Theorem xrltled 13090

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13089. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  qextltlem  13143  ioounsn  13419  snunioc  13422  pcadd2  16850  xblss2ps  24375  xblss2  24376  blhalf  24379  blssps  24398  blss  24399  blcvx  24772  tgqioo  24774  metdcnlem  24811  ioorcl2  25548  volivth  25583  itg2monolem2  25727  itg2cnlem2  25738  dvferm1lem  25960  dvferm2lem  25962  dvferm  25964  dvivthlem1  25985  lhop2  25992  radcnvle  26400  difioo  32875  heicant  37987  ftc1anclem7  38031  supxrgere  45778  suplesup  45784  infrpge  45796  xralrple2  45799  xrralrecnnle  45827  xrralrecnnge  45834  supxrunb3  45843  unb2ltle  45858  xrpnf  45928  snunioo1  45957  iccdifprioo  45961  iccdificc  45984  lptioo1  46077  limsupub  46147  limsuppnflem  46153  limsupre3lem  46175  xlimmnfvlem1  46275  xlimpnfvlem1  46279  fourierdlem46  46595  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem113  46662  ioorrnopnxrlem  46749  salexct2  46782  sge0iunmptlemre  46858  sge0rpcpnf  46864  sge0xaddlem1  46876  meaiuninc3v  46927  ovnsubaddlem1  47013  hoidmv1le  47037  hoidmvlelem5  47042  ovolval4lem1  47092  ovolval5lem1  47095  preimageiingt  47163  preimaleiinlt  47164  fsupdm  47285  finfdm  47289  iccpartleu  47885  iccpartgel  47886