Theorem sn-00id 41577

Description: 00id 11394 proven without ax-mulcom 11177 but using ax-1ne0 11182. (Though note that the current version of 00id 11394 can be changed to avoid ax-icn 11172, ax-addcl 11173, ax-mulcl 11175, ax-i2m1 11181, ax-cnre 11186. Most of this is by using 0cnALT3 41477 instead of 0cn 11211). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 41555	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4	3	necon3abii 2986	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 + 0) = 0)
5		sn-00idlem2 41575	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 41576	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	8	pm2.18i 129	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   −_ℝ cresub 41541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-resub 41542

This theorem is referenced by:  re0m0e0  41578  sn-addrid  41596  sn-mul01  41601  sn-mul02  41616