Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmacl 20520
 Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmcl.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmcl.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmcl.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j (𝜑𝐽𝐻)
dsmmacl.k (𝜑𝐾𝐻)
dsmmacl.a + = (+g𝑃)
Assertion
Ref Expression
dsmmacl (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmcl.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 dsmmacl.a . . 3 + = (+g𝑃)
4 dsmmcl.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
5 dsmmcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
6 dsmmcl.r . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
7 dsmmacl.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐻)
8 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
9 dsmmcl.h . . . . . 6 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
106ffnd 6504 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
111, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 20518 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
127, 11mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1312simpld 498 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14 dsmmacl.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝐻)
151, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 20518 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
1614, 15mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1716simpld 498 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17prdsplusgcl 18022 . 2 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
194adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑆𝑉)
205adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼𝑊)
2110adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2213adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
2317adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
251, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24prdsplusgfval 16819 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)))
2625neeq1d 3010 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
2726rabbidva 3390 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2812simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
2916simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
30 unfi 8754 . . . . 5 (({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
3128, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) ∈ Fin)
32 neorian 3045 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
3332bicomi 227 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
3433con1bii 360 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) ↔ ((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))))
356ffvelrnda 6848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → (𝑅𝑎) ∈ Mnd)
36 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑅𝑎)) = (Base‘(𝑅𝑎))
37 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))
3836, 37mndidcl 18006 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎)))
39 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (+g‘(𝑅𝑎)) = (+g‘(𝑅𝑎))
4036, 39, 37mndlid 18011 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅𝑎))) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
4135, 38, 40syl2anc2 588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎)))
42 oveq12 7165 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))))
4342eqeq1d 2760 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅𝑎))(+g‘(𝑅𝑎))(0g‘(𝑅𝑎))) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4441, 43syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎)) ∧ (𝐾𝑎) = (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4534, 44syl5bi 245 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → (¬ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))) → ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) = (0g‘(𝑅𝑎))))
4645necon1ad 2968 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → (((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) → ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))))
4746ss2rabdv 3982 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))})
48 unrab 4210 . . . . 5 ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}) = {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ∨ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)))}
4947, 48sseqtrrdi 3945 . . . 4 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ⊆ ({𝑎𝐼 ∣ (𝐽𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∪ {𝑎𝐼 ∣ (𝐾𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))}))
5031, 49ssfid 8791 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽𝑎)(+g‘(𝑅𝑎))(𝐾𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
5127, 50eqeltrd 2852 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)
521, 8, 2, 9, 5, 10dsmmelbas 20518 . 2 (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
5318, 51, 52mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074   ∪ cun 3858   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Fincfn 8540  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  0gc0g 16785  Xscprds 16791  Mndcmnd 17991   ⊕m cdsmm 20510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-ip 16655  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-hom 16661  df-cco 16662  df-0g 16787  df-prds 16793  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-dsmm 20511 This theorem is referenced by:  dsmmsubg  20522
 Copyright terms: Public domain W3C validator