Theorem xrltled 13282

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13281. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352

This theorem is used by:  qextltlem  13335  ioounsn  13611  snunioc  13614  pcadd2  17073  xblss2ps  24725  xblss2  24726  blhalf  24729  blssps  24748  blss  24749  blcvx  25122  tgqioo  25124  metdcnlem  25161  ioorcl2  25898  volivth  25933  itg2monolem2  26077  itg2cnlem2  26088  dvferm1lem  26309  dvferm2lem  26311  dvferm  26313  dvivthlem1  26333  lhop2  26340  radcnvle  26752  difioo  33420  heicant  38666  ftc1anclem7  38710  supxrgere  46438  suplesup  46444  infrpge  46456  xralrple2  46459  xrralrecnnle  46487  xrralrecnnge  46494  supxrunb3  46503  unb2ltle  46518  xrpnf  46588  snunioo1  46617  iccdifprioo  46621  iccdificc  46644  lptioo1  46737  limsupub  46807  limsuppnflem  46813  limsupre3lem  46835  xlimmnfvlem1  46935  xlimpnfvlem1  46939  fourierdlem46  47255  fourierdlem74  47283  fourierdlem75  47284  ioorrnopnxrlem  47409  salexct2  47442  sge0iunmptlemre  47518  sge0rpcpnf  47524  sge0xaddlem1  47536  meaiuninc3v  47587  ovnsubaddlem1  47673  hoidmv1le  47697  hoidmvlelem5  47702  ovolval4lem1  47752  ovolval5lem1  47755  preimageiingt  47823  preimaleiinlt  47824  fsupdm  47945  finfdm  47949  iccpartleu  48603  iccpartgel  48604