Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-00idlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-00idlem3 42435
Description: Lemma for sn-00id 42436. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn-00idlem3 ((0 − 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Proof of Theorem sn-00idlem3
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . 3 ((0 − 0) = 1 → (0 · (0 − 0)) = (0 · 1))
21oveq1d 7447 . 2 ((0 − 0) = 1 → ((0 · (0 − 0)) + 0) = ((0 · 1) + 0))
3 0re 11264 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 sn-00idlem1 42433 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · (0 − 0)) = (0 − 0))
54adantr 480 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 · (0 − 0)) = (0 − 0))
65oveq1d 7447 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 − 0)) + 0) = ((0 − 0) + 0))
7 resubidaddlid 42430 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 − 0) + 0) = 0)
86, 7eqtrd 2776 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 − 0)) + 0) = 0)
93, 3, 8mp2an 692 . . 3 ((0 · (0 − 0)) + 0) = 0
109a1i 11 . 2 ((0 − 0) = 1 → ((0 · (0 − 0)) + 0) = 0)
11 ax-1rid 11226 . . . 4 (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
123, 11mp1i 13 . . 3 ((0 − 0) = 1 → (0 · 1) = 0)
1312oveq1d 7447 . 2 ((0 − 0) = 1 → ((0 · 1) + 0) = (0 + 0))
142, 10, 133eqtr3rd 2785 1 ((0 − 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   cresub 42400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-addass 11221  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-resub 42401
This theorem is referenced by:  sn-00id  42436
  Copyright terms: Public domain W3C validator