Theorem xrltled 13070

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13069. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13069	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  qextltlem  13122  ioounsn  13398  snunioc  13401  pcadd2  16820  xblss2ps  24305  xblss2  24306  blhalf  24309  blssps  24328  blss  24329  blcvx  24702  tgqioo  24704  metdcnlem  24741  ioorcl2  25489  volivth  25524  itg2monolem2  25668  itg2cnlem2  25679  dvferm1lem  25904  dvferm2lem  25906  dvferm  25908  dvivthlem1  25929  lhop2  25936  radcnvle  26345  difioo  32738  heicant  37634  ftc1anclem7  37678  supxrgere  45313  suplesup  45319  infrpge  45331  xralrple2  45334  xrralrecnnle  45363  xrralrecnnge  45370  supxrunb3  45379  unb2ltle  45395  xrpnf  45465  snunioo1  45494  iccdifprioo  45498  iccdificc  45521  lptioo1  45614  limsupub  45686  limsuppnflem  45692  limsupre3lem  45714  xlimmnfvlem1  45814  xlimpnfvlem1  45818  fourierdlem46  46134  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem74  46162  fourierdlem75  46163  fourierdlem113  46201  ioorrnopnxrlem  46288  salexct2  46321  sge0iunmptlemre  46397  sge0rpcpnf  46403  sge0xaddlem1  46415  meaiuninc3v  46466  ovnsubaddlem1  46552  hoidmv1le  46576  hoidmvlelem5  46581  ovolval4lem1  46631  ovolval5lem1  46634  preimageiingt  46702  preimaleiinlt  46703  fsupdm  46824  finfdm  46828  iccpartleu  47413  iccpartgel  47414