Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omsmon 33328
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
oms.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omsmon.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
omsmon.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
omsmon (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Proof of Theorem omsmon
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
21adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
3 sstr2 3990 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧))
54anim1d 612 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ ((𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)))
65ss2rabdv 4074 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
7 resmpt 6038 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
9 resss 6007 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
108, 9eqsstrrdi 4038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
11 rnss 5939 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
13 oms.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
15 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† 𝒫 dom 𝑅
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
1715, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝑅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝑅)
2013fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
2219, 21sseqtrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑄)
23 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
2422, 23sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑄)
2514, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
2625ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
27 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
28 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦π‘₯
2928esumcl 33059 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3027, 29mpan 689 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3231ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
33 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
3433rnmptss 7122 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
3532, 34syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
3612, 35xrge0infssd 32005 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) ≀ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
37 oms.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
38 omsmon.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄)
391, 38sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
40 omsfval 33324 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4137, 13, 39, 40syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
42 omsfval 33324 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4337, 13, 38, 42syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4436, 41, 433brtr4d 5181 . 2 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) ≀ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅))
45 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
4645fveq1i 6893 . 2 (π‘€β€˜π΄) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄)
4745fveq1i 6893 . 2 (π‘€β€˜π΅) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅)
4844, 46, 473brtr4g 5183 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  infcinf 9436  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249  [,]cicc 13327  Ξ£*cesum 33056  toOMeascoms 33321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-esum 33057  df-oms 33322
This theorem is referenced by:  omsmeas  33353
  Copyright terms: Public domain W3C validator