MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mptscmfsupp0 20681
Description: A mapping to a scalar product is finitely supported if the mapping to the scalar is finitely supported. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsupp0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
mptscmfsupp0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
mptscmfsupp0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
mptscmfsupp0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.s ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
mptscmfsupp0.w ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
mptscmfsupp0.0 0 = (0gβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
mptscmfsupp0.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mptscmfsupp0.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
mptscmfsupp0 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem mptscmfsupp0
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptscmfsupp0.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
21mptexd 7227 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V)
3 funmpt 6585 . . 3 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)))
5 mptscmfsupp0.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
65fvexi 6904 . . 3 0 ∈ V
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
8 mptscmfsupp0.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 9371 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin)
10 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
11 mptscmfsupp0.s . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
1211ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
14 rspcsbela 4434 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
1510, 13, 14syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
16 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)
1716fvmpts 7000 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1810, 15, 17syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1918eqeq1d 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 ↔ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍))
20 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
21 mptscmfsupp0.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
22 mptscmfsupp0.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2423fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2521, 24eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
27 mptscmfsupp0.q . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
2827adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
29 mptscmfsupp0.w . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
3029ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
32 rspcsbela 4434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
3310, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
34 mptscmfsupp0.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
35 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
36 mptscmfsupp0.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
37 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
3834, 35, 36, 37, 5lmod0vs 20649 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
3928, 33, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4026, 39eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4120, 40sylan9eqr 2792 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
42 csbov12g 7455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
44 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) ∈ V
4543, 44eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V)
46 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
4746fvmpts 7000 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4810, 45, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4948, 43eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
5049eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5150adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5241, 51mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 )
5352ex 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5419, 53sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5554necon3d 2959 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍))
5655ss2rabdv 4072 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 } βŠ† {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
57 ovex 7444 . . . . . 6 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5857rgenw 3063 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5946fnmpt 6689 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
6058, 59mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
61 suppvalfn 8156 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6260, 1, 7, 61syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6316fnmpt 6689 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6412, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6521fvexi 6904 . . . . 5 𝑍 ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
67 suppvalfn 8156 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6864, 1, 66, 67syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6956, 62, 683sstr4d 4028 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))
70 suppssfifsupp 9380 . 2 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∧ 0 ∈ V) ∧ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
712, 4, 7, 9, 69, 70syl32anc 1376 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472  β¦‹csb 3892   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-supp 8149  df-1o 8468  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ring 20129  df-lmod 20616
This theorem is referenced by:  mptscmfsuppd  20682  gsumsmonply1  22047  pm2mpcl  22519  mply1topmatcllem  22525  mp2pm2mplem5  22532  pm2mpghmlem2  22534  chcoeffeqlem  22607  lbsdiflsp0  32999  fedgmullem2  33003
  Copyright terms: Public domain W3C validator