Theorem pclss2polN 37961

Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclss2pol.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclss2pol.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pclss2pol.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclss2polN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem pclss2polN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		pclss2pol.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		pclss2pol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
4	2, 3	2polssN 37955	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
5	2, 3	polssatN 37948	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	2, 3	polssatN 37948	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
7	5, 6	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴)
8		pclss2pol.c	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
9	2, 8	pclssN 37934	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
10	1, 4, 7, 9	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))))
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
12	2, 11, 3	polsubN 37947	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
13	5, 12	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
14	11, 8	pclidN 37936	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
15	13, 14	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
16	10, 15	sseqtrd 3963	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6447  Atomscatm 37303  HLchlt 37390  PSubSpcpsubsp 37536  PClcpclN 37927  ⊥_𝑃cpolN 37942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-riotaBAD 36993

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-undef 8109  df-proset 18041  df-poset 18059  df-plt 18076  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-p0 18171  df-p1 18172  df-lat 18178  df-clat 18245  df-oposet 37216  df-ol 37218  df-oml 37219  df-covers 37306  df-ats 37307  df-atl 37338  df-cvlat 37362  df-hlat 37391  df-psubsp 37543  df-pmap 37544  df-pclN 37928  df-polarityN 37943

This theorem is referenced by:  pcl0N  37962