Theorem xrltled 13046

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13045. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149

This theorem is referenced by:  qextltlem  13098  ioounsn  13374  snunioc  13377  pcadd2  16799  xblss2ps  24314  xblss2  24315  blhalf  24318  blssps  24337  blss  24338  blcvx  24711  tgqioo  24713  metdcnlem  24750  ioorcl2  25498  volivth  25533  itg2monolem2  25677  itg2cnlem2  25688  dvferm1lem  25913  dvferm2lem  25915  dvferm  25917  dvivthlem1  25938  lhop2  25945  radcnvle  26354  difioo  32760  heicant  37694  ftc1anclem7  37738  supxrgere  45371  suplesup  45377  infrpge  45389  xralrple2  45392  xrralrecnnle  45420  xrralrecnnge  45427  supxrunb3  45436  unb2ltle  45452  xrpnf  45522  snunioo1  45551  iccdifprioo  45555  iccdificc  45578  lptioo1  45671  limsupub  45741  limsuppnflem  45747  limsupre3lem  45769  xlimmnfvlem1  45869  xlimpnfvlem1  45873  fourierdlem46  46189  fourierdlem48  46191  fourierdlem49  46192  fourierdlem74  46217  fourierdlem75  46218  fourierdlem113  46256  ioorrnopnxrlem  46343  salexct2  46376  sge0iunmptlemre  46452  sge0rpcpnf  46458  sge0xaddlem1  46470  meaiuninc3v  46521  ovnsubaddlem1  46607  hoidmv1le  46631  hoidmvlelem5  46636  ovolval4lem1  46686  ovolval5lem1  46689  preimageiingt  46757  preimaleiinlt  46758  fsupdm  46879  finfdm  46883  iccpartleu  47458  iccpartgel  47459