Theorem xrltled 13079

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13078. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13078	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  qextltlem  13131  ioounsn  13404  snunioc  13407  pcadd2  16773  xblss2ps  23791  xblss2  23792  blhalf  23795  blssps  23814  blss  23815  blcvx  24198  tgqioo  24200  metdcnlem  24236  ioorcl2  24973  volivth  25008  itg2monolem2  25153  itg2cnlem2  25164  dvferm1lem  25385  dvferm2lem  25387  dvferm  25389  dvivthlem1  25409  lhop2  25416  radcnvle  25816  difioo  31753  heicant  36186  ftc1anclem7  36230  supxrgere  43688  suplesup  43694  infrpge  43706  xralrple2  43709  xrralrecnnle  43738  xrralrecnnge  43745  supxrunb3  43754  unb2ltle  43770  xrpnf  43841  snunioo1  43870  iccdifprioo  43874  iccdificc  43897  lptioo1  43993  limsupub  44065  limsuppnflem  44071  limsupre3lem  44093  xlimmnfvlem1  44193  xlimpnfvlem1  44197  fourierdlem46  44513  fourierdlem48  44515  fourierdlem49  44516  fourierdlem74  44541  fourierdlem75  44542  fourierdlem113  44580  ioorrnopnxrlem  44667  salexct2  44700  sge0iunmptlemre  44776  sge0rpcpnf  44782  sge0xaddlem1  44794  meaiuninc3v  44845  ovnsubaddlem1  44931  hoidmv1le  44955  hoidmvlelem5  44960  ovolval4lem1  45010  ovolval5lem1  45013  preimageiingt  45081  preimaleiinlt  45082  fsupdm  45203  finfdm  45207  iccpartleu  45740  iccpartgel  45741