MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem1 29308
Description: Lemma 1 for cusgrfi 29311. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem1
StepHypRef Expression
1 cusgrfi.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2725 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2cusgredg 29276 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑎, 𝑁} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
54ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑎, 𝑁}))
6 hashprg 14381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑁𝑉) → (𝑎𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
76adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (𝑎𝑁 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
87biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑁 → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
109imp 405 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘{𝑎, 𝑁}) = 2)
115, 10eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (♯‘𝑥) = 2)
1211an13s 649 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}))) → (♯‘𝑥) = 2)
1312rexlimdvaa 3146 . . . . 5 ((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → (♯‘𝑥) = 2))
1413ss2rabdv 4066 . . . 4 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1615a1i 11 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})})
17 id 22 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
1816, 17sseq12d 4007 . . . 4 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1914, 18imbitrrid 245 . . 3 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
203, 19syl 17 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
2120imp 405 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wrex 3060  {crab 3419  wss 3941  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627  cfv 6543  2c2 12292  chash 14316  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  ComplUSGraphccusgr 29262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-edg 28900  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-usgr 29003  df-nbgr 29185  df-uvtx 29238  df-cplgr 29263  df-cusgr 29264
This theorem is referenced by:  cusgrfi  29311
  Copyright terms: Public domain W3C validator