Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclss2polN 35942
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o = (⊥𝑃𝐾)
pclss2pol.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pclss2pol.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclss2pol.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
42, 32polssN 35936 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
52, 3polssatN 35929 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
62, 3polssatN 35929 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
75, 6syldan 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
8 pclss2pol.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
92, 8pclssN 35915 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
101, 4, 7, 9syl3anc 1491 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
11 eqid 2799 . . . . 5 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
122, 11, 3polsubN 35928 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
135, 12syldan 586 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1411, 8pclidN 35917 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1513, 14syldan 586 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1610, 15sseqtrd 3837 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769  cfv 6101  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  PSubSpcpsubsp 35517  PClcpclN 35908  𝑃cpolN 35923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-riotaBAD 34974
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-undef 7637  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-pclN 35909  df-polarityN 35924
This theorem is referenced by:  pcl0N  35943
  Copyright terms: Public domain W3C validator