Theorem sn-00id 42411

Description: 00id 11415 proven without ax-mulcom 11198 but using ax-1ne0 11203. (Though note that the current version of 00id 11415 can be changed to avoid ax-icn 11193, ax-addcl 11194, ax-mulcl 11196, ax-i2m1 11202, ax-cnre 11207. Most of this is by using 0cnALT3 42271 instead of 0cn 11232). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11242	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 42389	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4	3	necon3abii 2979	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 + 0) = 0)
5		sn-00idlem2 42409	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 42410	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	8	pm2.18i 129	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-resub 42376

This theorem is referenced by:  re0m0e0  42412  sn-addrid  42430  sn-mul01  42435  sn-mul02  42450