Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon2bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polcon2bN 39387
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polcon2bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem polcon2bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
3 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
4 2polss.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polcon2N 39386 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
71, 2, 3, 6syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
8 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋𝐴)
10 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
114, 5polcon2N 39386 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
128, 9, 10, 11syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
137, 12impbida 800 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3945  cfv 6542  Atomscatm 38729  HLchlt 38816  𝑃cpolN 39369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-polarityN 39370
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator