Theorem xrltled 13129

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13128. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  qextltlem  13181  ioounsn  13454  snunioc  13457  pcadd2  16823  xblss2ps  23907  xblss2  23908  blhalf  23911  blssps  23930  blss  23931  blcvx  24314  tgqioo  24316  metdcnlem  24352  ioorcl2  25089  volivth  25124  itg2monolem2  25269  itg2cnlem2  25280  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  dvferm  25505  dvivthlem1  25525  lhop2  25532  radcnvle  25932  difioo  31993  heicant  36523  ftc1anclem7  36567  supxrgere  44043  suplesup  44049  infrpge  44061  xralrple2  44064  xrralrecnnle  44093  xrralrecnnge  44100  supxrunb3  44109  unb2ltle  44125  xrpnf  44196  snunioo1  44225  iccdifprioo  44229  iccdificc  44252  lptioo1  44348  limsupub  44420  limsuppnflem  44426  limsupre3lem  44448  xlimmnfvlem1  44548  xlimpnfvlem1  44552  fourierdlem46  44868  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem113  44935  ioorrnopnxrlem  45022  salexct2  45055  sge0iunmptlemre  45131  sge0rpcpnf  45137  sge0xaddlem1  45149  meaiuninc3v  45200  ovnsubaddlem1  45286  hoidmv1le  45310  hoidmvlelem5  45315  ovolval4lem1  45365  ovolval5lem1  45368  preimageiingt  45436  preimaleiinlt  45437  fsupdm  45558  finfdm  45562  iccpartleu  46096  iccpartgel  46097