Theorem ptbasid 23802

Description: The base set of the product topology is a basic open set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
ptbasid	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝑔,𝑦,𝑘,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑔)

Proof of Theorem ptbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
2		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		0fi 9050	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → ∅ ∈ Fin)
5		ffvelcdm 7075	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
6	5	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
8	7	topopn 23132	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
10		eqidd 2761	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘))
11	1, 2, 4, 9, 10	elptr2 23801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Xcixp 8905  Fincfn 8953  Topctop 23119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-ixp 8906  df-en 8954  df-fin 8957  df-top 23120

This theorem is used by:  ptuni2  23803  ptbasfi  23808