Theorem pclss2polN 41072

Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclss2pol.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pclss2pol.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclss2polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pclss2pol.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pclss2pol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	2polssN 41066	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
5	2, 3	polssatN 41059	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	2, 3	polssatN 41059	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
8		pclss2pol.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
9	2, 8	pclssN 41045	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
10	1, 4, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12	2, 11, 3	polsubN 41058	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
13	5, 12	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	11, 8	pclidN 41047	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
15	13, 14	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	10, 15	sseqtrd 3944	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  Atomscatm 40414  HLchlt 40501  PSubSpcpsubsp 40647  PClcpclN 41038  ⊥_𝑃cpolN 41053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-proset 18474  df-poset 18493  df-plt 18508  df-lub 18524  df-glb 18525  df-join 18526  df-meet 18527  df-p0 18603  df-p1 18604  df-lat 18612  df-clat 18679  df-oposet 40327  df-ol 40329  df-oml 40330  df-covers 40417  df-ats 40418  df-atl 40449  df-cvlat 40473  df-hlat 40502  df-psubsp 40654  df-pmap 40655  df-pclN 41039  df-polarityN 41054

This theorem is used by:  pcl0N  41073