Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteinc 34457
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteinc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
orvclteinc.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
orvclteinc (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvf2 34430 . . . 4 (𝜑𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)
43ffund 6741 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
5 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 orvclteinc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 orvclteinc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
983ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 orvclteinc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
12113ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
135, 7, 9, 10, 12letrd 11416 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
14133expia 1120 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1514ss2rabdv 4086 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵})
16 sspreima 7088 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
174, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
181, 2, 6orrvcval4 34446 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
191, 2, 8orrvcval4 34446 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐵) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
2017, 18, 193sstr4d 4043 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  cima 5692  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  cle 11294  Probcprb 34389  rRndVarcrrv 34422  RV/𝑐corvc 34437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-esum 34009  df-siga 34090  df-sigagen 34120  df-brsiga 34163  df-meas 34177  df-mbfm 34231  df-prob 34390  df-rrv 34423  df-orvc 34438
This theorem is referenced by:  dstfrvinc  34458  dstfrvclim1  34459
  Copyright terms: Public domain W3C validator