Theorem lspss 20445

Description: Span preserves subset ordering. (spanss 30290 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
2		sstr2 3951	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 4033	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 4930	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 3954	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		lspss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		lspss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	11, 12, 13	lspval 20436	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	lspval 20436	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 3991	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ∩ cint 4907  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433

This theorem is referenced by:  lspun  20448  lspssp  20449  lspprid1  20458  lbspss  20543  lspsolvlem  20603  lspsolv  20604  lsppratlem3  20610  lbsextlem2  20620  lbsextlem3  20621  lbsextlem4  20622  lindfrn  21227  f1lindf  21228  mxidlprm  32237  idlsrgmulrss1  32253  idlsrgmulrss2  32254  lindsunlem  32319  dimkerim  32322  lindsadd  36071  lssats  37474  lpssat  37475  lssatle  37477  lssat  37478  dvhdimlem  39907  dvh3dim3N  39912  mapdindp2  40184  lspindp5  40233