Theorem sn-00idlem1 42797

Description: Lemma for sn-00id 42800. (Contributed by SN, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sn-00idlem1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 −ℝ 0)) = (𝐴 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem sn-00idlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11146	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubdi 42795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · (1 −ℝ 1)) = ((𝐴 · 1) −ℝ (𝐴 · 1)))
3	1, 1, 2	mp3an23 1456	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (1 −ℝ 1)) = ((𝐴 · 1) −ℝ (𝐴 · 1)))
4		re1m1e0m0 42796	. . . 4 ⊢ (1 −ℝ 1) = (0 −ℝ 0)
5	4	oveq2i 7381	. . 3 ⊢ (𝐴 · (1 −ℝ 1)) = (𝐴 · (0 −ℝ 0))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (1 −ℝ 1)) = (𝐴 · (0 −ℝ 0)))
7		ax-1rid 11110	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
8	7, 7	oveq12d 7388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 · 1) −ℝ (𝐴 · 1)) = (𝐴 −ℝ 𝐴))
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (0 −ℝ 0)) = (𝐴 −ℝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   −_ℝ cresub 42764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-addass 11105  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-resub 42765

This theorem is referenced by:  sn-00idlem2  42798  sn-00idlem3  42799  remul02  42804  resubid  42808