Theorem xrltled 13189

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' for extended reals. Deduction form of xrltle 13188. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrltled.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrltled.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrltled.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xrltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltled.altb	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltled.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		xrltled.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrltle 13188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  qextltlem  13241  ioounsn  13514  snunioc  13517  pcadd2  16924  xblss2ps  24427  xblss2  24428  blhalf  24431  blssps  24450  blss  24451  blcvx  24834  tgqioo  24836  metdcnlem  24872  ioorcl2  25621  volivth  25656  itg2monolem2  25801  itg2cnlem2  25812  dvferm1lem  26037  dvferm2lem  26039  dvferm  26041  dvivthlem1  26062  lhop2  26069  radcnvle  26478  difioo  32791  heicant  37642  ftc1anclem7  37686  supxrgere  45283  suplesup  45289  infrpge  45301  xralrple2  45304  xrralrecnnle  45333  xrralrecnnge  45340  supxrunb3  45349  unb2ltle  45365  xrpnf  45436  snunioo1  45465  iccdifprioo  45469  iccdificc  45492  lptioo1  45588  limsupub  45660  limsuppnflem  45666  limsupre3lem  45688  xlimmnfvlem1  45788  xlimpnfvlem1  45792  fourierdlem46  46108  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem74  46136  fourierdlem75  46137  fourierdlem113  46175  ioorrnopnxrlem  46262  salexct2  46295  sge0iunmptlemre  46371  sge0rpcpnf  46377  sge0xaddlem1  46389  meaiuninc3v  46440  ovnsubaddlem1  46526  hoidmv1le  46550  hoidmvlelem5  46555  ovolval4lem1  46605  ovolval5lem1  46608  preimageiingt  46676  preimaleiinlt  46677  fsupdm  46798  finfdm  46802  iccpartleu  47353  iccpartgel  47354