Theorem ptbasid 23732

Description: The base set of the product topology is a basic open set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
ptbasid	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝑔,𝑦,𝑘,𝑧,𝐴   𝑔,𝐹,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑉,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem ptbasid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∣ ∃𝑔((𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦) ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ Fin ∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ 𝑧)(𝑔‘𝑦) = ∪ (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑥 = X𝑦 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑦))}
2		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → ∅ ∈ Fin)
5		ffvelcdm 7076	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
6	5	adantll 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ Top)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘)
8	7	topopn 23063	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ Top → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐹‘𝑘))
10		eqidd 2764	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ ∅)) → ∪ (𝐹‘𝑘) = ∪ (𝐹‘𝑘))
11	1, 2, 4, 9, 10	elptr2 23731	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘 ∈ 𝐴 ∪ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Xcixp 8891  Fincfn 8939  Topctop 23050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-ixp 8892  df-en 8940  df-fin 8943  df-top 23051

This theorem is referenced by:  ptuni2  23733  ptbasfi  23738