Theorem fusgrfisstep 29262

Description: Induction step in fusgrfis 29263: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fusgrfisstep	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		residfi 9373	. 2 ⊢ (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin)
2		fusgrusgr 29255	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
5	3, 4	usgredgffibi 29257	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
7	6	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9		opvtxfv 28937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
10	9	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	10	eleq2d 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
12	11	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}
15	13, 4, 14	usgrfilem 29260	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
16	8, 12, 15	3imp3i2an 1342	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
17		opiedgfv 28940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
18	17	eleq1d 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
20	7, 16, 19	3bitr3rd 309	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
21	20	biimprd 247	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
22	1, 21	biimtrid 241	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3036  {crab 3419  ⟨cop 4629   I cid 5571   ↾ cres 5676  ‘cfv 6546  Fincfn 8966  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  Edgcedg 28980  USGraphcusgr 29082  FinUSGraphcfusgr 29249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-hash 14343  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-upgr 29015  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-fusgr 29250

This theorem is referenced by:  fusgrfis  29263