Theorem omsmon 32265

Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
omsmon.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
omsmon	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem omsmon

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmon.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sstr2 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
5	4	anim1d 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)))
6	5	ss2rabdv 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
7		resmpt 5945	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
9		resss 5916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
10	8, 9	eqsstrrdi 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
11		rnss 5848	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
13		oms.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
14	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
17	15, 16	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18		elpwi 4542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
20	13	fdmd 6611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
21	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
22	19, 21	sseqtrd 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
23		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
24	22, 23	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
25	14, 24	ffvelrnd 6962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26	25	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
27		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
29	28	esumcl 31998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
30	27, 29	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
31	26, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
32	31	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
33		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
34	33	rnmptss 6996	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
35	32, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
36	12, 35	xrge0infssd 31084	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
37		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
38		omsmon.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)
39	1, 38	sstrd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
40		omsfval 32261	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
41	37, 13, 39, 40	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
42		omsfval 32261	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
43	37, 13, 38, 42	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
44	36, 41, 43	3brtr4d 5106	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
45		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
46	45	fveq1i 6775	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
47	45	fveq1i 6775	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
48	44, 46, 47	3brtr4g 5108	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712   ≼ cdom 8731  infcinf 9200  0cc0 10871  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  Σ^*cesum 31995  toOMeascoms 32258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-ordt 17212  df-xrs 17213  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-ntr 22171  df-nei 22249  df-cn 22378  df-haus 22466  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tsms 23278  df-esum 31996  df-oms 32259

This theorem is referenced by:  omsmeas  32290