MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltled 12531
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12530. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltled.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltled
StepHypRef Expression
1 xrltled.altb . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltled.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 xrltled.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrltle 12530 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
61, 5mpd 15 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  qextltlem  12583  ioounsn  12851  snunioc  12854  pcadd2  16214  xblss2ps  22938  xblss2  22939  blhalf  22942  blssps  22961  blss  22962  blcvx  23333  tgqioo  23335  metdcnlem  23371  ioorcl2  24100  volivth  24135  itg2monolem2  24279  itg2cnlem2  24290  dvferm1lem  24508  dvferm2lem  24510  dvferm  24512  dvivthlem1  24532  lhop2  24539  radcnvle  24935  difioo  30431  heicant  34808  ftc1anclem7  34854  supxrgere  41477  suplesup  41483  infrpge  41495  xralrple2  41498  xrralrecnnle  41529  xrralrecnnge  41538  supxrunb3  41548  unb2ltle  41565  xrpnf  41638  snunioo1  41664  iccdifprioo  41668  iccdificc  41691  lptioo1  41789  limsupub  41861  limsuppnflem  41867  limsupre3lem  41889  xlimmnfvlem1  41989  xlimpnfvlem1  41993  fourierdlem46  42314  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem113  42381  ioorrnopnxrlem  42468  salexct2  42499  sge0iunmptlemre  42574  sge0rpcpnf  42580  sge0xaddlem1  42592  meaiuninc3v  42643  ovnsubaddlem1  42729  hoidmv1le  42753  hoidmvlelem5  42758  ovolval4lem1  42808  ovolval5lem1  42811  pimltmnf2  42856  pimgtpnf2  42862  preimageiingt  42875  preimaleiinlt  42876  iccpartleu  43465  iccpartgel  43466
  Copyright terms: Public domain W3C validator