Theorem dsmmacl 21960

Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmmacl	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		dsmmacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		dsmmcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		dsmmcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		dsmmcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
7		dsmmacl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
9		dsmmcl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
10	6	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
12	7, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
13	12	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14		dsmmacl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
15	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
16	14, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
17	16	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17	prdsplusgcl 18881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
19	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
22	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
23	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	1, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24	prdsplusgfval 17565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)))
26	25	neeq1d 3016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
27	26	rabbidva 3420	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	12	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
29	16	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
30		unfi 9169	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
32		neorian 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
33	32	bicomi 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
34	33	con1bii 359	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
35	6	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑎) ∈ Mnd)
36		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑎)) = (Base‘(𝑅‘𝑎))
37		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))
38	36, 37	mndidcl 18858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎)))
39		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑎)) = (+g‘(𝑅‘𝑎))
40	36, 39, 37	mndlid 18863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎))) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
41	35, 38, 40	syl2anc2 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
42		oveq12 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))))
43	42	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
44	41, 43	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
45	34, 44	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
46	45	necon1ad 2974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) → ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))))
47	46	ss2rabdv 4026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))})
48		unrab 4264	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))}
49	47, 48	sseqtrrdi 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}))
50	31, 49	ssfid 9243	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
51	27, 50	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
52	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21958	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
53	18, 51, 52	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414   ∪ cun 3900   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  X_scprds 17536  Mndcmnd 18842   ⊕_m cdsmm 21950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-dsmm 21951

This theorem is used by:  dsmmsubg  21962