Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteinc 31083
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteinc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
orvclteinc.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
orvclteinc (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvf2 31056 . . . 4 (𝜑𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)
43ffund 6282 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
5 simp2 1173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 orvclteinc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 orvclteinc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
983ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simp3 1174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 orvclteinc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
12113ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
135, 7, 9, 10, 12letrd 10513 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
14133expia 1156 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1514ss2rabdv 3908 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵})
16 sspreima 29996 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
174, 15, 16syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
181, 2, 6orrvcval4 31072 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
191, 2, 8orrvcval4 31072 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐵) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
2017, 18, 193sstr4d 3873 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113  wcel 2166  {crab 3121  wss 3798   class class class wbr 4873  ccnv 5341  dom cdm 5342  cima 5345  Fun wfun 6117  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  cle 10392  Probcprb 31015  rRndVarcrrv 31048  RV/𝑐corvc 31063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-ioo 12467  df-topgen 16457  df-top 21069  df-bases 21121  df-esum 30635  df-siga 30716  df-sigagen 30747  df-brsiga 30790  df-meas 30804  df-mbfm 30858  df-prob 31016  df-rrv 31049  df-orvc 31064
This theorem is referenced by:  dstfrvinc  31084  dstfrvclim1  31085
  Copyright terms: Public domain W3C validator