Theorem fusgrfisstep 29414

Description: Induction step in fusgrfis 29415: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fusgrfisstep	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		residfi 9250	. 2 ⊢ (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin)
2		fusgrusgr 29407	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
5	3, 4	usgredgffibi 29409	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
7	6	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9		opvtxfv 29089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	10	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
12	11	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}
15	13, 4, 14	usgrfilem 29412	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
16	8, 12, 15	3imp3i2an 1347	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
17		opiedgfv 29092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
18	17	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
20	7, 16, 19	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
21	20	biimprd 248	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
22	1, 21	biimtrid 242	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  {crab 3401  ⟨cop 4588   I cid 5526   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  Edgcedg 29132  USGraphcusgr 29234  FinUSGraphcfusgr 29401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-vtx 29083  df-iedg 29084  df-edg 29133  df-upgr 29167  df-uspgr 29235  df-usgr 29236  df-fusgr 29402

This theorem is referenced by:  fusgrfis  29415