Theorem xrltled 13166

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13165. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13165	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  qextltlem  13219  ioounsn  13495  snunioc  13498  pcadd2  16940  xblss2ps  24519  xblss2  24520  blhalf  24523  blssps  24542  blss  24543  blcvx  24916  tgqioo  24918  metdcnlem  24955  ioorcl2  25692  volivth  25727  itg2monolem2  25871  itg2cnlem2  25882  dvferm1lem  26104  dvferm2lem  26106  dvferm  26108  dvivthlem1  26128  lhop2  26135  radcnvle  26541  difioo  33039  heicant  38166  ftc1anclem7  38210  supxrgere  45907  suplesup  45913  infrpge  45925  xralrple2  45928  xrralrecnnle  45956  xrralrecnnge  45963  supxrunb3  45972  unb2ltle  45987  xrpnf  46057  snunioo1  46086  iccdifprioo  46090  iccdificc  46113  lptioo1  46206  limsupub  46276  limsuppnflem  46282  limsupre3lem  46304  xlimmnfvlem1  46404  xlimpnfvlem1  46408  fourierdlem46  46724  fourierdlem74  46752  fourierdlem75  46753  ioorrnopnxrlem  46878  salexct2  46911  sge0iunmptlemre  46987  sge0rpcpnf  46993  sge0xaddlem1  47005  meaiuninc3v  47056  ovnsubaddlem1  47142  hoidmv1le  47166  hoidmvlelem5  47171  ovolval4lem1  47221  ovolval5lem1  47224  preimageiingt  47292  preimaleiinlt  47293  fsupdm  47414  finfdm  47418  iccpartleu  48032  iccpartgel  48033