Theorem xrltled 13129

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13128. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  qextltlem  13181  ioounsn  13454  snunioc  13457  pcadd2  16823  xblss2ps  23907  xblss2  23908  blhalf  23911  blssps  23930  blss  23931  blcvx  24314  tgqioo  24316  metdcnlem  24352  ioorcl2  25089  volivth  25124  itg2monolem2  25269  itg2cnlem2  25280  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  dvferm  25505  dvivthlem1  25525  lhop2  25532  radcnvle  25932  difioo  32024  heicant  36571  ftc1anclem7  36615  supxrgere  44091  suplesup  44097  infrpge  44109  xralrple2  44112  xrralrecnnle  44141  xrralrecnnge  44148  supxrunb3  44157  unb2ltle  44173  xrpnf  44244  snunioo1  44273  iccdifprioo  44277  iccdificc  44300  lptioo1  44396  limsupub  44468  limsuppnflem  44474  limsupre3lem  44496  xlimmnfvlem1  44596  xlimpnfvlem1  44600  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem74  44944  fourierdlem75  44945  fourierdlem113  44983  ioorrnopnxrlem  45070  salexct2  45103  sge0iunmptlemre  45179  sge0rpcpnf  45185  sge0xaddlem1  45197  meaiuninc3v  45248  ovnsubaddlem1  45334  hoidmv1le  45358  hoidmvlelem5  45363  ovolval4lem1  45413  ovolval5lem1  45416  preimageiingt  45484  preimaleiinlt  45485  fsupdm  45606  finfdm  45610  iccpartleu  46144  iccpartgel  46145