Theorem gtned 11315

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ℝcr 11069   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218

This theorem is referenced by:  ltned  11316  gt0ne0d  11748  fzdif1  13607  seqf1olem1  14051  seqf1olem2  14052  hashfun  14447  abssubne0  15327  rpnnen2lem9  16237  rpnnen2lem11  16239  coe1tmmul2  22319  iccpnfcnv  24986  iccpnfhmeo  24987  pmltpclem2  25491  voliunlem1  25592  dvferm1lem  26026  lhop2  26057  ftc1lem5  26082  vieta1lem2  26352  geolim3  26380  logtayl  26702  rtprmirr  26802  atanre  26927  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem3  27072  perfectlem2  27271  axlowdimlem16  29104  clwwisshclwwslem  30162  frgrogt3nreg  30545  qsidomlem1  33600  madjusmdetlem2  34086  esumcvgre  34349  eulerpartlems  34618  hgt750lem  34909  ivthALT  36659  unbdqndv2lem2  36912  knoppndvlem17  36930  poimirlem11  38094  poimirlem12  38095  poimirlem24  38107  lcmineqlem11  42620  3lexlogpow2ineq2  42640  aks4d1p1p2  42651  aks4d1p1p4  42652  aks4d1p1p6  42654  aks4d1p1p7  42655  aks4d1p1p5  42656  aks4d1p3  42659  aks4d1p7d1  42663  aks4d1p7  42664  aks4d1p8  42668  aks4d1p9  42669  aks6d1c1  42697  aks6d1c7lem1  42761  aks6d1c7lem2  42762  sn-0ne2  42979  pellfundne1  43430  eliccelioc  46061  fmul01lt1lem1  46124  lptre2pt  46178  cncfiooicclem1  46431  cncfioobdlem  46434  dvnmul  46481  ditgeqiooicc  46498  itgioocnicc  46515  iblcncfioo  46516  wallispilem4  46606  wallispi  46608  wallispi2lem1  46609  wallispi2lem2  46610  wallispi2  46611  stirlinglem5  46616  fourierdlem4  46649  fourierdlem34  46679  fourierdlem41  46686  fourierdlem42  46687  fourierdlem48  46692  fourierdlem49  46693  fourierdlem61  46705  fourierdlem73  46717  fourierdlem75  46719  fourierdlem76  46720  fourierdlem81  46725  fourierdlem82  46726  fourierdlem84  46728  fourierdlem93  46737  fourierdlem111  46755  fouriersw  46769  etransclem35  46807  qndenserrnbllem  46832  nnfoctbdjlem  46993  hoidmvlelem3  47135  hoiqssbllem2  47161  smfmullem1  47329  sfprmdvdsmersenne  48176  lighneallem2  48179  perfectALTVlem2  48308  eenglngeehlnmlem2  49324