Theorem xrltled 13309

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13308. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by:  qextltlem  13362  ioounsn  13638  snunioc  13641  pcadd2  17100  xblss2ps  24753  xblss2  24754  blhalf  24757  blssps  24776  blss  24777  blcvx  25150  tgqioo  25152  metdcnlem  25189  ioorcl2  25926  volivth  25961  itg2monolem2  26105  itg2cnlem2  26116  dvferm1lem  26337  dvferm2lem  26339  dvferm  26341  dvivthlem1  26361  lhop2  26368  radcnvle  26780  difioo  33447  heicant  38778  ftc1anclem7  38822  supxrgere  46560  suplesup  46566  infrpge  46578  xralrple2  46581  xrralrecnnle  46609  xrralrecnnge  46616  supxrunb3  46625  unb2ltle  46640  xrpnf  46710  snunioo1  46739  iccdifprioo  46743  iccdificc  46766  lptioo1  46859  limsupub  46929  limsuppnflem  46935  limsupre3lem  46957  xlimmnfvlem1  47057  xlimpnfvlem1  47061  fourierdlem46  47377  fourierdlem74  47405  fourierdlem75  47406  ioorrnopnxrlem  47531  salexct2  47564  sge0iunmptlemre  47640  sge0rpcpnf  47646  sge0xaddlem1  47658  meaiuninc3v  47709  ovnsubaddlem1  47795  hoidmv1le  47819  hoidmvlelem5  47824  ovolval4lem1  47874  ovolval5lem1  47877  preimageiingt  47945  preimaleiinlt  47946  fsupdm  48067  finfdm  48071  iccpartleu  48725  iccpartgel  48726