Theorem xrltled 13064

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13063. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13063	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  qextltlem  13117  ioounsn  13393  snunioc  13396  pcadd2  16818  xblss2ps  24345  xblss2  24346  blhalf  24349  blssps  24368  blss  24369  blcvx  24742  tgqioo  24744  metdcnlem  24781  ioorcl2  25529  volivth  25564  itg2monolem2  25708  itg2cnlem2  25719  dvferm1lem  25944  dvferm2lem  25946  dvferm  25948  dvivthlem1  25969  lhop2  25976  radcnvle  26385  difioo  32862  heicant  37852  ftc1anclem7  37896  supxrgere  45574  suplesup  45580  infrpge  45592  xralrple2  45595  xrralrecnnle  45623  xrralrecnnge  45630  supxrunb3  45639  unb2ltle  45655  xrpnf  45725  snunioo1  45754  iccdifprioo  45758  iccdificc  45781  lptioo1  45874  limsupub  45944  limsuppnflem  45950  limsupre3lem  45972  xlimmnfvlem1  46072  xlimpnfvlem1  46076  fourierdlem46  46392  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem74  46420  fourierdlem75  46421  fourierdlem113  46459  ioorrnopnxrlem  46546  salexct2  46579  sge0iunmptlemre  46655  sge0rpcpnf  46661  sge0xaddlem1  46673  meaiuninc3v  46724  ovnsubaddlem1  46810  hoidmv1le  46834  hoidmvlelem5  46839  ovolval4lem1  46889  ovolval5lem1  46892  preimageiingt  46960  preimaleiinlt  46961  fsupdm  47082  finfdm  47086  iccpartleu  47670  iccpartgel  47671