Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon2bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polcon2bN 39902
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polcon2bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem polcon2bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
3 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
4 2polss.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polcon2N 39901 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
71, 2, 3, 6syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
8 simpl1 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋𝐴)
10 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
114, 5polcon2N 39901 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
128, 9, 10, 11syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
137, 12impbida 801 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ↔ 𝑌 ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cfv 6562  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  𝑃cpolN 39884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-polarityN 39885
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator