Theorem xrltled 13166

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13165. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  qextltlem  13218  ioounsn  13494  snunioc  13497  pcadd2  16910  xblss2ps  24340  xblss2  24341  blhalf  24344  blssps  24363  blss  24364  blcvx  24737  tgqioo  24739  metdcnlem  24776  ioorcl2  25525  volivth  25560  itg2monolem2  25704  itg2cnlem2  25715  dvferm1lem  25940  dvferm2lem  25942  dvferm  25944  dvivthlem1  25965  lhop2  25972  radcnvle  26381  difioo  32759  heicant  37679  ftc1anclem7  37723  supxrgere  45360  suplesup  45366  infrpge  45378  xralrple2  45381  xrralrecnnle  45410  xrralrecnnge  45417  supxrunb3  45426  unb2ltle  45442  xrpnf  45512  snunioo1  45541  iccdifprioo  45545  iccdificc  45568  lptioo1  45661  limsupub  45733  limsuppnflem  45739  limsupre3lem  45761  xlimmnfvlem1  45861  xlimpnfvlem1  45865  fourierdlem46  46181  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem74  46209  fourierdlem75  46210  fourierdlem113  46248  ioorrnopnxrlem  46335  salexct2  46368  sge0iunmptlemre  46444  sge0rpcpnf  46450  sge0xaddlem1  46462  meaiuninc3v  46513  ovnsubaddlem1  46599  hoidmv1le  46623  hoidmvlelem5  46628  ovolval4lem1  46678  ovolval5lem1  46681  preimageiingt  46749  preimaleiinlt  46750  fsupdm  46871  finfdm  46875  iccpartleu  47442  iccpartgel  47443