MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolsslem 25431
Description: Lemma for ovolss 25432. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolss.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
ovolss.2 𝑁 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolsslem ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolsslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3979 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → (𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓)))
21ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓)))
32anim1d 609 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
43reximdv 3160 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
54ss2rabdv 4065 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))})
6 ovolss.2 . . . . 5 𝑁 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
7 ovolss.1 . . . . 5 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
85, 6, 73sstr4g 4018 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝑁𝑀)
9 sstr 3981 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
107ovolval 25420 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → (vol*‘𝐴) = inf(𝑀, ℝ*, < ))
127ssrab3 4072 . . . . . . . . 9 𝑀 ⊆ ℝ*
13 infxrlb 13345 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ ℝ*𝑥𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1412, 13mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑥𝑀 → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → inf(𝑀, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1611, 15eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝑀) → (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
1716ralrimiva 3136 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
189, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
19 ssralv 4041 . . . 4 (𝑁𝑀 → (∀𝑥𝑀 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥 → ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
208, 18, 19sylc 65 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥)
216ssrab3 4072 . . . 4 𝑁 ⊆ ℝ*
22 ovolcl 25425 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
239, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
24 infxrgelb 13346 . . . 4 ((𝑁 ⊆ ℝ* ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
2521, 23, 24sylancr 585 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑁 (vol*‘𝐴) ≤ 𝑥))
2620, 25mpbird 256 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ inf(𝑁, ℝ*, < ))
276ovolval 25420 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
2827adantl 480 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐵) = inf(𝑁, ℝ*, < ))
2926, 28breqtrrd 5171 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  cin 3938  wss 3939   cuni 4903   class class class wbr 5143   × cxp 5670  ran crn 5673  ccom 5676  cfv 6543  (class class class)co 7416  m cmap 8843  supcsup 9463  infcinf 9464  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141  *cxr 11277   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  (,)cioo 13356  seqcseq 13998  abscabs 15213  vol*covol 25409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-ovol 25411
This theorem is referenced by:  ovolss  25432
  Copyright terms: Public domain W3C validator