Theorem sn-00id 39280

Description: 00id 10815 proven without ax-mulcom 10601 but using ax-1ne0 10606. (Though note that the current version of 00id 10815 can be changed to avoid ax-icn 10596, ax-addcl 10597, ax-mulcl 10599, ax-i2m1 10605, ax-cnre 10610. Most of this is by using 0cnALT3 39202 instead of 0cn 10633). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10643	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 39258	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4		df-ne 3017	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 −ℝ 0) = 0)
5		sn-00idlem2 39278	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 39279	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 237	. . 3 ⊢ (¬ (0 −ℝ 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	3, 8	sylnbir 333	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
10	9	pm2.18i 131	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   −_ℝ cresub 39244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-resub 39245

This theorem is referenced by:  re0m0e0  39281