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Theorem nna4b4nsq 41484
Description: Strengthening of Fermat's last theorem for exponent 4, where the sum is only assumed to be a square. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nna4b4nsq.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
nna4b4nsq.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
nna4b4nsq.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
nna4b4nsq (πœ‘ β†’ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) β‰  (𝐢↑2))
Proof of Theorem nna4b4nsq
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑙 𝑔 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nna4b4nsq.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„•)
2 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žβ†‘4) = (𝐴↑4))
32oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = ((𝐴↑4) + (𝑏↑4)))
43eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝐴↑4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)))
5 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝑏↑4) = (𝐡↑4))
65oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴↑4) + (𝑏↑4)) = ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)))
76eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (((𝐴↑4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)))
8 nna4b4nsq.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
98ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ β„•) ∧ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
10 nna4b4nsq.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ β„•) ∧ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ β„•) ∧ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)) β†’ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2))
134, 7, 9, 11, 122rspcedvdw 3625 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ β„•) ∧ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))
1413ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ β„•) β†’ (((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)))
1514ss2rabdv 4073 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ β„• ∣ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)} βŠ† {𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)})
16 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑖 β†’ (𝑓↑2) = (𝑖↑2))
1716eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑖 β†’ (((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)))
1817anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑖 β†’ (((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))))
1918anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑖 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)))))
20192rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑖 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)))))
21 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑙 β†’ (𝑓↑2) = (𝑙↑2))
2221eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑙 β†’ (((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2)))
2322anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑙 β†’ (((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))))
2423anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑙 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2)))))
25242rexbidv 3219 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2)))))
26 nnuz 12867 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2726eqimssi 4042 . . . . . . . 8 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
29 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 β†’ (2 βˆ₯ 𝑔 ↔ 2 βˆ₯ 𝑗))
3029notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑗 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗))
31 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑗 β†’ (𝑔 gcd β„Ž) = (𝑗 gcd β„Ž))
3231eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 β†’ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑗 gcd β„Ž) = 1))
33 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑗 β†’ (𝑔↑4) = (𝑗↑4))
3433oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑗 β†’ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)))
3534eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 β†’ (((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2) ↔ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)))
3632, 35anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑗 β†’ (((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)) ↔ ((𝑗 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))))
3730, 36anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑗 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)))))
38 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = π‘˜ β†’ (𝑗 gcd β„Ž) = (𝑗 gcd π‘˜))
3938eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = π‘˜ β†’ ((𝑗 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑗 gcd π‘˜) = 1))
40 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = π‘˜ β†’ (β„Žβ†‘4) = (π‘˜β†‘4))
4140oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = π‘˜ β†’ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)))
4241eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = π‘˜ β†’ (((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2) ↔ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))
4339, 42anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = π‘˜ β†’ (((𝑗 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2)) ↔ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2))))
4443anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = π‘˜ β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))))
4537, 44cbvrex2vw 3239 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2))))
46 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
47 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
48 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
49 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗)
50 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ (𝑗 gcd π‘˜) = 1)
51 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2))
5246, 47, 48, 49, 50, 51flt4lem7 41483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) ∧ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2)))) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))) ∧ 𝑙 < 𝑖))
5352ex 413 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•)) β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2))) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))) ∧ 𝑙 < 𝑖)))
5453rexlimdvva 3211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑗 ∧ ((𝑗 gcd π‘˜) = 1 ∧ ((𝑗↑4) + (π‘˜β†‘4)) = (𝑖↑2))) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))) ∧ 𝑙 < 𝑖)))
5545, 54biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))) ∧ 𝑙 < 𝑖)))
5655impr 455 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑖↑2))))) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• (βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑙↑2))) ∧ 𝑙 < 𝑖))
5720, 25, 28, 56infdesc 41467 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))} = βˆ…)
58 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑑 β†’ (2 βˆ₯ 𝑔 ↔ 2 βˆ₯ 𝑑))
5958notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑑 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑))
60 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑑 β†’ (𝑔 gcd β„Ž) = (𝑑 gcd β„Ž))
6160eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑑 β†’ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑑 gcd β„Ž) = 1))
62 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑑 β†’ (𝑔↑4) = (𝑑↑4))
6362oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑑 β†’ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)))
6463eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑑 β†’ (((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))
6561, 64anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑑 β†’ (((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑑 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
6659, 65anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑑 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∧ ((𝑑 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))))
67 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑒 β†’ (𝑑 gcd β„Ž) = (𝑑 gcd 𝑒))
6867eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑒 β†’ ((𝑑 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑑 gcd 𝑒) = 1))
69 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝑒 β†’ (β„Žβ†‘4) = (𝑒↑4))
7069oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑒 β†’ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)))
7170eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑒 β†’ (((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))
7268, 71anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑒 β†’ (((𝑑 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
7372anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = 𝑒 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∧ ((𝑑 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))))
74 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
76 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑)
79 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))
8078, 79jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
8166, 73, 75, 77, 802rspcedvdw 3625 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
82 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑒 β†’ (2 βˆ₯ 𝑔 ↔ 2 βˆ₯ 𝑒))
8382notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑒 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒))
84 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑒 β†’ (𝑔 gcd β„Ž) = (𝑒 gcd β„Ž))
8584eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑒 gcd β„Ž) = 1))
86 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑒 β†’ (𝑔↑4) = (𝑒↑4))
8786oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)))
8887eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = 𝑒 β†’ (((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))
8985, 88anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = 𝑒 β†’ (((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑒 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
9083, 89anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒 ∧ ((𝑒 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))))
91 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑑 β†’ (𝑒 gcd β„Ž) = (𝑒 gcd 𝑑))
9291eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑑 β†’ ((𝑒 gcd β„Ž) = 1 ↔ (𝑒 gcd 𝑑) = 1))
93 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝑑 β†’ (β„Žβ†‘4) = (𝑑↑4))
9493oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑑 β†’ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)))
9594eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑑 β†’ (((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = (𝑓↑2)))
9692, 95anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑑 β†’ (((𝑒 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑒 gcd 𝑑) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = (𝑓↑2))))
9796anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = 𝑑 β†’ ((Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒 ∧ ((𝑒 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒 ∧ ((𝑒 gcd 𝑑) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = (𝑓↑2)))))
9876ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
9974ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
100 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒)
10198nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
10299nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
103101, 102gcdcomd 16457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑒 gcd 𝑑) = (𝑑 gcd 𝑒))
104 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑑 gcd 𝑒) = 1)
105103, 104eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑒 gcd 𝑑) = 1)
106 4nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ β„•0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ 4 ∈ β„•0)
10898, 107nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑒↑4) ∈ β„•)
109108nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑒↑4) ∈ β„‚)
11099, 107nnexpcld 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑑↑4) ∈ β„•)
111110nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (𝑑↑4) ∈ β„‚)
112109, 111addcomd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)))
113 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))
114112, 113eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = (𝑓↑2))
115100, 105, 114jca32 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒 ∧ ((𝑒 gcd 𝑑) = 1 ∧ ((𝑒↑4) + (𝑑↑4)) = (𝑓↑2))))
11690, 97, 98, 99, 1152rspcedvdw 3625 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
11774ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
118117nnsqcld 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (𝑑↑2) ∈ β„•)
11976ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
120119nnsqcld 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (𝑒↑2) ∈ β„•)
121 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑓 ∈ β„•)
122 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
123 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
124123nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ 𝑑 ∈ β„€)
125 2nn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ 2 ∈ β„•)
127 dvdsexp2im 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑑 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ 𝑑 β†’ 2 βˆ₯ (𝑑↑2)))
128122, 124, 126, 127mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ (2 βˆ₯ 𝑑 β†’ 2 βˆ₯ (𝑑↑2)))
129128imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 2 βˆ₯ (𝑑↑2))
130 2nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 2 ∈ β„•0)
132117nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
133132flt4lem 41469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (𝑑↑4) = ((𝑑↑2)↑2))
134119nncnd 12230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
135134flt4lem 41469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (𝑒↑4) = ((𝑒↑2)↑2))
136133, 135oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (((𝑑↑2)↑2) + ((𝑒↑2)↑2)))
137 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))
138136, 137eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (((𝑑↑2)↑2) + ((𝑒↑2)↑2)) = (𝑓↑2))
139 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (𝑑 gcd 𝑒) = 1)
140125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 2 ∈ β„•)
141 rppwr 16503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 β†’ ((𝑑↑2) gcd (𝑒↑2)) = 1))
142117, 119, 140, 141syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 β†’ ((𝑑↑2) gcd (𝑒↑2)) = 1))
143139, 142mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑↑2) gcd (𝑒↑2)) = 1)
144118, 120, 121, 131, 138, 143fltaccoprm 41464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ ((𝑑↑2) gcd 𝑓) = 1)
145118, 120, 121, 129, 144, 138flt4lem2 41471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (𝑒↑2))
146119nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ β„€)
147 dvdsexp2im 16272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑒 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ 𝑒 β†’ 2 βˆ₯ (𝑒↑2)))
148122, 146, 140, 147mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ (2 βˆ₯ 𝑒 β†’ 2 βˆ₯ (𝑒↑2)))
149145, 148mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) ∧ 2 βˆ₯ 𝑑) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒)
150149ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ (2 βˆ₯ 𝑑 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒))
151 imor 851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 βˆ₯ 𝑑 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒) ↔ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∨ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒))
152150, 151sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑑 ∨ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑒))
15381, 116, 152mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) ∧ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
154153ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) ∧ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•)) β†’ (((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))))
155154rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))))
156155reximdva 3168 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))))
157156con3d 152 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
158 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
159 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))
160157, 158, 1593imtr4g 295 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
161 rabeq0 4384 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2))))
162 rabeq0 4384 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))
163160, 161, 1623imtr4g 295 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘” ∈ β„• βˆƒβ„Ž ∈ β„• (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑔 ∧ ((𝑔 gcd β„Ž) = 1 ∧ ((𝑔↑4) + (β„Žβ†‘4)) = (𝑓↑2)))} = βˆ… β†’ {𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))} = βˆ…))
16457, 163mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))} = βˆ…)
165 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) β†’ (𝑓↑2) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2))
166165eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) β†’ (((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2) ↔ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)))
167166anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) β†’ (((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) ↔ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2))))
168 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (𝑑 gcd 𝑒) = ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒))
169168eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ↔ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒) = 1))
170 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (𝑑↑4) = ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4))
171170oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)))
172171eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2) ↔ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)))
173169, 172anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)) ↔ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒) = 1 ∧ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2))))
174 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒) = ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))))
175174eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒) = 1 ↔ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))) = 1))
176 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (𝑒↑4) = ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4))
177176oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)) = (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)))
178177eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ ((((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2) ↔ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)))
179175, 178anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) β†’ ((((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd 𝑒) = 1 ∧ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + (𝑒↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)) ↔ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))) = 1 ∧ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2))))
180 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
181 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ 𝑏 ∈ β„•)
182 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ 𝑐 ∈ β„•)
183 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))
184180, 181, 182, 183flt4lem6 41482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„• ∧ (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„• ∧ (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) ∈ β„•) ∧ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)))
185184simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„• ∧ (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„• ∧ (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) ∈ β„•))
186185simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2)) ∈ β„•)
187185simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„•)
188185simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏)) ∈ β„•)
189180nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ π‘Ž ∈ β„€)
190181nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
191181nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ 𝑏 β‰  0)
192 divgcdcoprm0 16604 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ 𝑏 β‰  0) β†’ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))) = 1)
193189, 190, 191, 192syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ ((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))) = 1)
194184simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2))
195193, 194jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏)) gcd (𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))) = 1 ∧ (((π‘Ž / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4) + ((𝑏 / (π‘Ž gcd 𝑏))↑4)) = ((𝑐 / ((π‘Ž gcd 𝑏)↑2))↑2)))
196167, 173, 179, 186, 187, 188, 1953rspcedvdw 41116 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) ∧ (𝑏 ∈ β„• ∧ ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)))
197196rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ β„• ∧ π‘Ž ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
198197rexlimdvva 3211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ β„• βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))))
199198con3d 152 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“ ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„• βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)))
200 ralnex 3072 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2) ↔ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„• βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))
201199, 159, 2003imtr4g 295 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)))
202 rabeq0 4384 . . . . . 6 ({𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2))
203201, 162, 2023imtr4g 295 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({𝑓 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• βˆƒπ‘’ ∈ β„• ((𝑑 gcd 𝑒) = 1 ∧ ((𝑑↑4) + (𝑒↑4)) = (𝑓↑2))} = βˆ… β†’ {𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ…))
204164, 203mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ…)
205 sseq0 4399 . . . 4 (({𝑐 ∈ β„• ∣ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)} βŠ† {𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)} ∧ {𝑐 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ β„• ((π‘Žβ†‘4) + (𝑏↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ…) β†’ {𝑐 ∈ β„• ∣ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ…)
20615, 204, 205syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑐 ∈ β„• ∣ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ…)
207 rabeq0 4384 . . 3 ({𝑐 ∈ β„• ∣ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2))
208206, 207sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2))
209 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑐↑2) = (𝐢↑2))
210209eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑐 = 𝐢 β†’ (((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝐢↑2)))
211210necon3bbid 2978 . . 3 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Β¬ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) β‰  (𝐢↑2)))
212211rspcv 3608 . 2 (𝐢 ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„• Β¬ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) = (𝑐↑2) β†’ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) β‰  (𝐢↑2)))
2131, 208, 212sylc 65 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑4) + (𝐡↑4)) β‰  (𝐢↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β†‘cexp 14029   βˆ₯ cdvds 16199   gcd cgcd 16437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-numer 16673  df-denom 16674
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