Theorem sn-00idlem3 40383

Description: Lemma for sn-00id 40384. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem3	⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Proof of Theorem sn-00idlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 · 1))
2	1	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 · 1) + 0))
3		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		sn-00idlem1 40381	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
6	5	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 −ℝ 0) + 0))
7		resubidaddid1 40378	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 0) = 0)
8	6, 7	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
9	3, 3, 8	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
11		ax-1rid 10941	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
12	3, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · 1) = 0)
13	12	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · 1) + 0) = (0 + 0))
14	2, 10, 13	3eqtr3rd 2787	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   −_ℝ cresub 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-addass 10936  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-resub 40349

This theorem is referenced by:  sn-00id  40384