Theorem gtned 11349

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  ltned  11350  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  hashfun  14397  abssubne0  15263  rpnnen2lem9  16165  rpnnen2lem11  16167  coe1tmmul2  21798  iccpnfcnv  24460  iccpnfhmeo  24461  pmltpclem2  24966  voliunlem1  25067  dvferm1lem  25501  lhop2  25532  ftc1lem5  25557  vieta1lem2  25824  geolim3  25852  logtayl  26168  atanre  26390  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  perfectlem2  26733  axlowdimlem16  28215  clwwisshclwwslem  29267  frgrogt3nreg  29650  qsidomlem1  32571  esumcvgre  33089  eulerpartlems  33359  hgt750lem  33663  ivthALT  35220  unbdqndv2lem2  35386  knoppndvlem17  35404  poimirlem11  36499  poimirlem12  36500  poimirlem24  36512  lcmineqlem11  40904  3lexlogpow2ineq2  40924  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p3  40943  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  aks4d1p8  40952  aks4d1p9  40953  rtprmirr  41237  sn-0ne2  41279  pellfundne1  41627  eliccelioc  44234  fmul01lt1lem1  44300  lptre2pt  44356  cncfiooicclem1  44609  cncfioobdlem  44612  dvnmul  44659  ditgeqiooicc  44676  itgioocnicc  44693  iblcncfioo  44694  wallispilem4  44784  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem5  44794  fourierdlem4  44827  fourierdlem34  44857  fourierdlem41  44864  fourierdlem42  44865  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem61  44883  fourierdlem73  44895  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem84  44906  fourierdlem93  44915  fourierdlem111  44933  fouriersw  44947  etransclem35  44985  qndenserrnbllem  45010  nnfoctbdjlem  45171  hoidmvlelem3  45313  hoiqssbllem2  45339  smfmullem1  45507  sfprmdvdsmersenne  46271  lighneallem2  46274  perfectALTVlem2  46390  eenglngeehlnmlem2  47424