Theorem lspss 21005

Description: Span preserves subset ordering. (spanss 31380 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
2		sstr2 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 4099	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 4993	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑈)
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 4019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		lspss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13		lspss.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
14	11, 12, 13	lspval 20996	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	lspval 20996	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 4056	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝑇) ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993

This theorem is referenced by:  lspun  21008  lspssp  21009  lspprid1  21018  lbspss  21104  lspsolvlem  21167  lspsolv  21168  lsppratlem3  21174  lbsextlem2  21184  lbsextlem3  21185  lbsextlem4  21186  lindfrn  21864  f1lindf  21865  mxidlprm  33463  idlsrgmulrss1  33504  idlsrgmulrss2  33505  lindsunlem  33637  dimkerim  33640  lindsadd  37573  lssats  38968  lpssat  38969  lssatle  38971  lssat  38972  dvhdimlem  41401  dvh3dim3N  41406  mapdindp2  41678  lspindp5  41727