Theorem dsmmacl 21676

Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmmacl	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		dsmmacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		dsmmcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		dsmmcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		dsmmcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
7		dsmmacl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
9		dsmmcl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
10	6	ffnd 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
12	7, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
13	12	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14		dsmmacl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
15	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
16	14, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
17	16	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17	prdsplusgcl 18673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
19	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
22	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
23	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	1, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24	prdsplusgfval 17375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)))
26	25	neeq1d 2987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
27	26	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
29	16	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
30		unfi 9080	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
32		neorian 3023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
33	32	bicomi 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
34	33	con1bii 356	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
35	6	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑎) ∈ Mnd)
36		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑎)) = (Base‘(𝑅‘𝑎))
37		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))
38	36, 37	mndidcl 18654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎)))
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑎)) = (+g‘(𝑅‘𝑎))
40	36, 39, 37	mndlid 18659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎))) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
41	35, 38, 40	syl2anc2 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
42		oveq12 7355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))))
43	42	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
44	41, 43	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
45	34, 44	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
46	45	necon1ad 2945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) → ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))))
47	46	ss2rabdv 4026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))})
48		unrab 4265	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))}
49	47, 48	sseqtrrdi 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}))
50	31, 49	ssfid 9153	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
51	27, 50	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
52	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21674	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
53	18, 51, 52	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395   ∪ cun 3900   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  X_scprds 17346  Mndcmnd 18639   ⊕_m cdsmm 21666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-prds 17348  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-dsmm 21667

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21678