Theorem dmfi 9362

Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomdm 9361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ≼ 𝐴)
2		domfi 9242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≼ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ≼ cdom 9009  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-fin 9015

This theorem is used by:  fundmfibi  9363  residfi  9365  rnfi  9367  hashfun  14623  hashreshashfun  14625  psgnprfval  19786  gsum2dlem2  20236  gsum2d  20237  tsmsxp  24529  numedglnl  29779  vtxdginducedm1fi  30182  finsumvtxdg2ssteplem2  30184  finsumvtxdg2ssteplem4  30186  finsumvtxdg2sstep  30187  vtxdgoddnumeven  30191  relfi  33294  gsumfs2d  33721  fedgmullem2  34373  esum2d  34836  imadomfi  43318  etransclem27  47544