Theorem fusgrfisstep 29305

Description: Induction step in fusgrfis 29306: In a finite simple graph, the number of edges is finite if the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fusgrfisstep	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝑁,𝑝   𝑉,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem fusgrfisstep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		residfi 9222	. 2 ⊢ (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin)
2		fusgrusgr 29298	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
5	3, 4	usgredgffibi 29300	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
7	6	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
8		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph)
9		opvtxfv 28980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
10	9	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	10	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 ↔ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)))
12	11	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} = {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}
15	13, 4, 14	usgrfilem 29303	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
16	8, 12, 15	3imp3i2an 1346	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
17		opiedgfv 28983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
18	17	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin))
20	7, 16, 19	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin))
21	20	biimprd 248	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝} ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
22	1, 21	biimtrid 242	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( I ↾ {𝑝 ∈ (Edg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∣ 𝑁 ∉ 𝑝}) ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  {crab 3395  ⟨cop 4582   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  Vtxcvtx 28972  iEdgciedg 28973  Edgcedg 29023  USGraphcusgr 29125  FinUSGraphcfusgr 29292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-vtx 28974  df-iedg 28975  df-edg 29024  df-upgr 29058  df-uspgr 29126  df-usgr 29127  df-fusgr 29293

This theorem is referenced by:  fusgrfis  29306