Theorem cusgrfilem1 27397

Description: Lemma 1 for cusgrfi 27400. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}

Assertion

Ref	Expression
cusgrfilem1	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrfi.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	cusgredg 27366	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		fveq2 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑎, 𝑁} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
6		hashprg 13848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑎 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
7	6	adantrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (𝑎 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
8	7	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑁 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
9	8	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
10	9	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2)
11	5, 10	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = 2)
12	11	an13s 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}))) → (♯‘𝑥) = 2)
13	12	rexlimdvaa 3195	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → (♯‘𝑥) = 2))
14	13	ss2rabdv 3965	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15		cusgrfi.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})})
17		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
18	16, 17	sseq12d 3910	. . . 4 ⊢ ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑁 ∧ 𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
19	14, 18	syl5ibr 249	. . 3 ⊢ ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
20	3, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
21	20	imp 410	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054  {crab 3057   ⊆ wss 3843  𝒫 cpw 4488  {cpr 4518  ‘cfv 6339  2c2 11771  ♯chash 13782  Vtxcvtx 26941  Edgcedg 26992  ComplUSGraphccusgr 27352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783  df-edg 26993  df-upgr 27027  df-umgr 27028  df-usgr 27096  df-nbgr 27275  df-uvtx 27328  df-cplgr 27353  df-cusgr 27354

This theorem is referenced by:  cusgrfi  27400