Theorem xrltled 13192

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13191. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  qextltlem  13244  ioounsn  13517  snunioc  13520  pcadd2  16928  xblss2ps  24411  xblss2  24412  blhalf  24415  blssps  24434  blss  24435  blcvx  24819  tgqioo  24821  metdcnlem  24858  ioorcl2  25607  volivth  25642  itg2monolem2  25786  itg2cnlem2  25797  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  dvferm  26026  dvivthlem1  26047  lhop2  26054  radcnvle  26463  difioo  32784  heicant  37662  ftc1anclem7  37706  supxrgere  45344  suplesup  45350  infrpge  45362  xralrple2  45365  xrralrecnnle  45394  xrralrecnnge  45401  supxrunb3  45410  unb2ltle  45426  xrpnf  45496  snunioo1  45525  iccdifprioo  45529  iccdificc  45552  lptioo1  45647  limsupub  45719  limsuppnflem  45725  limsupre3lem  45747  xlimmnfvlem1  45847  xlimpnfvlem1  45851  fourierdlem46  46167  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem113  46234  ioorrnopnxrlem  46321  salexct2  46354  sge0iunmptlemre  46430  sge0rpcpnf  46436  sge0xaddlem1  46448  meaiuninc3v  46499  ovnsubaddlem1  46585  hoidmv1le  46609  hoidmvlelem5  46614  ovolval4lem1  46664  ovolval5lem1  46667  preimageiingt  46735  preimaleiinlt  46736  fsupdm  46857  finfdm  46861  iccpartleu  47415  iccpartgel  47416