Theorem xrltled 12934

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12933. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ℝ^*cxr 11058   < clt 11059   ≤ cle 11060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065

This theorem is referenced by:  qextltlem  12986  ioounsn  13259  snunioc  13262  pcadd2  16640  xblss2ps  23603  xblss2  23604  blhalf  23607  blssps  23626  blss  23627  blcvx  24010  tgqioo  24012  metdcnlem  24048  ioorcl2  24785  volivth  24820  itg2monolem2  24965  itg2cnlem2  24976  dvferm1lem  25197  dvferm2lem  25199  dvferm  25201  dvivthlem1  25221  lhop2  25228  radcnvle  25628  difioo  31152  heicant  35860  ftc1anclem7  35904  supxrgere  43100  suplesup  43106  infrpge  43118  xralrple2  43121  xrralrecnnle  43150  xrralrecnnge  43158  supxrunb3  43167  unb2ltle  43183  xrpnf  43254  snunioo1  43279  iccdifprioo  43283  iccdificc  43306  lptioo1  43402  limsupub  43474  limsuppnflem  43480  limsupre3lem  43502  xlimmnfvlem1  43602  xlimpnfvlem1  43606  fourierdlem46  43922  fourierdlem48  43924  fourierdlem49  43925  fourierdlem74  43950  fourierdlem75  43951  fourierdlem113  43989  ioorrnopnxrlem  44076  salexct2  44107  sge0iunmptlemre  44183  sge0rpcpnf  44189  sge0xaddlem1  44201  meaiuninc3v  44252  ovnsubaddlem1  44338  hoidmv1le  44362  hoidmvlelem5  44367  ovolval4lem1  44417  ovolval5lem1  44420  preimageiingt  44488  preimaleiinlt  44489  iccpartleu  45124  iccpartgel  45125