Theorem xrltled 13149

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13148. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219

This theorem is referenced by:  qextltlem  13202  ioounsn  13478  snunioc  13481  pcadd2  16909  xblss2ps  24441  xblss2  24442  blhalf  24445  blssps  24464  blss  24465  blcvx  24838  tgqioo  24840  metdcnlem  24877  ioorcl2  25614  volivth  25649  itg2monolem2  25793  itg2cnlem2  25804  dvferm1lem  26026  dvferm2lem  26028  dvferm  26030  dvivthlem1  26050  lhop2  26057  radcnvle  26460  difioo  32934  heicant  38118  ftc1anclem7  38162  supxrgere  45873  suplesup  45879  infrpge  45891  xralrple2  45894  xrralrecnnle  45922  xrralrecnnge  45929  supxrunb3  45938  unb2ltle  45953  xrpnf  46023  snunioo1  46052  iccdifprioo  46056  iccdificc  46079  lptioo1  46172  limsupub  46242  limsuppnflem  46248  limsupre3lem  46270  xlimmnfvlem1  46370  xlimpnfvlem1  46374  fourierdlem46  46690  fourierdlem74  46718  fourierdlem75  46719  ioorrnopnxrlem  46844  salexct2  46877  sge0iunmptlemre  46953  sge0rpcpnf  46959  sge0xaddlem1  46971  meaiuninc3v  47022  ovnsubaddlem1  47108  hoidmv1le  47132  hoidmvlelem5  47137  ovolval4lem1  47187  ovolval5lem1  47190  preimageiingt  47258  preimaleiinlt  47259  fsupdm  47380  finfdm  47384  iccpartleu  47998  iccpartgel  47999