Theorem gtned 11426

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  ltned  11427  gt0ne0d  11861  fzdif1  13719  seqf1olem1  14164  seqf1olem2  14165  hashfun  14562  abssubne0  15464  rpnnen2lem9  16370  rpnnen2lem11  16372  qsidomlem1  21616  coe1tmmul2  22575  iccpnfcnv  25245  iccpnfhmeo  25246  pmltpclem2  25750  voliunlem1  25851  dvferm1lem  26284  lhop2  26315  ftc1lem5  26340  vieta1lem2  26616  geolim3  26648  logtayl  26970  rtprmirr  27070  atanre  27195  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem3  27340  perfectlem2  27539  axlowdimlem16  29517  clwwisshclwwslem  30587  frgrogt3nreg  30980  madjusmdetlem2  34442  esumcvgre  34705  eulerpartlems  34975  hgt750lem  35263  ivthALT  37093  unbdqndv2lem2  37346  knoppndvlem17  37364  poimirlem11  38517  poimirlem12  38518  poimirlem24  38530  lcmineqlem11  43057  3lexlogpow2ineq2  43077  aks4d1p1p2  43088  aks4d1p1p4  43089  aks4d1p1p6  43091  aks4d1p1p7  43092  aks4d1p1p5  43093  aks4d1p3  43096  aks4d1p7d1  43100  aks4d1p7  43101  aks4d1p8  43105  aks4d1p9  43106  aks6d1c1  43134  aks6d1c7lem1  43198  aks6d1c7lem2  43199  sn-0ne2  43425  pellfundne1  43849  eliccelioc  46477  fmul01lt1lem1  46540  lptre2pt  46594  cncfiooicclem1  46847  cncfioobdlem  46850  dvnmul  46897  ditgeqiooicc  46914  itgioocnicc  46931  iblcncfioo  46932  wallispilem4  47022  wallispi  47024  wallispi2lem1  47025  wallispi2lem2  47026  wallispi2  47027  stirlinglem5  47032  fourierdlem4  47065  fourierdlem34  47095  fourierdlem41  47102  fourierdlem42  47103  fourierdlem48  47108  fourierdlem49  47109  fourierdlem61  47121  fourierdlem73  47133  fourierdlem75  47135  fourierdlem76  47136  fourierdlem81  47141  fourierdlem82  47142  fourierdlem84  47144  fourierdlem93  47153  fourierdlem111  47171  fouriersw  47185  etransclem35  47223  qndenserrnbllem  47248  nnfoctbdjlem  47409  hoidmvlelem3  47551  hoiqssbllem2  47577  smfmullem1  47745  sfprmdvdsmersenne  48632  lighneallem2  48635  perfectALTVlem2  48764  eenglngeehlnmlem2  49794