Theorem sn-00id 39881

Description: 00id 10853 proven without ax-mulcom 10639 but using ax-1ne0 10644. (Though note that the current version of 00id 10853 can be changed to avoid ax-icn 10634, ax-addcl 10635, ax-mulcl 10637, ax-i2m1 10643, ax-cnre 10648. Most of this is by using 0cnALT3 39792 instead of 0cn 10671). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10681	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 39859	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4		df-ne 2952	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 −ℝ 0) = 0)
5		sn-00idlem2 39879	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 39880	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 238	. . 3 ⊢ (¬ (0 −ℝ 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	3, 8	sylnbir 334	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
10	9	pm2.18i 131	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   −_ℝ cresub 39845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-resub 39846

This theorem is referenced by:  re0m0e0  39882  sn-addid1  39899  sn-mul01  39904  sn-mul02  39919