MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mptscmfsupp0 20682
Description: A mapping to a scalar product is finitely supported if the mapping to the scalar is finitely supported. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsupp0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
mptscmfsupp0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
mptscmfsupp0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
mptscmfsupp0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.s ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
mptscmfsupp0.w ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
mptscmfsupp0.0 0 = (0gβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
mptscmfsupp0.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mptscmfsupp0.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
mptscmfsupp0 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem mptscmfsupp0
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptscmfsupp0.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
21mptexd 7228 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V)
3 funmpt 6586 . . 3 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)))
5 mptscmfsupp0.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
65fvexi 6905 . . 3 0 ∈ V
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
8 mptscmfsupp0.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 9373 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin)
10 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
11 mptscmfsupp0.s . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
1211ralrimiva 3145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
14 rspcsbela 4435 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
1510, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
16 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)
1716fvmpts 7001 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1810, 15, 17syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1918eqeq1d 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 ↔ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍))
20 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
21 mptscmfsupp0.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
22 mptscmfsupp0.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2423fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2521, 24eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2625oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
27 mptscmfsupp0.q . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
29 mptscmfsupp0.w . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
3029ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
32 rspcsbela 4435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
3310, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
34 mptscmfsupp0.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
35 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
36 mptscmfsupp0.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
37 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
3834, 35, 36, 37, 5lmod0vs 20650 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
3928, 33, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4026, 39eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4120, 40sylan9eqr 2793 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
42 csbov12g 7456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
44 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) ∈ V
4543, 44eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V)
46 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
4746fvmpts 7001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4810, 45, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4948, 43eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
5049eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5150adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5241, 51mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 )
5352ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5419, 53sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5554necon3d 2960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍))
5655ss2rabdv 4073 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 } βŠ† {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
57 ovex 7445 . . . . . 6 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5857rgenw 3064 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5946fnmpt 6690 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
6058, 59mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
61 suppvalfn 8158 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6260, 1, 7, 61syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6316fnmpt 6690 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6412, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6521fvexi 6905 . . . . 5 𝑍 ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
67 suppvalfn 8158 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6864, 1, 66, 67syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6956, 62, 683sstr4d 4029 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))
70 suppssfifsupp 9382 . 2 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∧ 0 ∈ V) ∧ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
712, 4, 7, 9, 69, 70syl32anc 1377 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8150  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  LModclmod 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-supp 8151  df-1o 8470  df-en 8944  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-ring 20130  df-lmod 20617
This theorem is referenced by:  mptscmfsuppd  20683  gsumsmonply1  22048  pm2mpcl  22520  mply1topmatcllem  22526  mp2pm2mplem5  22533  pm2mpghmlem2  22535  chcoeffeqlem  22608  lbsdiflsp0  33000  fedgmullem2  33004
  Copyright terms: Public domain W3C validator