Theorem xrltled 13193

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13192. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  qextltlem  13246  ioounsn  13522  snunioc  13525  pcadd2  16975  xblss2ps  24595  xblss2  24596  blhalf  24599  blssps  24618  blss  24619  blcvx  24992  tgqioo  24994  metdcnlem  25031  ioorcl2  25768  volivth  25803  itg2monolem2  25947  itg2cnlem2  25958  dvferm1lem  26180  dvferm2lem  26182  dvferm  26184  dvivthlem1  26204  lhop2  26211  radcnvle  26620  difioo  33164  heicant  38347  ftc1anclem7  38391  supxrgere  46090  suplesup  46096  infrpge  46108  xralrple2  46111  xrralrecnnle  46139  xrralrecnnge  46146  supxrunb3  46155  unb2ltle  46170  xrpnf  46240  snunioo1  46269  iccdifprioo  46273  iccdificc  46296  lptioo1  46389  limsupub  46459  limsuppnflem  46465  limsupre3lem  46487  xlimmnfvlem1  46587  xlimpnfvlem1  46591  fourierdlem46  46907  fourierdlem74  46935  fourierdlem75  46936  ioorrnopnxrlem  47061  salexct2  47094  sge0iunmptlemre  47170  sge0rpcpnf  47176  sge0xaddlem1  47188  meaiuninc3v  47239  ovnsubaddlem1  47325  hoidmv1le  47349  hoidmvlelem5  47354  ovolval4lem1  47404  ovolval5lem1  47407  preimageiingt  47475  preimaleiinlt  47476  fsupdm  47597  finfdm  47601  iccpartleu  48218  iccpartgel  48219