MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmacl 21761
Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j (𝜑𝐽𝐻)
dsmmacl.k (𝜑𝐾𝐻)
dsmmacl.a + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmmacl (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 dsmmacl.a . . 3 + = (+g𝑃)
4 dsmmcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
5 dsmmcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 dsmmcl.r . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
7 dsmmacl.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐻)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
9 dsmmcl.h . . . . . 6 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
106ffnd 6737 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
111, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21759 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
127, 11mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1312simpld 494 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14 dsmmacl.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝐻)
151, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21759 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
1614, 15mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1716simpld 494 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17prdsplusgcl 18781 . 2 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
194adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑆𝑉)
205adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
2110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2213adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
2317adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
251, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24prdsplusgfval 17519 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)))
2625neeq1d 3000 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
2726rabbidva 3443 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2812simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
2916simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
30 unfi 9211 . . . . 5 (({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
32 neorian 3037 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
3332bicomi 224 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
3433con1bii 356 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
356ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → (𝑅𝑎) ∈ Mnd)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑅𝑎)) = (Base‘(𝑅𝑎))
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))
3836, 37mndidcl 18762 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎)))
39 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+g‘(𝑅𝑎)) = (+g‘(𝑅𝑎))
4036, 39, 37mndlid 18767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎))) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
4135, 38, 40syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
42 oveq12 7440 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))))
4342eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4441, 43syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4534, 44biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4645necon1ad 2957 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) → ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))))
4746ss2rabdv 4076 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))})
48 unrab 4315 . . . . 5 ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))}
4947, 48sseqtrrdi 4025 . . . 4 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}))
5031, 49ssfid 9301 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
5127, 50eqeltrd 2841 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
521, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 21759 . 2 (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
5318, 51, 52mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cun 3949   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Xscprds 17490  Mndcmnd 18747  m cdsmm 21751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-dsmm 21752
This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21763
  Copyright terms: Public domain W3C validator