Theorem xrltled 13117

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13116. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  qextltlem  13169  ioounsn  13445  snunioc  13448  pcadd2  16868  xblss2ps  24296  xblss2  24297  blhalf  24300  blssps  24319  blss  24320  blcvx  24693  tgqioo  24695  metdcnlem  24732  ioorcl2  25480  volivth  25515  itg2monolem2  25659  itg2cnlem2  25670  dvferm1lem  25895  dvferm2lem  25897  dvferm  25899  dvivthlem1  25920  lhop2  25927  radcnvle  26336  difioo  32712  heicant  37656  ftc1anclem7  37700  supxrgere  45336  suplesup  45342  infrpge  45354  xralrple2  45357  xrralrecnnle  45386  xrralrecnnge  45393  supxrunb3  45402  unb2ltle  45418  xrpnf  45488  snunioo1  45517  iccdifprioo  45521  iccdificc  45544  lptioo1  45637  limsupub  45709  limsuppnflem  45715  limsupre3lem  45737  xlimmnfvlem1  45837  xlimpnfvlem1  45841  fourierdlem46  46157  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem113  46224  ioorrnopnxrlem  46311  salexct2  46344  sge0iunmptlemre  46420  sge0rpcpnf  46426  sge0xaddlem1  46438  meaiuninc3v  46489  ovnsubaddlem1  46575  hoidmv1le  46599  hoidmvlelem5  46604  ovolval4lem1  46654  ovolval5lem1  46657  preimageiingt  46725  preimaleiinlt  46726  fsupdm  46847  finfdm  46851  iccpartleu  47433  iccpartgel  47434