Theorem sn-00id 42504

Description: 00id 11288 proven without ax-mulcom 11070 but using ax-1ne0 11075. (Though note that the current version of 00id 11288 can be changed to avoid ax-icn 11065, ax-addcl 11066, ax-mulcl 11068, ax-i2m1 11074, ax-cnre 11079. Most of this is by using 0cnALT3 42356 instead of 0cn 11104). (Contributed by SN, 25-Dec-2023.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00id	⊢ (0 + 0) = 0

Proof of Theorem sn-00id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11114	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		resubadd 42482	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0))
3	1, 1, 1, 2	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 0 ↔ (0 + 0) = 0)
4	3	necon3abii 2974	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 ↔ ¬ (0 + 0) = 0)
5		sn-00idlem2 42502	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 −ℝ 0) = 1)
6		sn-00idlem3 42503	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 0) = 1 → (0 + 0) = 0)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((0 −ℝ 0) ≠ 0 → (0 + 0) = 0)
8	4, 7	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ (0 + 0) = 0 → (0 + 0) = 0)
9	8	pm2.18i 129	1 ⊢ (0 + 0) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   −_ℝ cresub 42468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-resub 42469

This theorem is referenced by:  re0m0e0  42505  sn-addrid  42524  sn-mul01  42529  sn-mul02  42555