Theorem xrltled 12626

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12625. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ℝ^*cxr 10752   < clt 10753   ≤ cle 10754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759

This theorem is referenced by:  qextltlem  12678  ioounsn  12951  snunioc  12954  pcadd2  16326  xblss2ps  23154  xblss2  23155  blhalf  23158  blssps  23177  blss  23178  blcvx  23550  tgqioo  23552  metdcnlem  23588  ioorcl2  24324  volivth  24359  itg2monolem2  24504  itg2cnlem2  24515  dvferm1lem  24736  dvferm2lem  24738  dvferm  24740  dvivthlem1  24760  lhop2  24767  radcnvle  25167  difioo  30678  heicant  35435  ftc1anclem7  35479  supxrgere  42410  suplesup  42416  infrpge  42428  xralrple2  42431  xrralrecnnle  42460  xrralrecnnge  42468  supxrunb3  42477  unb2ltle  42493  xrpnf  42566  snunioo1  42590  iccdifprioo  42594  iccdificc  42617  lptioo1  42715  limsupub  42787  limsuppnflem  42793  limsupre3lem  42815  xlimmnfvlem1  42915  xlimpnfvlem1  42919  fourierdlem46  43235  fourierdlem48  43237  fourierdlem49  43238  fourierdlem74  43263  fourierdlem75  43264  fourierdlem113  43302  ioorrnopnxrlem  43389  salexct2  43420  sge0iunmptlemre  43495  sge0rpcpnf  43501  sge0xaddlem1  43513  meaiuninc3v  43564  ovnsubaddlem1  43650  hoidmv1le  43674  hoidmvlelem5  43679  ovolval4lem1  43729  ovolval5lem1  43732  pimltmnf2  43777  pimgtpnf2  43783  preimageiingt  43796  preimaleiinlt  43797  iccpartleu  44414  iccpartgel  44415