Theorem xrltled 13092

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13091. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  qextltlem  13145  ioounsn  13421  snunioc  13424  pcadd2  16852  xblss2ps  24376  xblss2  24377  blhalf  24380  blssps  24399  blss  24400  blcvx  24773  tgqioo  24775  metdcnlem  24812  ioorcl2  25549  volivth  25584  itg2monolem2  25728  itg2cnlem2  25739  dvferm1lem  25961  dvferm2lem  25963  dvferm  25965  dvivthlem1  25985  lhop2  25992  radcnvle  26398  difioo  32870  heicant  37990  ftc1anclem7  38034  supxrgere  45781  suplesup  45787  infrpge  45799  xralrple2  45802  xrralrecnnle  45830  xrralrecnnge  45837  supxrunb3  45846  unb2ltle  45861  xrpnf  45931  snunioo1  45960  iccdifprioo  45964  iccdificc  45987  lptioo1  46080  limsupub  46150  limsuppnflem  46156  limsupre3lem  46178  xlimmnfvlem1  46278  xlimpnfvlem1  46282  fourierdlem46  46598  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem113  46665  ioorrnopnxrlem  46752  salexct2  46785  sge0iunmptlemre  46861  sge0rpcpnf  46867  sge0xaddlem1  46879  meaiuninc3v  46930  ovnsubaddlem1  47016  hoidmv1le  47040  hoidmvlelem5  47045  ovolval4lem1  47095  ovolval5lem1  47098  preimageiingt  47166  preimaleiinlt  47167  fsupdm  47288  finfdm  47292  iccpartleu  47900  iccpartgel  47901