Theorem xrltled 13110

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13109. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  qextltlem  13162  ioounsn  13438  snunioc  13441  pcadd2  16861  xblss2ps  24289  xblss2  24290  blhalf  24293  blssps  24312  blss  24313  blcvx  24686  tgqioo  24688  metdcnlem  24725  ioorcl2  25473  volivth  25508  itg2monolem2  25652  itg2cnlem2  25663  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  dvferm  25892  dvivthlem1  25913  lhop2  25920  radcnvle  26329  difioo  32705  heicant  37649  ftc1anclem7  37693  supxrgere  45329  suplesup  45335  infrpge  45347  xralrple2  45350  xrralrecnnle  45379  xrralrecnnge  45386  supxrunb3  45395  unb2ltle  45411  xrpnf  45481  snunioo1  45510  iccdifprioo  45514  iccdificc  45537  lptioo1  45630  limsupub  45702  limsuppnflem  45708  limsupre3lem  45730  xlimmnfvlem1  45830  xlimpnfvlem1  45834  fourierdlem46  46150  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem113  46217  ioorrnopnxrlem  46304  salexct2  46337  sge0iunmptlemre  46413  sge0rpcpnf  46419  sge0xaddlem1  46431  meaiuninc3v  46482  ovnsubaddlem1  46568  hoidmv1le  46592  hoidmvlelem5  46597  ovolval4lem1  46647  ovolval5lem1  46650  preimageiingt  46718  preimaleiinlt  46719  fsupdm  46840  finfdm  46844  iccpartleu  47429  iccpartgel  47430