Theorem fldgenss 32268

Description: Generated subfields preserve subset ordering. ( see lspss 20544 and spanss 30464) (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
fldgenss.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenss	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ (𝐹 fldGen 𝑆))

Proof of Theorem fldgenss

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenss.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑆 ⊆ 𝑎)
4	2, 3	sstrd 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑇 ⊆ 𝑎)
5	4	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑎 → 𝑇 ⊆ 𝑎))
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝑆 ⊆ 𝑎 → 𝑇 ⊆ 𝑎))
7	6	ss2rabdv 4069	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ⊆ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
8		intss 4966	. . 3 ⊢ ({𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ⊆ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
10		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
12		fldgenval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	1, 12	sstrd 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
14	10, 11, 13	fldgenval 32264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
15	10, 11, 12	fldgenval 32264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
16	9, 14, 15	3sstr4d 4025	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ (𝐹 fldGen 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3431   ⊆ wss 3944  ∩ cint 4943  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  DivRingcdr 20265  SubDRingcsdrg 20351   fldGen cfldgen 32262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-sdrg 20352  df-fldgen 32263

This theorem is referenced by:  1fldgenq  32274