Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteinc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvclteinc 31721
Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteinc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
orvclteinc.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
orvclteinc (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))

Proof of Theorem orvclteinc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 dstfrv.2 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvf2 31694 . . . 4 (𝜑𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)
43ffund 6511 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
5 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
6 orvclteinc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 orvclteinc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
983ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 orvclteinc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
12113ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
135, 7, 9, 10, 12letrd 10789 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
14133expia 1115 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1514ss2rabdv 4050 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵})
16 sspreima 30384 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}) → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
174, 15, 16syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}) ⊆ (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
181, 2, 6orrvcval4 31710 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐴}))
191, 2, 8orrvcval4 31710 . 2 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐵) = (𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥𝐵}))
2017, 18, 193sstr4d 4012 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝐴) ⊆ (𝑋RV/𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081  wcel 2107  {crab 3140  wss 3934   class class class wbr 5057  ccnv 5547  dom cdm 5548  cima 5551  Fun wfun 6342  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  cle 10668  Probcprb 31653  rRndVarcrrv 31686  RV/𝑐corvc 31701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734  df-topgen 16709  df-top 21494  df-bases 21546  df-esum 31275  df-siga 31356  df-sigagen 31386  df-brsiga 31429  df-meas 31443  df-mbfm 31497  df-prob 31654  df-rrv 31687  df-orvc 31702
This theorem is referenced by:  dstfrvinc  31722  dstfrvclim1  31723
  Copyright terms: Public domain W3C validator