Theorem gtned 11425

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  ltned  11426  seqf1olem1  14092  seqf1olem2  14093  hashfun  14486  abssubne0  15365  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem11  16272  coe1tmmul2  22300  iccpnfcnv  24994  iccpnfhmeo  24995  pmltpclem2  25503  voliunlem1  25604  dvferm1lem  26042  lhop2  26074  ftc1lem5  26101  vieta1lem2  26371  geolim3  26399  logtayl  26720  rtprmirr  26821  atanre  26946  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  perfectlem2  27292  axlowdimlem16  28990  clwwisshclwwslem  30046  frgrogt3nreg  30429  qsidomlem1  33445  esumcvgre  34055  eulerpartlems  34325  hgt750lem  34628  ivthALT  36301  unbdqndv2lem2  36476  knoppndvlem17  36494  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem24  37604  lcmineqlem11  41996  3lexlogpow2ineq2  42016  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p3  42035  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  aks6d1c1  42073  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  sn-0ne2  42382  pellfundne1  42845  eliccelioc  45439  fmul01lt1lem1  45505  lptre2pt  45561  cncfiooicclem1  45814  cncfioobdlem  45817  dvnmul  45864  ditgeqiooicc  45881  itgioocnicc  45898  iblcncfioo  45899  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem5  45999  fourierdlem4  46032  fourierdlem34  46062  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem61  46088  fourierdlem73  46100  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem81  46108  fourierdlem82  46109  fourierdlem84  46111  fourierdlem93  46120  fourierdlem111  46138  fouriersw  46152  etransclem35  46190  qndenserrnbllem  46215  nnfoctbdjlem  46376  hoidmvlelem3  46518  hoiqssbllem2  46544  smfmullem1  46712  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem2  47480  perfectALTVlem2  47596  eenglngeehlnmlem2  48472