Theorem sn-00idlem3 42407

Description: Lemma for sn-00id 42408. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem3	⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Proof of Theorem sn-00idlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 · 1))
2	1	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 · 1) + 0))
3		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		sn-00idlem1 42405	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 · (0 −ℝ 0)) = (0 −ℝ 0))
6	5	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = ((0 −ℝ 0) + 0))
7		resubidaddlid 42402	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) + 0) = 0)
8	6, 7	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
9	3, 3, 8	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · (0 −ℝ 0)) + 0) = 0)
11		ax-1rid 11223	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
12	3, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 · 1) = 0)
13	12	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → ((0 · 1) + 0) = (0 + 0))
14	2, 10, 13	3eqtr3rd 2784	1 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  sn-00id  42408