Theorem xrltled 13099

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13098. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  qextltlem  13152  ioounsn  13428  snunioc  13431  pcadd2  16859  xblss2ps  24391  xblss2  24392  blhalf  24395  blssps  24414  blss  24415  blcvx  24788  tgqioo  24790  metdcnlem  24827  ioorcl2  25564  volivth  25599  itg2monolem2  25743  itg2cnlem2  25754  dvferm1lem  25976  dvferm2lem  25978  dvferm  25980  dvivthlem1  26000  lhop2  26007  radcnvle  26410  difioo  32881  heicant  38029  ftc1anclem7  38073  supxrgere  45785  suplesup  45791  infrpge  45803  xralrple2  45806  xrralrecnnle  45834  xrralrecnnge  45841  supxrunb3  45850  unb2ltle  45865  xrpnf  45935  snunioo1  45964  iccdifprioo  45968  iccdificc  45991  lptioo1  46084  limsupub  46154  limsuppnflem  46160  limsupre3lem  46182  xlimmnfvlem1  46282  xlimpnfvlem1  46286  fourierdlem46  46602  fourierdlem48  46604  fourierdlem49  46605  fourierdlem74  46630  fourierdlem75  46631  fourierdlem113  46669  ioorrnopnxrlem  46756  salexct2  46789  sge0iunmptlemre  46865  sge0rpcpnf  46871  sge0xaddlem1  46883  meaiuninc3v  46934  ovnsubaddlem1  47020  hoidmv1le  47044  hoidmvlelem5  47049  ovolval4lem1  47099  ovolval5lem1  47102  preimageiingt  47170  preimaleiinlt  47171  fsupdm  47292  finfdm  47296  iccpartleu  47910  iccpartgel  47911