Theorem xrltled 13260

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13259. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  qextltlem  13313  ioounsn  13589  snunioc  13592  pcadd2  17048  xblss2ps  24700  xblss2  24701  blhalf  24704  blssps  24723  blss  24724  blcvx  25097  tgqioo  25099  metdcnlem  25136  ioorcl2  25873  volivth  25908  itg2monolem2  26052  itg2cnlem2  26063  dvferm1lem  26284  dvferm2lem  26286  dvferm  26288  dvivthlem1  26308  lhop2  26315  radcnvle  26729  difioo  33356  heicant  38541  ftc1anclem7  38585  supxrgere  46289  suplesup  46295  infrpge  46307  xralrple2  46310  xrralrecnnle  46338  xrralrecnnge  46345  supxrunb3  46354  unb2ltle  46369  xrpnf  46439  snunioo1  46468  iccdifprioo  46472  iccdificc  46495  lptioo1  46588  limsupub  46658  limsuppnflem  46664  limsupre3lem  46686  xlimmnfvlem1  46786  xlimpnfvlem1  46790  fourierdlem46  47106  fourierdlem74  47134  fourierdlem75  47135  ioorrnopnxrlem  47260  salexct2  47293  sge0iunmptlemre  47369  sge0rpcpnf  47375  sge0xaddlem1  47387  meaiuninc3v  47438  ovnsubaddlem1  47524  hoidmv1le  47548  hoidmvlelem5  47553  ovolval4lem1  47603  ovolval5lem1  47606  preimageiingt  47674  preimaleiinlt  47675  fsupdm  47796  finfdm  47800  iccpartleu  48454  iccpartgel  48455