Theorem omsmon 34555

Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
omsmon.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
omsmon	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem omsmon

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmon.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sstr2 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
5	4	anim1d 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)))
6	5	ss2rabdv 4026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
7		resmpt 6021	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
9		resss 5983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
10	8, 9	eqsstrrdi 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
11		rnss 5911	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
13		oms.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
14	13	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
17	15, 16	sselid 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18		elpwi 4559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
20	13	fdmd 6696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
21	20	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
22	19, 21	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
23		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
24	22, 23	sseldd 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
25	14, 24	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26	25	ralrimiva 3153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
27		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
29	28	esumcl 34287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
30	27, 29	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
32	31	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
33		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
34	33	rnmptss 7098	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
35	32, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
36	12, 35	xrge0infssd 32923	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
37		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
38		omsmon.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)
39	1, 38	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
40		omsfval 34551	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
41	37, 13, 39, 40	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
42		omsfval 34551	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
43	37, 13, 38, 42	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
44	36, 41, 43	3brtr4d 5129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
45		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
46	45	fveq1i 6862	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
47	45	fveq1i 6862	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
48	44, 46, 47	3brtr4g 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  ran crn 5644   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ωcom 7840   ≼ cdom 8918  infcinf 9380  0cc0 11066  +∞cpnf 11206   < clt 11209   ≤ cle 11210  [,]cicc 13345  Σ^*cesum 34284  toOMeascoms 34548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-xadd 13108  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-ordt 17521  df-xrs 17522  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-ps 18588  df-tsr 18589  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-ntr 23067  df-nei 23145  df-cn 23274  df-haus 23362  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-tsms 24174  df-esum 34285  df-oms 34549

This theorem is referenced by:  omsmeas  34580