Theorem sn-00idlem3 42435

Description: Lemma for sn-00id 42436. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem3	⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Proof of Theorem sn-00idlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7440	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 · 1))
2	1	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 · 1) + 0))
3		0re 11264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		sn-00idlem1 42433	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
6	5	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 −ℝ 0) + 0))
7		resubidaddlid 42430	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 0) = 0)
8	6, 7	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
9	3, 3, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
11		ax-1rid 11226	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
12	3, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · 1) = 0)
13	12	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · 1) + 0) = (0 + 0))
14	2, 10, 13	3eqtr3rd 2785	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   −_ℝ cresub 42400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-addass 11221  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-resub 42401

This theorem is referenced by:  sn-00id  42436