Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteinc 34004
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orvclteinc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
orvclteinc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
orvclteinc (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐡))

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
31, 2rrvf2 33977 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:dom π‘‹βŸΆβ„)
43ffund 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
5 simp2 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6 orvclteinc.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 orvclteinc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
983ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
10 simp3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ 𝐴)
11 orvclteinc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
12113ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
135, 7, 9, 10, 12letrd 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
14133expia 1118 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐴 β†’ π‘₯ ≀ 𝐡))
1514ss2rabdv 4068 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐡})
16 sspreima 7063 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴} βŠ† {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐡}) β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}) βŠ† (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐡}))
174, 15, 16syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}) βŠ† (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐡}))
181, 2, 6orrvcval4 33993 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐴}))
191, 2, 8orrvcval4 33993 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐡) = (◑𝑋 β€œ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ π‘₯ ≀ 𝐡}))
2017, 18, 193sstr4d 4024 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐴) βŠ† (π‘‹βˆ˜RV/𝑐 ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   ≀ cle 11253  Probcprb 33936  rRndVarcrrv 33969  βˆ˜RV/𝑐corvc 33984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ioo 13334  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-esum 33556  df-siga 33637  df-sigagen 33667  df-brsiga 33710  df-meas 33724  df-mbfm 33778  df-prob 33937  df-rrv 33970  df-orvc 33985
This theorem is referenced by:  dstfrvinc  34005  dstfrvclim1  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator