Theorem sn-00id 40384

Description: 00id 11150 proven without ax-mulcom 10935 but using ax-1ne0 10940. (Though note that the current version of 00id 11150 can be changed to avoid ax-icn 10930, ax-addcl 10931, ax-mulcl 10933, ax-i2m1 10939, ax-cnre 10944. Most of this is by using 0cnALT3 40290 instead of 0cn 10967). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 40362	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4		df-ne 2944	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 −ℝ 0) = 0)
5		sn-00idlem2 40382	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 40383	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 234	. . 3 ⊢ (¬ (0 −ℝ 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	3, 8	sylnbir 331	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
10	9	pm2.18i 129	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   −_ℝ cresub 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-resub 40349

This theorem is referenced by:  re0m0e0  40385  sn-addid1  40402  sn-mul01  40407  sn-mul02  40422