Theorem dmfi 8848

Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomdm 8847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ≼ 𝐴)
2		domfi 8789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≼ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpdan 686	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  dom cdm 5528   ≼ cdom 8538  Fincfn 8540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-fin 8544

This theorem is referenced by:  fundmfibi  8849  residfi  8851  rnfi  8853  hashfun  13861  hashreshashfun  13863  psgnprfval  18729  gsum2dlem2  19172  gsum2d  19173  tsmsxp  22868  numedglnl  27049  vtxdginducedm1fi  27446  finsumvtxdg2ssteplem2  27448  finsumvtxdg2ssteplem4  27450  finsumvtxdg2sstep  27451  vtxdgoddnumeven  27455  relfi  30476  fedgmullem2  31244  esum2d  31592  etransclem27  43304