Theorem rankidn 9819

Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function 𝑅₁. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankidn	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Proof of Theorem rankidn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) = (rank‘𝐴)
2		rankr1c 9818	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))))
3	1, 2	mpbii 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴))))
4	3	simpld 493	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘(rank‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∪ cuni 4907   “ cima 5678  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ‘cfv 6542  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-r1 9761  df-rank 9762

This theorem is referenced by:  rankpwi  9820  rankelb  9821