MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspss 20999
Description: Span preserves subset ordering. (spanss 31376 analog.) (Contributed by NM, 11-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspss
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑇𝑈)
2 sstr2 4001 . . . . 5 (𝑇𝑈 → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) ∧ 𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈𝑡𝑇𝑡))
43ss2rabdv 4085 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
5 intss 4973 . . 3 ({𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
64, 5syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
7 simp1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp3 1137 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑈)
9 simp2 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑈𝑉)
108, 9sstrd 4005 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → 𝑇𝑉)
11 lspss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
12 eqid 2734 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
13 lspss.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1411, 12, 13lspval 20990 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
157, 10, 14syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑇𝑡})
1611, 12, 13lspval 20990 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
17163adant3 1131 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
186, 15, 173sstr4d 4042 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉𝑇𝑈) → (𝑁𝑇) ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  wss 3962   cint 4950  cfv 6562  Basecbs 17244  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987
This theorem is referenced by:  lspun  21002  lspssp  21003  lspprid1  21012  lbspss  21098  lspsolvlem  21161  lspsolv  21162  lsppratlem3  21168  lbsextlem2  21178  lbsextlem3  21179  lbsextlem4  21180  lindfrn  21858  f1lindf  21859  mxidlprm  33477  idlsrgmulrss1  33518  idlsrgmulrss2  33519  lindsunlem  33651  dimkerim  33654  lindsadd  37599  lssats  38993  lpssat  38994  lssatle  38996  lssat  38997  dvhdimlem  41426  dvh3dim3N  41431  mapdindp2  41703  lspindp5  41752
  Copyright terms: Public domain W3C validator