MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmacl 21163
Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
dsmmcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
dsmmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
dsmmacl.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a + = (+gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
dsmmacl (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 dsmmacl.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ƒ)
4 dsmmcl.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
5 dsmmcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
6 dsmmcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
7 dsmmacl.j . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐻)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑆 βŠ•m 𝑅) = (𝑆 βŠ•m 𝑅)
9 dsmmcl.h . . . . . 6 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
106ffnd 6670 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
111, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)))
127, 11mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin))
1312simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
14 dsmmacl.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐻)
151, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)))
1614, 15mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin))
1716simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17prdsplusgcl 18592 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
194adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
205adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
2213adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2317adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
24 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
251, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24prdsplusgfval 17361 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((𝐽 + 𝐾)β€˜π‘Ž) = ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)))
2625neeq1d 3000 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (((𝐽 + 𝐾)β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ↔ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
2726rabbidva 3413 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} = {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))})
2812simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
2916simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
30 unfi 9119 . . . . 5 (({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin) β†’ ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βˆͺ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))}) ∈ Fin)
3128, 29, 30syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βˆͺ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))}) ∈ Fin)
32 neorian 3036 . . . . . . . . . 10 (((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ↔ Β¬ ((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
3332bicomi 223 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ↔ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
3433con1bii 357 . . . . . . . 8 (Β¬ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) ↔ ((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
356ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘Ž) ∈ Mnd)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))
3836, 37mndidcl 18576 . . . . . . . . . 10 ((π‘…β€˜π‘Ž) ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))
4036, 39, 37mndlid 18581 . . . . . . . . . 10 (((π‘…β€˜π‘Ž) ∈ Mnd ∧ (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
4135, 38, 40syl2anc2 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))
42 oveq12 7367 . . . . . . . . . 10 (((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) β†’ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) = ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
4342eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) β†’ (((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ↔ ((0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
4441, 43syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (((π½β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∧ (πΎβ€˜π‘Ž) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) β†’ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
4534, 44biimtrid 241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (Β¬ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))) β†’ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))))
4645necon1ad 2957 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐼) β†’ (((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) β†’ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))))
4746ss2rabdv 4034 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βŠ† {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))})
48 unrab 4266 . . . . 5 ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βˆͺ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))}) = {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)) ∨ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž)))}
4947, 48sseqtrrdi 3996 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βŠ† ({π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (π½β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} βˆͺ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ (πΎβ€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))}))
5031, 49ssfid 9214 . . 3 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((π½β€˜π‘Ž)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))(πΎβ€˜π‘Ž)) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
5127, 50eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)
521, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21161 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘Ž ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)β€˜π‘Ž) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘Ž))} ∈ Fin)))
5318, 51, 52mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406   βˆͺ cun 3909   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Xscprds 17332  Mndcmnd 18561   βŠ•m cdsmm 21153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-dsmm 21154
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21165
  Copyright terms: Public domain W3C validator