MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspss 19491
Description: Span preserves subset ordering. (spanss 28922 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspss
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1174 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇𝑈)
2 sstr2 3860 . . . . 5 (𝑇𝑈 → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
43ss2rabdv 3937 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
5 intss 4767 . . 3 ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
64, 5syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
7 simp1 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp3 1119 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
9 simp2 1118 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑈𝑉)
108, 9sstrd 3863 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑉)
11 lspss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2773 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 lspss.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1411, 12, 13lspval 19482 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
157, 10, 14syl2anc 576 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
1611, 12, 13lspval 19482 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
17163adant3 1113 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
186, 15, 173sstr4d 3899 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  {crab 3087  wss 3824   cint 4746  cfv 6186  Basecbs 16338  LModclmod 19369  LSubSpclss 19438  LSpanclspn 19478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-0g 16570  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-lsp 19479
This theorem is referenced by:  lspun  19494  lspssp  19495  lspprid1  19504  lbspss  19589  lspsolvlem  19649  lspsolv  19650  lsppratlem3  19656  lbsextlem2  19666  lbsextlem3  19667  lbsextlem4  19668  lindfrn  20683  f1lindf  20684  lindsunlem  30682  dimkerim  30685  lindsadd  34359  lssats  35626  lpssat  35627  lssatle  35629  lssat  35630  dvhdimlem  38058  dvh3dim3N  38063  mapdindp2  38335  lspindp5  38384
  Copyright terms: Public domain W3C validator