooicclem1  45898  cncfioobdlem  45901  dvnmul  45948  ditgeqiooicc  45965  itgioocnicc  45982  iblcncfioo  45983  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  wallispi2lem2  46077  wallispi2  46078  stirlinglem5  46083  fourierdlem4  46116  fourierdlem34  46146  fourierdlem41  46153  fourierdlem42  46154  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem61  46172  fourierdlem73  46184  fourierdlem75  46186  fourierdlem76  46187  fourierdlem81  46192  fourierdlem82  46193  fourierdlem84  46195  fourierdlem93  46204  fourierdlem111  46222  fouriersw  46236  etransclem35  46274  qndenserrnbllem  46299  nnfoctbdjlem  46460  hoidmvlelem3  46602  hoiqssbllem2  46628  smfmullem1  46796  sfprmdvdsmersenne  47608  lighneallem2  47611  perfectALTVlem2  47727  eenglngeehlnmlem2  48731