Theorem orvclteinc 34152

Description: Preimage maps produced by the "less than or equal to" relation are increasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvclteinc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
orvclteinc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
orvclteinc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
orvclteinc	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem orvclteinc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstfrv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvf2 34125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:dom 𝑋⟶ℝ)
4	3	ffund 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
5		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		orvclteinc.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		orvclteinc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐴)
11		orvclteinc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
12	11	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
13	5, 7, 9, 10, 12	letrd 11401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐵)
14	13	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝐵))
15	14	ss2rabdv 4065	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐵})
16		sspreima 7072	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴} ⊆ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐵}) → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}) ⊆ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐵}))
17	4, 15, 16	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}) ⊆ (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐵}))
18	1, 2, 6	orrvcval4 34141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐴}))
19	1, 2, 8	orrvcval4 34141	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ≤ 𝐵}))
20	17, 18, 19	3sstr4d 4020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐴) ⊆ (𝑋∘RV/𝑐 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672   “ cima 5675  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℝcr 11137   ≤ cle 11279  Probcprb 34084  rRndVarcrrv 34117  ∘_RV/𝑐corvc 34132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ioo 13360  df-topgen 17424  df-top 22814  df-bases 22867  df-esum 33704  df-siga 33785  df-sigagen 33815  df-brsiga 33858  df-meas 33872  df-mbfm 33926  df-prob 34085  df-rrv 34118  df-orvc 34133

This theorem is referenced by:  dstfrvinc  34153  dstfrvclim1  34154