Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclss2polN 39449
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pclss2pol.o βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
pclss2pol.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 pclss2pol.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 pclss2pol.o . . . 4 βŠ₯ = (βŠ₯π‘ƒβ€˜πΎ)
42, 32polssN 39443 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
52, 3polssatN 39436 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
62, 3polssatN 39436 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† 𝐴)
75, 6syldan 589 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† 𝐴)
8 pclss2pol.c . . . 4 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
92, 8pclssN 39422 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) βŠ† (π‘ˆβ€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
101, 4, 7, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) βŠ† (π‘ˆβ€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))))
11 eqid 2725 . . . . 5 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
122, 11, 3polsubN 39435 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
135, 12syldan 589 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
1411, 8pclidN 39424 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
1513, 14syldan 589 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
1610, 15sseqtrd 4013 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‹) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6542  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  PSubSpcpsubsp 39024  PClcpclN 39415  βŠ₯𝑃cpolN 39430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-pclN 39416  df-polarityN 39431
This theorem is referenced by:  pcl0N  39450
  Copyright terms: Public domain W3C validator