MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatdmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatdmat 22361
Description: A scalar matrix is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatdmat.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatdmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝑆𝑀𝐷))

Proof of Theorem scmatdmat
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
2 ifnefalse 4533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) = 0 )
31, 2sylan9eq 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )
43ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ))
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )))
65ralimdva 3159 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑖𝑁) → (∀𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → ∀𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )))
76ralimdva 3159 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )))
87rexlimdva 3147 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )))
98ss2rabdv 4066 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} ⊆ {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
109adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀𝑆) → {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} ⊆ {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
11 scmatid.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12 scmatid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
13 scmatid.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
14 scmatid.e . . . . . . 7 𝐸 = (Base‘𝑅)
15 scmatid.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
1611, 12, 13, 14, 15scmatmats 22357 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
17 scmatdmat.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
1811, 12, 15, 17dmatval 22338 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
1916, 18sseq12d 4008 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆𝐷 ↔ {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} ⊆ {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )}))
2019adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀𝑆) → (𝑆𝐷 ↔ {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐸𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )} ⊆ {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )}))
2110, 20mpbird 257 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀𝑆) → 𝑆𝐷)
22 simpr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀𝑆) → 𝑀𝑆)
2321, 22sseldd 3976 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑀𝑆) → 𝑀𝐷)
2423ex 412 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝑆𝑀𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  {crab 3424  wss 3941  ifcif 4521  cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Ringcrg 20134   Mat cmat 22251   DMat cdmat 22334   ScMat cscmat 22335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-mamu 22230  df-mat 22252  df-dmat 22336  df-scmat 22337
This theorem is referenced by:  scmatcrng  22367  scmatsgrp1  22368
  Copyright terms: Public domain W3C validator