Theorem dsmmacl 20520

Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmmacl	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		dsmmacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		dsmmcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		dsmmcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		dsmmcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
7		dsmmacl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
8		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
9		dsmmcl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
10	6	ffnd 6504	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 20518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
12	7, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
13	12	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14		dsmmacl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
15	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 20518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
16	14, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
17	16	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17	prdsplusgcl 18022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
19	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
22	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
23	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	1, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24	prdsplusgfval 16819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)))
26	25	neeq1d 3010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
27	26	rabbidva 3390	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	12	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
29	16	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
30		unfi 8754	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
32		neorian 3045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
33	32	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
34	33	con1bii 360	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
35	6	ffvelrnda 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑎) ∈ Mnd)
36		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑎)) = (Base‘(𝑅‘𝑎))
37		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))
38	36, 37	mndidcl 18006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎)))
39		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑎)) = (+g‘(𝑅‘𝑎))
40	36, 39, 37	mndlid 18011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎))) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
41	35, 38, 40	syl2anc2 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
42		oveq12 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))))
43	42	eqeq1d 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
44	41, 43	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
45	34, 44	syl5bi 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
46	45	necon1ad 2968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) → ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))))
47	46	ss2rabdv 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))})
48		unrab 4210	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))}
49	47, 48	sseqtrrdi 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}))
50	31, 49	ssfid 8791	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
51	27, 50	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
52	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 20518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
53	18, 51, 52	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074   ∪ cun 3858   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  0_gc0g 16785  X_scprds 16791  Mndcmnd 17991   ⊕_m cdsmm 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-prds 16793  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-dsmm 20511

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20522