Theorem xrltled 13176

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13175. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  qextltlem  13229  ioounsn  13505  snunioc  13508  pcadd2  16951  xblss2ps  24539  xblss2  24540  blhalf  24543  blssps  24562  blss  24563  blcvx  24936  tgqioo  24938  metdcnlem  24975  ioorcl2  25712  volivth  25747  itg2monolem2  25891  itg2cnlem2  25902  dvferm1lem  26124  dvferm2lem  26126  dvferm  26128  dvivthlem1  26148  lhop2  26155  radcnvle  26564  difioo  33108  heicant  38287  ftc1anclem7  38331  supxrgere  46032  suplesup  46038  infrpge  46050  xralrple2  46053  xrralrecnnle  46081  xrralrecnnge  46088  supxrunb3  46097  unb2ltle  46112  xrpnf  46182  snunioo1  46211  iccdifprioo  46215  iccdificc  46238  lptioo1  46331  limsupub  46401  limsuppnflem  46407  limsupre3lem  46429  xlimmnfvlem1  46529  xlimpnfvlem1  46533  fourierdlem46  46849  fourierdlem74  46877  fourierdlem75  46878  ioorrnopnxrlem  47003  salexct2  47036  sge0iunmptlemre  47112  sge0rpcpnf  47118  sge0xaddlem1  47130  meaiuninc3v  47181  ovnsubaddlem1  47267  hoidmv1le  47291  hoidmvlelem5  47296  ovolval4lem1  47346  ovolval5lem1  47349  preimageiingt  47417  preimaleiinlt  47418  fsupdm  47539  finfdm  47543  iccpartleu  48160  iccpartgel  48161