Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-00idlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-00idlem1 40965
Description: Lemma for sn-00id 40968. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
sn-00idlem1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 − 0)) = (𝐴 𝐴))

Proof of Theorem sn-00idlem1
StepHypRef Expression
1 1re 11186 . . 3 1 ∈ ℝ
2 resubdi 40963 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 − 1)) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · 1)))
31, 1, 2mp3an23 1453 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (1 − 1)) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · 1)))
4 re1m1e0m0 40964 . . . 4 (1 − 1) = (0 − 0)
54oveq2i 7395 . . 3 (𝐴 · (1 − 1)) = (𝐴 · (0 − 0))
65a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (1 − 1)) = (𝐴 · (0 − 0)))
7 ax-1rid 11152 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
87, 7oveq12d 7402 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · 1)) = (𝐴 𝐴))
93, 6, 83eqtr3d 2779 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 − 0)) = (𝐴 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7384  cr 11081  0cc0 11082  1c1 11083   · cmul 11087   cresub 40932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-addass 11147  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-ltxr 11225  df-resub 40933
This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  40966  sn-00idlem3  40967  remul02  40972  resubid  40975
  Copyright terms: Public domain W3C validator