Theorem fldgenss 33811

Description: Generated subfields preserve subset ordering. ( see lspss 21220 and spanss 31883) (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldgenval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
fldgenval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
fldgenval.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
fldgenss.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fldgenss	⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ (𝐹 fldGen 𝑆))

Proof of Theorem fldgenss

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldgenss.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑆 ⊆ 𝑎)
4	2, 3	sstrd 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑎) → 𝑇 ⊆ 𝑎)
5	4	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊆ 𝑎 → 𝑇 ⊆ 𝑎))
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝑆 ⊆ 𝑎 → 𝑇 ⊆ 𝑎))
7	6	ss2rabdv 4022	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ⊆ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
8		intss 4928	. . 3 ⊢ ({𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎} ⊆ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎} ⊆ ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
10		fldgenval.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11		fldgenval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
12		fldgenval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	1, 12	sstrd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝐵)
14	10, 11, 13	fldgenval 33807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑎})
15	10, 11, 12	fldgenval 33807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑆) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝐹) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑎})
16	9, 14, 15	3sstr4d 3985	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 fldGen 𝑇) ⊆ (𝐹 fldGen 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4906  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  DivRingcdr 20941  SubDRingcsdrg 21004   fldGen cfldgen 33805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-subrg 20783  df-drng 20943  df-sdrg 21005  df-fldgen 33806

This theorem is used by:  1fldgenq  33817