Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclss2polN 39923
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o = (⊥𝑃𝐾)
pclss2pol.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pclss2pol.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclss2pol.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
42, 32polssN 39917 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
52, 3polssatN 39910 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
62, 3polssatN 39910 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
75, 6syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
8 pclss2pol.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
92, 8pclssN 39896 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
101, 4, 7, 9syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ (𝑈‘( ‘( 𝑋))))
11 eqid 2737 . . . . 5 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
122, 11, 3polsubN 39909 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
135, 12syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
1411, 8pclidN 39898 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1513, 14syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈‘( ‘( 𝑋))) = ( ‘( 𝑋)))
1610, 15sseqtrd 4020 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  PSubSpcpsubsp 39498  PClcpclN 39889  𝑃cpolN 39904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-pclN 39890  df-polarityN 39905
This theorem is referenced by:  pcl0N  39924
  Copyright terms: Public domain W3C validator