Theorem sn-00idlem3 42380

Description: Lemma for sn-00id 42381. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem3	⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Proof of Theorem sn-00idlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7402	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 · 1))
2	1	oveq1d 7409	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 · 1) + 0))
3		0re 11194	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		sn-00idlem1 42378	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
6	5	oveq1d 7409	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 −ℝ 0) + 0))
7		resubidaddlid 42375	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 0) = 0)
8	6, 7	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
9	3, 3, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
11		ax-1rid 11156	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
12	3, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · 1) = 0)
13	12	oveq1d 7409	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · 1) + 0) = (0 + 0))
14	2, 10, 13	3eqtr3rd 2774	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7394  ℝcr 11085  0cc0 11086  1c1 11087   + caddc 11089   · cmul 11091   −_ℝ cresub 42345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-addass 11151  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-po 5554  df-so 5555  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-ltxr 11231  df-resub 42346

This theorem is referenced by:  sn-00id  42381