Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteinc 31083
 Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteinc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
orvclteinc.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
orvclteinc (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvf2 31056 . . . 4 (𝜑𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)
43ffund 6282 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
5 simp2 1173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 orvclteinc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 orvclteinc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
983ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simp3 1174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 orvclteinc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
12113ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
135, 7, 9, 10, 12letrd 10513 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
14133expia 1156 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1514ss2rabdv 3908 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵})
16 sspreima 29996 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
174, 15, 16syl2anc 581 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
181, 2, 6orrvcval4 31072 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
191, 2, 8orrvcval4 31072 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐵) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
2017, 18, 193sstr4d 3873 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166  {crab 3121   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4873  ◡ccnv 5341  dom cdm 5342   “ cima 5345  Fun wfun 6117  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251   ≤ cle 10392  Probcprb 31015  rRndVarcrrv 31048  ∘RV/𝑐corvc 31063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-ioo 12467  df-topgen 16457  df-top 21069  df-bases 21121  df-esum 30635  df-siga 30716  df-sigagen 30747  df-brsiga 30790  df-meas 30804  df-mbfm 30858  df-prob 31016  df-rrv 31049  df-orvc 31064 This theorem is referenced by:  dstfrvinc  31084  dstfrvclim1  31085
 Copyright terms: Public domain W3C validator