Theorem gtned 11268

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  ltned  11269  gt0ne0d  11701  fzdif1  13521  seqf1olem1  13964  seqf1olem2  13965  hashfun  14360  abssubne0  15240  rpnnen2lem9  16147  rpnnen2lem11  16149  coe1tmmul2  22218  iccpnfcnv  24898  iccpnfhmeo  24899  pmltpclem2  25406  voliunlem1  25507  dvferm1lem  25944  lhop2  25976  ftc1lem5  26003  vieta1lem2  26275  geolim3  26303  logtayl  26625  rtprmirr  26726  atanre  26851  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  perfectlem2  27197  axlowdimlem16  29030  clwwisshclwwslem  30089  frgrogt3nreg  30472  qsidomlem1  33533  madjusmdetlem2  33985  esumcvgre  34248  eulerpartlems  34517  hgt750lem  34808  ivthALT  36529  unbdqndv2lem2  36710  knoppndvlem17  36728  poimirlem11  37828  poimirlem12  37829  poimirlem24  37841  lcmineqlem11  42289  3lexlogpow2ineq2  42309  aks4d1p1p2  42320  aks4d1p1p4  42321  aks4d1p1p6  42323  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p1p5  42325  aks4d1p3  42328  aks4d1p7d1  42332  aks4d1p7  42333  aks4d1p8  42337  aks4d1p9  42338  aks6d1c1  42366  aks6d1c7lem1  42430  aks6d1c7lem2  42431  sn-0ne2  42657  pellfundne1  43127  eliccelioc  45763  fmul01lt1lem1  45826  lptre2pt  45880  cncfiooicclem1  46133  cncfioobdlem  46136  dvnmul  46183  ditgeqiooicc  46200  itgioocnicc  46217  iblcncfioo  46218  wallispilem4  46308  wallispi  46310  wallispi2lem1  46311  wallispi2lem2  46312  wallispi2  46313  stirlinglem5  46318  fourierdlem4  46351  fourierdlem34  46381  fourierdlem41  46388  fourierdlem42  46389  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem61  46407  fourierdlem73  46419  fourierdlem75  46421  fourierdlem76  46422  fourierdlem81  46427  fourierdlem82  46428  fourierdlem84  46430  fourierdlem93  46439  fourierdlem111  46457  fouriersw  46471  etransclem35  46509  qndenserrnbllem  46534  nnfoctbdjlem  46695  hoidmvlelem3  46837  hoiqssbllem2  46863  smfmullem1  47031  sfprmdvdsmersenne  47845  lighneallem2  47848  perfectALTVlem2  47964  eenglngeehlnmlem2  48980