Theorem gtned 11110

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  ltned  11111  seqf1olem1  13762  seqf1olem2  13763  hashfun  14152  abssubne0  15028  rpnnen2lem9  15931  rpnnen2lem11  15933  coe1tmmul2  21447  iccpnfcnv  24107  iccpnfhmeo  24108  pmltpclem2  24613  voliunlem1  24714  dvferm1lem  25148  lhop2  25179  ftc1lem5  25204  vieta1lem2  25471  geolim3  25499  logtayl  25815  atanre  26035  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  perfectlem2  26378  axlowdimlem16  27325  clwwisshclwwslem  28378  frgrogt3nreg  28761  qsidomlem1  31628  esumcvgre  32059  eulerpartlems  32327  hgt750lem  32631  ivthALT  34524  unbdqndv2lem2  34690  knoppndvlem17  34708  poimirlem11  35788  poimirlem12  35789  poimirlem24  35801  lcmineqlem11  40047  3lexlogpow2ineq2  40067  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p4  40079  aks4d1p1p6  40081  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1p5  40083  aks4d1p3  40086  aks4d1p7d1  40090  aks4d1p7  40091  aks4d1p8  40095  aks4d1p9  40096  rtprmirr  40347  sn-0ne2  40389  pellfundne1  40711  eliccelioc  43059  fmul01lt1lem1  43125  lptre2pt  43181  cncfiooicclem1  43434  cncfioobdlem  43437  dvnmul  43484  ditgeqiooicc  43501  itgioocnicc  43518  iblcncfioo  43519  wallispilem4  43609  wallispi  43611  wallispi2lem1  43612  wallispi2lem2  43613  wallispi2  43614  stirlinglem5  43619  fourierdlem4  43652  fourierdlem34  43682  fourierdlem41  43689  fourierdlem42  43690  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem61  43708  fourierdlem73  43720  fourierdlem75  43722  fourierdlem76  43723  fourierdlem81  43728  fourierdlem82  43729  fourierdlem84  43731  fourierdlem93  43740  fourierdlem111  43758  fouriersw  43772  etransclem35  43810  qndenserrnbllem  43835  nnfoctbdjlem  43993  hoidmvlelem3  44135  hoiqssbllem2  44161  smfmullem1  44325  sfprmdvdsmersenne  45055  lighneallem2  45058  perfectALTVlem2  45174  eenglngeehlnmlem2  46084