Theorem dsmmacl 21735

Description: The finite hull is closed under addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmcl.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
dsmmacl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
dsmmacl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
dsmmacl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
dsmmacl	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem dsmmacl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		dsmmacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
4		dsmmcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		dsmmcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		dsmmcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
7		dsmmacl.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐻)
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
9		dsmmcl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
10	6	ffnd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
11	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐻 ↔ (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
12	7, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
13	12	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
14		dsmmacl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐻)
15	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝐻 ↔ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
16	14, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin))
17	16	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 17	prdsplusgcl 18753	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃))
19	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
20	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
22	13	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ (Base‘𝑃))
23	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
24		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	1, 2, 19, 20, 21, 22, 23, 3, 24	prdsplusgfval 17484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) = ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)))
26	25	neeq1d 2990	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
27	26	rabbidva 3426	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))})
28	12	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
29	16	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
30		unfi 9202	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin) → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) ∈ Fin)
32		neorian 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
33	32	bicomi 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))))
34	33	con1bii 355	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) ↔ ((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
35	6	ffvelcdmda 7090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑎) ∈ Mnd)
36		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑎)) = (Base‘(𝑅‘𝑎))
37		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))
38	36, 37	mndidcl 18737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎)))
39		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑎)) = (+g‘(𝑅‘𝑎))
40	36, 39, 37	mndlid 18742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅‘𝑎) ∈ Mnd ∧ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑎))) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
41	35, 38, 40	syl2anc2 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎)))
42		oveq12 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))))
43	42	eqeq1d 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ↔ ((0g‘(𝑅‘𝑎))(+g‘(𝑅‘𝑎))(0g‘(𝑅‘𝑎))) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
44	41, 43	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∧ (𝐾‘𝑎) = (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
45	34, 44	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (¬ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))) → ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) = (0g‘(𝑅‘𝑎))))
46	45	necon1ad 2947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → (((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) → ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))))
47	46	ss2rabdv 4069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))})
48		unrab 4304	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}) = {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)) ∨ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎)))}
49	47, 48	sseqtrrdi 4030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ⊆ ({𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐽‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∪ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ (𝐾‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))}))
50	31, 49	ssfid 9294	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽‘𝑎)(+g‘(𝑅‘𝑎))(𝐾‘𝑎)) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
51	27, 50	eqeltrd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)
52	1, 8, 2, 9, 5, 10	dsmmelbas 21733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐽 + 𝐾) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑎 ∈ 𝐼 ∣ ((𝐽 + 𝐾)‘𝑎) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑎))} ∈ Fin)))
53	18, 51, 52	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {crab 3419   ∪ cun 3944   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  0_gc0g 17449  X_scprds 17455  Mndcmnd 18722   ⊕_m cdsmm 21725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-prds 17457  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-dsmm 21726

This theorem is referenced by:  dsmmsubg  21737