MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsslem 25499
Description: Lemma for ovolss 25500. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolss.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
ovolss.2 𝑁 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolsslem ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolsslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3986 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → (𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓)))
21ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓)))
32anim1d 609 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
43reximdv 3160 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
54ss2rabdv 4070 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 ovolss.2 . . . . 5 𝑁 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
7 ovolss.1 . . . . 5 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
85, 6, 73sstr4g 4025 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑁𝑀)
9 sstr 3988 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
107ovolval 25488 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
127ssrab3 4077 . . . . . . . . 9 𝑀 ⊆ ℝ*
13 infxrlb 13359 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ ℝ*𝑥𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1412, 13mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑥𝑀 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1611, 15eqbrtrd 5166 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
1716ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
189, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
19 ssralv 4048 . . . 4 (𝑁𝑀 → (∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥 → ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
208, 18, 19sylc 65 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
216ssrab3 4077 . . . 4 𝑁 ⊆ ℝ*
22 ovolcl 25493 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
239, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
24 infxrgelb 13360 . . . 4 ((𝑁 ⊆ ℝ* ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
2521, 23, 24sylancr 585 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
2620, 25mpbird 256 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ))
276ovolval 25488 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
2827adantl 480 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
2926, 28breqtrrd 5172 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  {crab 3420  cin 3946  wss 3947   cuni 4906   class class class wbr 5144   × cxp 5671  ran crn 5674  ccom 5677  cfv 6544  (class class class)co 7414  m cmap 8845  supcsup 9474  infcinf 9475  cr 11146  1c1 11148   + caddc 11150  *cxr 11286   < clt 11287  cle 11288  cmin 11483  cn 12256  (,)cioo 13370  seqcseq 14013  abscabs 15232  vol*covol 25477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-ovol 25479
This theorem is referenced by:  ovolss  25500
  Copyright terms: Public domain W3C validator