MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval 21681
Description: Value of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 4-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
selvval.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
selvval.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘‡)
selvval.d 𝐷 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
selvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
selvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
selvval.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
selvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
selvval (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐽   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem selvval
Dummy variables 𝑓 𝑒 𝑑 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvval.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 selvval.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ π‘Š)
3 selvval.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
41, 2, 3selvfval 21680 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑅)) ↦ ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))))
5 coeq2 5859 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑑 ∘ 𝑓) = (𝑑 ∘ 𝐹))
65fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)) = (((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹)))
76fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
87csbeq2dv 3901 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
98csbeq2dv 3901 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
109csbeq2dv 3901 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
1110csbeq2dv 3901 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
1211adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝑓))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
13 selvval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
14 selvval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
15 selvval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1615fveq2i 6895 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑅))
1714, 16eqtri 2761 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑅))
1813, 17eleqtrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly 𝑅)))
19 fvex 6905 . . . . . . . 8 ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V
2019csbex 5312 . . . . . . 7 ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V
2120csbex 5312 . . . . . 6 ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V
2221csbex 5312 . . . . 5 ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V
2322csbex 5312 . . . 4 ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V
2423a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ V)
254, 12, 18, 24fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
26 ovex 7442 . . 3 ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ V
27 selvval.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
2827eqeq2i 2746 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ ↔ 𝑒 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
29 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝐽 mPoly 𝑒) = (𝐽 mPoly π‘ˆ))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (algScβ€˜π‘’) = (algScβ€˜π‘ˆ))
3130coeq2d 5863 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) = (𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
32 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝐽 mVar 𝑒) = (𝐽 mVar π‘ˆ))
3332fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯) = ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯))
3433ifeq1d 4548 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = π‘ˆ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))
3534mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
3635fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
3731, 36csbeq12dv 3903 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
3837csbeq2dv 3901 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
3929, 38csbeq12dv 3903 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝐽 mPoly π‘ˆ) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
40 ovex 7442 . . . . . 6 (𝐽 mPoly π‘ˆ) ∈ V
41 selvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
4241eqeq2i 2746 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 ↔ 𝑑 = (𝐽 mPoly π‘ˆ))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑇 β†’ (algScβ€˜π‘‘) = (algScβ€˜π‘‡))
44 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑇 β†’ (𝐼 evalSub 𝑑) = (𝐼 evalSub 𝑇))
4544fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑) = ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑))
4645fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑇 β†’ (((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹)) = (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹)))
4746fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑇 β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
4847csbeq2dv 3901 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑇 β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
4943, 48csbeq12dv 3903 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑇 β†’ ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(algScβ€˜π‘‡) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
50 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (algScβ€˜π‘‡) ∈ V
51 selvval.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (algScβ€˜π‘‡)
5251eqeq2i 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐢 ↔ 𝑐 = (algScβ€˜π‘‡))
53 coeq1 5858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
54 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)) = (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))
5554ifeq2d 4549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝐢 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))) = if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))
5655mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
5756fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
5853, 57csbeq12dv 3903 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐢 β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ⦋(𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
5951fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 ∈ V
60 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (algScβ€˜π‘ˆ) ∈ V
6159, 60coex 7921 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∈ V
62 selvval.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
6362eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝐷 ↔ 𝑑 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
64 rneq 5936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝐷 β†’ ran 𝑑 = ran 𝐷)
6564fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑) = ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷))
66 coeq1 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 ∘ 𝐹) = (𝐷 ∘ 𝐹))
6765, 66fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹)) = (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹)))
6867fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
6963, 68sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7061, 69csbie 3930 . . . . . . . . . . 11 ⦋(𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
7158, 70eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐢 β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7252, 71sylbir 234 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (algScβ€˜π‘‡) β†’ ⦋(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7350, 72csbie 3930 . . . . . . . 8 ⦋(algScβ€˜π‘‡) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
7449, 73eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑇 β†’ ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7542, 74sylbir 234 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐽 mPoly π‘ˆ) β†’ ⦋(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7640, 75csbie 3930 . . . . 5 ⦋(𝐽 mPoly π‘ˆ) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
7739, 76eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7828, 77sylbir 234 . . 3 (𝑒 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) β†’ ⦋(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
7926, 78csbie 3930 . 2 ⦋((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) / π‘’β¦Œβ¦‹(𝐽 mPoly 𝑒) / π‘‘β¦Œβ¦‹(algScβ€˜π‘‘) / π‘β¦Œβ¦‹(𝑐 ∘ (algScβ€˜π‘’)) / π‘‘β¦Œ((((𝐼 evalSub 𝑑)β€˜ran 𝑑)β€˜(𝑑 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑒)β€˜π‘₯), (π‘β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))))
8025, 79eqtrdi 2789 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran 𝐷)β€˜(𝐷 ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), (πΆβ€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  algSccascl 21407   mVar cmvr 21458   mPoly cmpl 21459   evalSub ces 21633   selectVars cslv 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-selv 21675
This theorem is referenced by:  selvcl  41155  selvval2  41156
  Copyright terms: Public domain W3C validator