Theorem xrltled 13212

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13211. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  qextltlem  13264  ioounsn  13537  snunioc  13540  pcadd2  16937  xblss2ps  24432  xblss2  24433  blhalf  24436  blssps  24455  blss  24456  blcvx  24839  tgqioo  24841  metdcnlem  24877  ioorcl2  25626  volivth  25661  itg2monolem2  25806  itg2cnlem2  25817  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  dvferm  26046  dvivthlem1  26067  lhop2  26074  radcnvle  26481  difioo  32787  heicant  37615  ftc1anclem7  37659  supxrgere  45248  suplesup  45254  infrpge  45266  xralrple2  45269  xrralrecnnle  45298  xrralrecnnge  45305  supxrunb3  45314  unb2ltle  45330  xrpnf  45401  snunioo1  45430  iccdifprioo  45434  iccdificc  45457  lptioo1  45553  limsupub  45625  limsuppnflem  45631  limsupre3lem  45653  xlimmnfvlem1  45753  xlimpnfvlem1  45757  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem113  46140  ioorrnopnxrlem  46227  salexct2  46260  sge0iunmptlemre  46336  sge0rpcpnf  46342  sge0xaddlem1  46354  meaiuninc3v  46405  ovnsubaddlem1  46491  hoidmv1le  46515  hoidmvlelem5  46520  ovolval4lem1  46570  ovolval5lem1  46573  preimageiingt  46641  preimaleiinlt  46642  fsupdm  46763  finfdm  46767  iccpartleu  47302  iccpartgel  47303