MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmacl 21779
Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j (𝜑𝐽𝐻)
dsmmacl.k (𝜑𝐾𝐻)
dsmmacl.a + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmmacl (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2735 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 dsmmacl.a . . 3 + = (+g𝑃)
4 dsmmcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
5 dsmmcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 dsmmcl.r . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
7 dsmmacl.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐻)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
9 dsmmcl.h . . . . . 6 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
106ffnd 6738 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
111, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21777 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
127, 11mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1312simpld 494 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14 dsmmacl.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝐻)
151, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21777 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
1614, 15mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1716simpld 494 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17prdsplusgcl 18794 . 2 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
194adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑆𝑉)
205adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
2110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2213adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
2317adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
251, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24prdsplusgfval 17521 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)))
2625neeq1d 2998 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
2726rabbidva 3440 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2812simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
2916simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
30 unfi 9210 . . . . 5 (({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
32 neorian 3035 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
3332bicomi 224 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
3433con1bii 356 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
356ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → (𝑅𝑎) ∈ Mnd)
36 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑅𝑎)) = (Base‘(𝑅𝑎))
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))
3836, 37mndidcl 18775 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎)))
39 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (+g‘(𝑅𝑎)) = (+g‘(𝑅𝑎))
4036, 39, 37mndlid 18780 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎))) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
4135, 38, 40syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
42 oveq12 7440 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))))
4342eqeq1d 2737 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4441, 43syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4534, 44biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4645necon1ad 2955 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) → ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))))
4746ss2rabdv 4086 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))})
48 unrab 4321 . . . . 5 ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))}
4947, 48sseqtrrdi 4047 . . . 4 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}))
5031, 49ssfid 9299 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
5127, 50eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
521, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21777 . 2 (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
5318, 51, 52mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  cun 3961   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Xscprds 17492  Mndcmnd 18760  m cdsmm 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-dsmm 21770
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21781
  Copyright terms: Public domain W3C validator