Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polcon2bN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem polcon2bN 38791
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2polss.p βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
polcon2bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Proof of Theorem polcon2bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
3 simpr 486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
4 2polss.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 2polss.p . . . 4 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
64, 5polcon2N 38790 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
8 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simpl2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
10 simpr 486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹))
114, 5polcon2N 38790 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
128, 9, 10, 11syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ))
137, 12impbida 800 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘Œ) ↔ π‘Œ βŠ† ( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  βŠ₯𝑃cpolN 38773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-polarityN 38774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator