Theorem gtned 11281

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 11243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  ltned  11282  gt0ne0d  11714  fzdif1  13559  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  hashfun  14399  abssubne0  15279  rpnnen2lem9  16189  rpnnen2lem11  16191  coe1tmmul2  22241  iccpnfcnv  24911  iccpnfhmeo  24912  pmltpclem2  25416  voliunlem1  25517  dvferm1lem  25951  lhop2  25982  ftc1lem5  26007  vieta1lem2  26277  geolim3  26305  logtayl  26624  rtprmirr  26724  atanre  26849  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  perfectlem2  27193  axlowdimlem16  29026  clwwisshclwwslem  30084  frgrogt3nreg  30467  qsidomlem1  33512  madjusmdetlem2  33972  esumcvgre  34235  eulerpartlems  34504  hgt750lem  34795  ivthALT  36517  unbdqndv2lem2  36770  knoppndvlem17  36788  poimirlem11  37952  poimirlem12  37953  poimirlem24  37965  lcmineqlem11  42478  3lexlogpow2ineq2  42498  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p3  42517  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  aks6d1c1  42555  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  sn-0ne2  42838  pellfundne1  43317  eliccelioc  45951  fmul01lt1lem1  46014  lptre2pt  46068  cncfiooicclem1  46321  cncfioobdlem  46324  dvnmul  46371  ditgeqiooicc  46388  itgioocnicc  46405  iblcncfioo  46406  wallispilem4  46496  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem5  46506  fourierdlem4  46539  fourierdlem34  46569  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem61  46595  fourierdlem73  46607  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem84  46618  fourierdlem93  46627  fourierdlem111  46645  fouriersw  46659  etransclem35  46697  qndenserrnbllem  46722  nnfoctbdjlem  46883  hoidmvlelem3  47025  hoiqssbllem2  47051  smfmullem1  47219  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem2  48069  perfectALTVlem2  48198  eenglngeehlnmlem2  49214