Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem omsmon 33593
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
oms.o (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
omsmon.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
omsmon.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
omsmon (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Proof of Theorem omsmon
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
21adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
3 sstr2 3990 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧))
54anim1d 609 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) β†’ ((𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)))
65ss2rabdv 4074 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
7 resmpt 6038 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
9 resss 6007 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†Ύ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
108, 9eqsstrrdi 4038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
11 rnss 5939 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)))
13 oms.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
1413ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞))
15 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} βŠ† 𝒫 dom 𝑅
16 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)})
1715, 16sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝒫 dom 𝑅 β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝑅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝑅)
2013fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
2120ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ dom 𝑅 = 𝑄)
2219, 21sseqtrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑄)
23 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
2422, 23sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝑄)
2514, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
2625ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
27 vex 3476 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
28 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦π‘₯
2928esumcl 33324 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3027, 29mpan 686 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
3231ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
33 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦))
3433rnmptss 7125 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)}Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞) β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
3532, 34syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)) βŠ† (0[,]+∞))
3612, 35xrge0infssd 32239 . . 3 (πœ‘ β†’ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ) ≀ inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
37 oms.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑉)
38 omsmon.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄)
391, 38sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄)
40 omsfval 33589 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4137, 13, 39, 40syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
42 omsfval 33589 . . . 4 ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:π‘„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑄) β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4337, 13, 38, 42syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅) = inf(ran (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐡 βŠ† βˆͺ 𝑧 ∧ 𝑧 β‰Ό Ο‰)} ↦ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘…β€˜π‘¦)), (0[,]+∞), < ))
4436, 41, 433brtr4d 5181 . 2 (πœ‘ β†’ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄) ≀ ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅))
45 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeasβ€˜π‘…)
4645fveq1i 6893 . 2 (π‘€β€˜π΄) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΄)
4745fveq1i 6893 . 2 (π‘€β€˜π΅) = ((toOMeasβ€˜π‘…)β€˜π΅)
4844, 46, 473brtr4g 5183 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) ≀ (π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Ο‰com 7859   β‰Ό cdom 8941  infcinf 9440  0cc0 11114  +∞cpnf 11251   < clt 11254   ≀ cle 11255  [,]cicc 13333  Ξ£*cesum 33321  toOMeascoms 33586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-ordt 17453  df-xrs 17454  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-ntr 22746  df-nei 22824  df-cn 22953  df-haus 23041  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-tsms 23853  df-esum 33322  df-oms 33587
This theorem is referenced by:  omsmeas  33618
  Copyright terms: Public domain W3C validator