Theorem xrltled 13051

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13050. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159

This theorem is referenced by:  qextltlem  13103  ioounsn  13379  snunioc  13382  pcadd2  16804  xblss2ps  24317  xblss2  24318  blhalf  24321  blssps  24340  blss  24341  blcvx  24714  tgqioo  24716  metdcnlem  24753  ioorcl2  25501  volivth  25536  itg2monolem2  25680  itg2cnlem2  25691  dvferm1lem  25916  dvferm2lem  25918  dvferm  25920  dvivthlem1  25941  lhop2  25948  radcnvle  26357  difioo  32769  heicant  37715  ftc1anclem7  37759  supxrgere  45456  suplesup  45462  infrpge  45474  xralrple2  45477  xrralrecnnle  45505  xrralrecnnge  45512  supxrunb3  45521  unb2ltle  45537  xrpnf  45607  snunioo1  45636  iccdifprioo  45640  iccdificc  45663  lptioo1  45756  limsupub  45826  limsuppnflem  45832  limsupre3lem  45854  xlimmnfvlem1  45954  xlimpnfvlem1  45958  fourierdlem46  46274  fourierdlem48  46276  fourierdlem49  46277  fourierdlem74  46302  fourierdlem75  46303  fourierdlem113  46341  ioorrnopnxrlem  46428  salexct2  46461  sge0iunmptlemre  46537  sge0rpcpnf  46543  sge0xaddlem1  46555  meaiuninc3v  46606  ovnsubaddlem1  46692  hoidmv1le  46716  hoidmvlelem5  46721  ovolval4lem1  46771  ovolval5lem1  46774  preimageiingt  46842  preimaleiinlt  46843  fsupdm  46964  finfdm  46968  iccpartleu  47552  iccpartgel  47553