MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspss 20982
Description: Span preserves subset ordering. (spanss 31367 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspss
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇𝑈)
2 sstr2 3990 . . . . 5 (𝑇𝑈 → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
43ss2rabdv 4076 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
5 intss 4969 . . 3 ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
64, 5syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
7 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
9 simp2 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑈𝑉)
108, 9sstrd 3994 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑉)
11 lspss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2737 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 lspss.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1411, 12, 13lspval 20973 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
157, 10, 14syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
1611, 12, 13lspval 20973 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
17163adant3 1133 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
186, 15, 173sstr4d 4039 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951   cint 4946  cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970
This theorem is referenced by:  lspun  20985  lspssp  20986  lspprid1  20995  lbspss  21081  lspsolvlem  21144  lspsolv  21145  lsppratlem3  21151  lbsextlem2  21161  lbsextlem3  21162  lbsextlem4  21163  lindfrn  21841  f1lindf  21842  mxidlprm  33498  idlsrgmulrss1  33539  idlsrgmulrss2  33540  lindsunlem  33675  dimkerim  33678  lindsadd  37620  lssats  39013  lpssat  39014  lssatle  39016  lssat  39017  dvhdimlem  41446  dvh3dim3N  41451  mapdindp2  41723  lspindp5  41772
  Copyright terms: Public domain W3C validator