Theorem dsmmacl 21723

Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmmacl	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		dsmmacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		dsmmcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		dsmmcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		dsmmcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
7		dsmmacl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
9		dsmmcl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
10	6	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
12	7, 11	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
13	12	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14		dsmmacl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
15	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
16	14, 15	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
17	16	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17	prdsplusgcl 18734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
19	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
22	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
23	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	1, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24	prdsplusgfval 17435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)))
26	25	neeq1d 2994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
27	26	rabbidva 3398	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	12	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
29	16	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
30		unfi 9102	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
32		neorian 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
33	32	bicomi 225	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
34	33	con1bii 357	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
35	6	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑎) ∈ Mnd)
36		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑎)) = (Base‘(𝑅‘𝑎))
37		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))
38	36, 37	mndidcl 18715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎)))
39		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑎)) = (+g‘(𝑅‘𝑎))
40	36, 39, 37	mndlid 18720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎))) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
41	35, 38, 40	syl2anc2 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
42		oveq12 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))))
43	42	eqeq1d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
44	41, 43	syl5ibrcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
45	34, 44	biimtrid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
46	45	necon1ad 2952	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) → ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))))
47	46	ss2rabdv 4013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))})
48		unrab 4250	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))}
49	47, 48	sseqtrrdi 3963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}))
50	31, 49	ssfid 9176	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
51	27, 50	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
52	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21721	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
53	18, 51, 52	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  {crab 3392   ∪ cun 3888   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  X_scprds 17406  Mndcmnd 18700   ⊕_m cdsmm 21713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-dsmm 21714

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21725