Theorem rr-phpd 44471

Description: Equivalent of php 9133 without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rr-phpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
rr-phpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
rr-phpd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rr-phpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem rr-phpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rr-phpd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		rr-phpd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
3		rr-phpd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4040	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php 9133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
10	2, 8, 9	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
12	1, 11	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   ⊊ wpss 3902   class class class wbr 5098  ωcom 7808   ≈ cen 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8886  df-dom 8887  df-fin 8889

This theorem is referenced by: (None)