Theorem dmfi 9303

Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomdm 9302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ≼ 𝐴)
2		domfi 9184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≼ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655   ≼ cdom 8951  Fincfn 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8456  df-en 8954  df-dom 8955  df-fin 8957

This theorem is used by:  fundmfibi  9304  residfi  9306  rnfi  9308  hashfun  14503  hashreshashfun  14505  psgnprfval  19649  gsum2dlem2  20099  gsum2d  20100  tsmsxp  24382  numedglnl  29602  vtxdginducedm1fi  30005  finsumvtxdg2ssteplem2  30007  finsumvtxdg2ssteplem4  30009  finsumvtxdg2sstep  30010  vtxdgoddnumeven  30014  relfi  33076  gsumfs2d  33502  fedgmullem2  34141  esum2d  34604  imadomfi  42869  etransclem27  47090