Theorem gtned 10764

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10726	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  ltned  10765  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  hashfun  13794  abssubne0  14668  rpnnen2lem9  15567  rpnnen2lem11  15569  coe1tmmul2  20905  iccpnfcnv  23549  iccpnfhmeo  23550  pmltpclem2  24053  voliunlem1  24154  dvferm1lem  24587  lhop2  24618  ftc1lem5  24643  vieta1lem2  24907  geolim3  24935  logtayl  25251  atanre  25471  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  perfectlem2  25814  axlowdimlem16  26751  clwwisshclwwslem  27799  frgrogt3nreg  28182  qsidomlem1  31036  esumcvgre  31460  eulerpartlems  31728  hgt750lem  32032  ivthALT  33796  unbdqndv2lem2  33962  knoppndvlem17  33980  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem24  35081  lcmineqlem11  39327  3lexlogpow5ineq2  39342  rtprmirr  39502  sn-0ne2  39544  pellfundne1  39830  eliccelioc  42158  fmul01lt1lem1  42226  lptre2pt  42282  cncfiooicclem1  42535  cncfioobdlem  42538  dvnmul  42585  ditgeqiooicc  42602  itgioocnicc  42619  iblcncfioo  42620  wallispilem4  42710  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  wallispi2lem2  42714  wallispi2  42715  stirlinglem5  42720  fourierdlem4  42753  fourierdlem34  42783  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem61  42809  fourierdlem73  42821  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem81  42829  fourierdlem82  42830  fourierdlem84  42832  fourierdlem93  42841  fourierdlem111  42859  fouriersw  42873  etransclem35  42911  qndenserrnbllem  42936  nnfoctbdjlem  43094  hoidmvlelem3  43236  hoiqssbllem2  43262  smfmullem1  43423  sfprmdvdsmersenne  44121  lighneallem2  44124  perfectALTVlem2  44240  eenglngeehlnmlem2  45152