MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptscmfsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mptscmfsupp0 20799
Description: A mapping to a scalar product is finitely supported if the mapping to the scalar is finitely supported. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptscmfsupp0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
mptscmfsupp0.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
mptscmfsupp0.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
mptscmfsupp0.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.s ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
mptscmfsupp0.w ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
mptscmfsupp0.0 0 = (0gβ€˜π‘„)
mptscmfsupp0.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
mptscmfsupp0.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mptscmfsupp0.f (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
mptscmfsupp0 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐾   πœ‘,π‘˜   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘˜)   𝑅(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   0 (π‘˜)   𝑍(π‘˜)
Proof of Theorem mptscmfsupp0
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mptscmfsupp0.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
21mptexd 7230 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V)
3 funmpt 6585 . . 3 Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)))
5 mptscmfsupp0.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘„)
65fvexi 6905 . . 3 0 ∈ V
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
8 mptscmfsupp0.f . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) finSupp 𝑍)
98fsuppimpd 9385 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin)
10 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
11 mptscmfsupp0.s . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
1211ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡)
14 rspcsbela 4431 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
1510, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡)
16 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)
1716fvmpts 7002 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1810, 15, 17syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘†)
1918eqeq1d 2729 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 ↔ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍))
20 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
21 mptscmfsupp0.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0gβ€˜π‘…)
22 mptscmfsupp0.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘„))
2423fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2521, 24eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑍 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
2625oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
27 mptscmfsupp0.q . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ LMod)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
29 mptscmfsupp0.w . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Š ∈ 𝐾)
3029ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾)
32 rspcsbela 4431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 π‘Š ∈ 𝐾) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
3310, 31, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾)
34 mptscmfsupp0.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Baseβ€˜π‘„)
35 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
36 mptscmfsupp0.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
37 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
3834, 35, 36, 37, 5lmod0vs 20767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š ∈ 𝐾) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
3928, 33, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4026, 39eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (𝑍 βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
4120, 40sylan9eqr 2789 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 )
42 csbov12g 7458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
44 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) ∈ V
4543, 44eqeltrdi 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V)
46 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))
4746fvmpts 7002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐷 ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4810, 45, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œ(𝑆 βˆ— π‘Š))
4948, 43eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š))
5049eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5150adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ↔ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† βˆ— ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘Š) = 0 ))
5241, 51mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ ⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 )
5352ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (⦋𝑑 / π‘˜β¦Œπ‘† = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5419, 53sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) = 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) = 0 ))
5554necon3d 2956 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍))
5655ss2rabdv 4069 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 } βŠ† {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
57 ovex 7447 . . . . . 6 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5857rgenw 3060 . . . . 5 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V
5946fnmpt 6689 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 (𝑆 βˆ— π‘Š) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
6058, 59mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷)
61 suppvalfn 8167 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6260, 1, 7, 61syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š))β€˜π‘‘) β‰  0 })
6316fnmpt 6689 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐷 𝑆 ∈ 𝐡 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6412, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷)
6521fvexi 6905 . . . . 5 𝑍 ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
67 suppvalfn 8167 . . . 4 (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6864, 1, 66, 67syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) = {𝑑 ∈ 𝐷 ∣ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆)β€˜π‘‘) β‰  𝑍})
6956, 62, 683sstr4d 4025 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))
70 suppssfifsupp 9395 . 2 ((((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) ∧ 0 ∈ V) ∧ (((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) supp 0 ) βŠ† ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ 𝑆) supp 𝑍))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
712, 4, 7, 9, 69, 70syl32anc 1376 1 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑆 βˆ— π‘Š)) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  β¦‹csb 3889   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412  LModclmod 20732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-supp 8160  df-1o 8480  df-en 8956  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-ring 20166  df-lmod 20734
This theorem is referenced by:  mptscmfsuppd  20800  gsumsmonply1  22213  pm2mpcl  22686  mply1topmatcllem  22692  mp2pm2mplem5  22699  pm2mpghmlem2  22701  chcoeffeqlem  22774  lbsdiflsp0  33256  fedgmullem2  33260
  Copyright terms: Public domain W3C validator