MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mptscmfsupp0 20529
Description: A mapping to a scalar product is finitely supported if the mapping to the scalar is finitely supported. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsupp0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
mptscmfsupp0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
mptscmfsupp0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
mptscmfsupp0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.s ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
mptscmfsupp0.w ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
mptscmfsupp0.0 0 = (0gβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
mptscmfsupp0.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mptscmfsupp0.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
mptscmfsupp0 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem mptscmfsupp0
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptscmfsupp0.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
21mptexd 7222 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V)
3 funmpt 6583 . . 3 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)))
5 mptscmfsupp0.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
65fvexi 6902 . . 3 0 ∈ V
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
8 mptscmfsupp0.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 9365 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin)
10 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
11 mptscmfsupp0.s . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
1211ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
14 rspcsbela 4434 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
16 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)
1716fvmpts 6998 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1810, 15, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1918eqeq1d 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 ↔ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍))
20 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
21 mptscmfsupp0.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
22 mptscmfsupp0.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2423fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2521, 24eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2625oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
27 mptscmfsupp0.q . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
29 mptscmfsupp0.w . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
3029ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
32 rspcsbela 4434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
3310, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
34 mptscmfsupp0.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
36 mptscmfsupp0.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
3834, 35, 36, 37, 5lmod0vs 20497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
3928, 33, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4026, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4120, 40sylan9eqr 2794 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
42 csbov12g 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
44 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) ∈ V
4543, 44eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V)
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
4746fvmpts 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4810, 45, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4948, 43eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
5049eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5241, 51mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 )
5352ex 413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5419, 53sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5554necon3d 2961 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍))
5655ss2rabdv 4072 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 } βŠ† {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
57 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5857rgenw 3065 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5946fnmpt 6687 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
6058, 59mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
61 suppvalfn 8150 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6260, 1, 7, 61syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6316fnmpt 6687 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6412, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6521fvexi 6902 . . . . 5 𝑍 ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
67 suppvalfn 8150 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6864, 1, 66, 67syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6956, 62, 683sstr4d 4028 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))
70 suppssfifsupp 9374 . 2 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∧ 0 ∈ V) ∧ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
712, 4, 7, 9, 69, 70syl32anc 1378 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-supp 8143  df-1o 8462  df-en 8936  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  mptscmfsuppd  20530  gsumsmonply1  21818  pm2mpcl  22290  mply1topmatcllem  22296  mp2pm2mplem5  22303  pm2mpghmlem2  22305  chcoeffeqlem  22378  lbsdiflsp0  32699  fedgmullem2  32703
  Copyright terms: Public domain W3C validator