Theorem xrltled 12866

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12865. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999

This theorem is referenced by:  qextltlem  12918  ioounsn  13191  snunioc  13194  pcadd2  16572  xblss2ps  23535  xblss2  23536  blhalf  23539  blssps  23558  blss  23559  blcvx  23942  tgqioo  23944  metdcnlem  23980  ioorcl2  24717  volivth  24752  itg2monolem2  24897  itg2cnlem2  24908  dvferm1lem  25129  dvferm2lem  25131  dvferm  25133  dvivthlem1  25153  lhop2  25160  radcnvle  25560  difioo  31082  heicant  35791  ftc1anclem7  35835  supxrgere  42826  suplesup  42832  infrpge  42844  xralrple2  42847  xrralrecnnle  42876  xrralrecnnge  42884  supxrunb3  42893  unb2ltle  42909  xrpnf  42980  snunioo1  43004  iccdifprioo  43008  iccdificc  43031  lptioo1  43127  limsupub  43199  limsuppnflem  43205  limsupre3lem  43227  xlimmnfvlem1  43327  xlimpnfvlem1  43331  fourierdlem46  43647  fourierdlem48  43649  fourierdlem49  43650  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fourierdlem113  43714  ioorrnopnxrlem  43801  salexct2  43832  sge0iunmptlemre  43907  sge0rpcpnf  43913  sge0xaddlem1  43925  meaiuninc3v  43976  ovnsubaddlem1  44062  hoidmv1le  44086  hoidmvlelem5  44091  ovolval4lem1  44141  ovolval5lem1  44144  pimltmnf2  44189  pimgtpnf2  44195  preimageiingt  44208  preimaleiinlt  44209  iccpartleu  44832  iccpartgel  44833