Theorem xrltled 13155

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13154. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ℝ^*cxr 11271   < clt 11272   ≤ cle 11273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278

This theorem is referenced by:  qextltlem  13207  ioounsn  13480  snunioc  13483  pcadd2  16852  xblss2ps  24300  xblss2  24301  blhalf  24304  blssps  24323  blss  24324  blcvx  24707  tgqioo  24709  metdcnlem  24745  ioorcl2  25494  volivth  25529  itg2monolem2  25674  itg2cnlem2  25685  dvferm1lem  25909  dvferm2lem  25911  dvferm  25913  dvivthlem1  25934  lhop2  25941  radcnvle  26349  difioo  32544  heicant  37122  ftc1anclem7  37166  supxrgere  44709  suplesup  44715  infrpge  44727  xralrple2  44730  xrralrecnnle  44759  xrralrecnnge  44766  supxrunb3  44775  unb2ltle  44791  xrpnf  44862  snunioo1  44891  iccdifprioo  44895  iccdificc  44918  lptioo1  45014  limsupub  45086  limsuppnflem  45092  limsupre3lem  45114  xlimmnfvlem1  45214  xlimpnfvlem1  45218  fourierdlem46  45534  fourierdlem48  45536  fourierdlem49  45537  fourierdlem74  45562  fourierdlem75  45563  fourierdlem113  45601  ioorrnopnxrlem  45688  salexct2  45721  sge0iunmptlemre  45797  sge0rpcpnf  45803  sge0xaddlem1  45815  meaiuninc3v  45866  ovnsubaddlem1  45952  hoidmv1le  45976  hoidmvlelem5  45981  ovolval4lem1  46031  ovolval5lem1  46034  preimageiingt  46102  preimaleiinlt  46103  fsupdm  46224  finfdm  46228  iccpartleu  46762  iccpartgel  46763