Theorem gtned 11373

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11335	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  ltned  11374  gt0ne0d  11806  fzdif1  13664  seqf1olem1  14109  seqf1olem2  14110  hashfun  14506  abssubne0  15408  rpnnen2lem9  16316  rpnnen2lem11  16318  qsidomlem1  21549  coe1tmmul2  22508  iccpnfcnv  25178  iccpnfhmeo  25179  pmltpclem2  25683  voliunlem1  25784  dvferm1lem  26218  lhop2  26249  ftc1lem5  26274  vieta1lem2  26550  geolim3  26582  logtayl  26905  rtprmirr  27005  atanre  27130  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  perfectlem2  27474  axlowdimlem16  29422  clwwisshclwwslem  30492  frgrogt3nreg  30885  madjusmdetlem2  34346  esumcvgre  34609  eulerpartlems  34879  hgt750lem  35167  ivthALT  36962  unbdqndv2lem2  37215  knoppndvlem17  37233  poimirlem11  38388  poimirlem12  38389  poimirlem24  38401  lcmineqlem11  42913  3lexlogpow2ineq2  42933  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1p4  42945  aks4d1p1p6  42947  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1p5  42949  aks4d1p3  42952  aks4d1p7d1  42956  aks4d1p7  42957  aks4d1p8  42961  aks4d1p9  42962  aks6d1c1  42990  aks6d1c7lem1  43054  aks6d1c7lem2  43055  sn-0ne2  43289  pellfundne1  43738  eliccelioc  46359  fmul01lt1lem1  46422  lptre2pt  46476  cncfiooicclem1  46729  cncfioobdlem  46732  dvnmul  46779  ditgeqiooicc  46796  itgioocnicc  46813  iblcncfioo  46814  wallispilem4  46904  wallispi  46906  wallispi2lem1  46907  wallispi2lem2  46908  wallispi2  46909  stirlinglem5  46914  fourierdlem4  46947  fourierdlem34  46977  fourierdlem41  46984  fourierdlem42  46985  fourierdlem48  46990  fourierdlem49  46991  fourierdlem61  47003  fourierdlem73  47015  fourierdlem75  47017  fourierdlem76  47018  fourierdlem81  47023  fourierdlem82  47024  fourierdlem84  47026  fourierdlem93  47035  fourierdlem111  47053  fouriersw  47067  etransclem35  47105  qndenserrnbllem  47130  nnfoctbdjlem  47291  hoidmvlelem3  47433  hoiqssbllem2  47459  smfmullem1  47627  sfprmdvdsmersenne  48514  lighneallem2  48517  perfectALTVlem2  48646  eenglngeehlnmlem2  49676