Theorem xrltled 13076

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13075. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13075	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  qextltlem  13129  ioounsn  13405  snunioc  13408  pcadd2  16830  xblss2ps  24357  xblss2  24358  blhalf  24361  blssps  24380  blss  24381  blcvx  24754  tgqioo  24756  metdcnlem  24793  ioorcl2  25541  volivth  25576  itg2monolem2  25720  itg2cnlem2  25731  dvferm1lem  25956  dvferm2lem  25958  dvferm  25960  dvivthlem1  25981  lhop2  25988  radcnvle  26397  difioo  32872  heicant  37900  ftc1anclem7  37944  supxrgere  45686  suplesup  45692  infrpge  45704  xralrple2  45707  xrralrecnnle  45735  xrralrecnnge  45742  supxrunb3  45751  unb2ltle  45767  xrpnf  45837  snunioo1  45866  iccdifprioo  45870  iccdificc  45893  lptioo1  45986  limsupub  46056  limsuppnflem  46062  limsupre3lem  46084  xlimmnfvlem1  46184  xlimpnfvlem1  46188  fourierdlem46  46504  fourierdlem48  46506  fourierdlem49  46507  fourierdlem74  46532  fourierdlem75  46533  fourierdlem113  46571  ioorrnopnxrlem  46658  salexct2  46691  sge0iunmptlemre  46767  sge0rpcpnf  46773  sge0xaddlem1  46785  meaiuninc3v  46836  ovnsubaddlem1  46922  hoidmv1le  46946  hoidmvlelem5  46951  ovolval4lem1  47001  ovolval5lem1  47004  preimageiingt  47072  preimaleiinlt  47073  fsupdm  47194  finfdm  47198  iccpartleu  47782  iccpartgel  47783