Theorem dmfi 9324

Description: The domain of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dmfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem dmfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomdm 9323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ≼ 𝐴)
2		domfi 9204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom 𝐴 ≼ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   ≼ cdom 8971  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977

This theorem is used by:  fundmfibi  9325  residfi  9327  rnfi  9329  hashfun  14582  hashreshashfun  14584  psgnprfval  19735  gsum2dlem2  20185  gsum2d  20186  tsmsxp  24474  numedglnl  29722  vtxdginducedm1fi  30125  finsumvtxdg2ssteplem2  30127  finsumvtxdg2ssteplem4  30129  finsumvtxdg2sstep  30130  vtxdgoddnumeven  30134  relfi  33196  gsumfs2d  33622  fedgmullem2  34262  esum2d  34725  imadomfi  43052  etransclem27  47270