Theorem xrltled 12531

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12530. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12530	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  qextltlem  12583  ioounsn  12855  snunioc  12858  pcadd2  16216  xblss2ps  23008  xblss2  23009  blhalf  23012  blssps  23031  blss  23032  blcvx  23403  tgqioo  23405  metdcnlem  23441  ioorcl2  24176  volivth  24211  itg2monolem2  24355  itg2cnlem2  24366  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  dvferm  24591  dvivthlem1  24611  lhop2  24618  radcnvle  25015  difioo  30531  heicant  35092  ftc1anclem7  35136  supxrgere  41965  suplesup  41971  infrpge  41983  xralrple2  41986  xrralrecnnle  42017  xrralrecnnge  42026  supxrunb3  42036  unb2ltle  42052  xrpnf  42125  snunioo1  42149  iccdifprioo  42153  iccdificc  42176  lptioo1  42274  limsupub  42346  limsuppnflem  42352  limsupre3lem  42374  xlimmnfvlem1  42474  xlimpnfvlem1  42478  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem113  42861  ioorrnopnxrlem  42948  salexct2  42979  sge0iunmptlemre  43054  sge0rpcpnf  43060  sge0xaddlem1  43072  meaiuninc3v  43123  ovnsubaddlem1  43209  hoidmv1le  43233  hoidmvlelem5  43238  ovolval4lem1  43288  ovolval5lem1  43291  pimltmnf2  43336  pimgtpnf2  43342  preimageiingt  43355  preimaleiinlt  43356  iccpartleu  43945  iccpartgel  43946