Theorem xrltled 12230

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 12229. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 12229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369

This theorem is referenced by:  qextltlem  12282  ioounsn  12550  snunioc  12554  pcadd2  15927  xblss2ps  22534  xblss2  22535  blhalf  22538  blssps  22557  blss  22558  blcvx  22929  tgqioo  22931  metdcnlem  22967  ioorcl2  23680  volivth  23715  itg2monolem2  23859  itg2cnlem2  23870  dvferm1lem  24088  dvferm2lem  24090  dvferm  24092  dvivthlem1  24112  lhop2  24119  radcnvle  24515  difioo  30062  heicant  33933  ftc1anclem7  33979  supxrgere  40293  suplesup  40299  infrpge  40311  xralrple2  40314  xrralrecnnle  40346  xrralrecnnge  40356  supxrunb3  40366  unb2ltle  40385  xrpnf  40459  snunioo1  40483  iccdifprioo  40487  iccdificc  40510  lptioo1  40608  limsupub  40680  limsuppnflem  40686  limsupre3lem  40708  xlimmnfvlem1  40802  xlimpnfvlem1  40806  fourierdlem46  41112  fourierdlem48  41114  fourierdlem49  41115  fourierdlem74  41140  fourierdlem75  41141  fourierdlem113  41179  ioorrnopnxrlem  41269  salexct2  41300  sge0iunmptlemre  41375  sge0rpcpnf  41381  sge0xaddlem1  41393  meaiuninc3v  41444  ovnsubaddlem1  41530  hoidmv1le  41554  hoidmvlelem5  41559  ovolval4lem1  41609  ovolval5lem1  41612  pimltmnf2  41657  pimgtpnf2  41663  preimageiingt  41676  preimaleiinlt  41677  iccpartleu  42204  iccpartgel  42205