Theorem pclss2polN 40505

Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclss2pol.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pclss2pol.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclss2polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pclss2pol.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pclss2pol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	2polssN 40499	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
5	2, 3	polssatN 40492	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	2, 3	polssatN 40492	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
8		pclss2pol.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
9	2, 8	pclssN 40478	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
10	1, 4, 7, 9	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12	2, 11, 3	polsubN 40491	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
13	5, 12	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	11, 8	pclidN 40480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
15	13, 14	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	10, 15	sseqtrd 3970	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  Atomscatm 39847  HLchlt 39934  PSubSpcpsubsp 40080  PClcpclN 40471  ⊥_𝑃cpolN 40486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18316  df-poset 18335  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18454  df-clat 18521  df-oposet 39760  df-ol 39762  df-oml 39763  df-covers 39850  df-ats 39851  df-atl 39882  df-cvlat 39906  df-hlat 39935  df-psubsp 40087  df-pmap 40088  df-pclN 40472  df-polarityN 40487

This theorem is referenced by:  pcl0N  40506