MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltled 12542
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12541. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrltled.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
xrltled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem xrltled
StepHypRef Expression
1 xrltled.altb . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltled.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 xrltled.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrltle 12541 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
61, 5mpd 15 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110   class class class wbr 5065  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680
This theorem is referenced by:  qextltlem  12594  ioounsn  12862  snunioc  12865  pcadd2  16225  xblss2ps  23010  xblss2  23011  blhalf  23014  blssps  23033  blss  23034  blcvx  23405  tgqioo  23407  metdcnlem  23443  ioorcl2  24172  volivth  24207  itg2monolem2  24351  itg2cnlem2  24362  dvferm1lem  24580  dvferm2lem  24582  dvferm  24584  dvivthlem1  24604  lhop2  24611  radcnvle  25007  difioo  30504  heicant  34926  ftc1anclem7  34972  supxrgere  41599  suplesup  41605  infrpge  41617  xralrple2  41620  xrralrecnnle  41651  xrralrecnnge  41660  supxrunb3  41670  unb2ltle  41687  xrpnf  41760  snunioo1  41786  iccdifprioo  41790  iccdificc  41813  lptioo1  41911  limsupub  41983  limsuppnflem  41989  limsupre3lem  42011  xlimmnfvlem1  42111  xlimpnfvlem1  42115  fourierdlem46  42436  fourierdlem48  42438  fourierdlem49  42439  fourierdlem74  42464  fourierdlem75  42465  fourierdlem113  42503  ioorrnopnxrlem  42590  salexct2  42621  sge0iunmptlemre  42696  sge0rpcpnf  42702  sge0xaddlem1  42714  meaiuninc3v  42765  ovnsubaddlem1  42851  hoidmv1le  42875  hoidmvlelem5  42880  ovolval4lem1  42930  ovolval5lem1  42933  pimltmnf2  42978  pimgtpnf2  42984  preimageiingt  42997  preimaleiinlt  42998  iccpartleu  43587  iccpartgel  43588
  Copyright terms: Public domain W3C validator