Theorem gtned 10775

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10737	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680

This theorem is referenced by:  ltned  10776  seqf1olem1  13410  seqf1olem2  13411  hashfun  13799  abssubne0  14676  rpnnen2lem9  15575  rpnnen2lem11  15577  coe1tmmul2  20444  iccpnfcnv  23548  iccpnfhmeo  23549  pmltpclem2  24050  voliunlem1  24151  dvferm1lem  24581  lhop2  24612  ftc1lem5  24637  vieta1lem2  24900  geolim3  24928  logtayl  25243  atanre  25463  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  perfectlem2  25806  axlowdimlem16  26743  clwwisshclwwslem  27792  frgrogt3nreg  28176  qsidomlem1  30965  esumcvgre  31350  eulerpartlems  31618  hgt750lem  31922  ivthALT  33683  unbdqndv2lem2  33849  knoppndvlem17  33867  poimirlem11  34918  poimirlem12  34919  poimirlem24  34931  rtprmirr  39214  sn-0ne2  39256  pellfundne1  39506  eliccelioc  41817  fmul01lt1lem1  41885  lptre2pt  41941  cncfiooicclem1  42196  cncfioobdlem  42199  dvnmul  42248  ditgeqiooicc  42265  itgioocnicc  42282  iblcncfioo  42283  wallispilem4  42373  wallispi  42375  wallispi2lem1  42376  wallispi2lem2  42377  wallispi2  42378  stirlinglem5  42383  fourierdlem4  42416  fourierdlem34  42446  fourierdlem41  42453  fourierdlem42  42454  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem61  42472  fourierdlem73  42484  fourierdlem75  42486  fourierdlem76  42487  fourierdlem81  42492  fourierdlem82  42493  fourierdlem84  42495  fourierdlem93  42504  fourierdlem111  42522  fouriersw  42536  etransclem35  42574  qndenserrnbllem  42599  nnfoctbdjlem  42757  hoidmvlelem3  42899  hoiqssbllem2  42925  smfmullem1  43086  sfprmdvdsmersenne  43788  lighneallem2  43791  perfectALTVlem2  43907  eenglngeehlnmlem2  44745