MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrfisstep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrfisstep 27110
Description: Induction step in fusgrfis 27111: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fusgrfisstep (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep
StepHypRef Expression
1 residfi 8804 . 2 (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin)
2 fusgrusgr 27103 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3 eqid 2821 . . . . . . 7 (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4 eqid 2821 . . . . . . 7 (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
53, 4usgredgffibi 27105 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
62, 5syl 17 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
763ad2ant2 1130 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8 simp2 1133 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9 opvtxfv 26788 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
109eqcomd 2827 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
1110eleq2d 2898 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑁𝑉𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
1211biimpa 479 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13 eqid 2821 . . . . . 6 (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
14 eqid 2821 . . . . . 6 {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}
1513, 4, 14usgrfilem 27108 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
168, 12, 153imp3i2an 1341 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
17 opiedgfv 26791 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
1817eleq1d 2897 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
19183ad2ant1 1129 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
207, 16, 193bitr3rd 312 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin))
2120biimprd 250 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
221, 21syl5bi 244 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2110  wnel 3123  {crab 3142  cop 4572   I cid 5458  cres 5556  cfv 6354  Fincfn 8508  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  Edgcedg 26831  USGraphcusgr 26933  FinUSGraphcfusgr 27097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-hash 13690  df-vtx 26782  df-iedg 26783  df-edg 26832  df-upgr 26866  df-uspgr 26934  df-usgr 26935  df-fusgr 27098
This theorem is referenced by:  fusgrfis  27111
  Copyright terms: Public domain W3C validator