Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsmon 31666
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a (𝜑𝐴𝐵)
omsmon.b (𝜑𝐵 𝑄)
Assertion
Ref Expression
omsmon (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
21adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴𝐵)
3 sstr2 3922 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 𝑧𝐴 𝑧))
54anim1d 613 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω) → (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)))
65ss2rabdv 4003 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7 resmpt 5872 . . . . . . 7 ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
9 resss 5843 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
108, 9eqsstrrdi 3970 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
11 rnss 5773 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
13 oms.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15 ssrab2 4007 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)})
1715, 16sseldi 3913 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 elpwi 4506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅𝑥 ⊆ dom 𝑅)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
2013fdmd 6497 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
2219, 21sseqtrd 3955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
23 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2422, 23sseldd 3916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
2514, 24ffvelrnd 6829 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2625ralrimiva 3149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
27 vex 3444 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
28 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑦𝑥
2928esumcl 31399 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3027, 29mpan 689 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3126, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
3231ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
33 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
3433rnmptss 6863 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3532, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
3612, 35xrge0infssd 30511 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
37 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
38 omsmon.b . . . . 5 (𝜑𝐵 𝑄)
391, 38sstrd 3925 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑄)
40 omsfval 31662 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4137, 13, 39, 40syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
42 omsfval 31662 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4337, 13, 38, 42syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
4436, 41, 433brtr4d 5062 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
45 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
4645fveq1i 6646 . 2 (𝑀𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
4745fveq1i 6646 . 2 (𝑀𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
4844, 46, 473brtr4g 5064 1 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≤ (𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  wss 3881  𝒫 cpw 4497   cuni 4800   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520  cres 5521  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  cdom 8490  infcinf 8889  0cc0 10526  +∞cpnf 10661   < clt 10664  cle 10665  [,]cicc 12729  Σ*cesum 31396  toOMeascoms 31659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-nei 21703  df-cn 21832  df-haus 21920  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tsms 22732  df-esum 31397  df-oms 31660
This theorem is referenced by:  omsmeas  31691
  Copyright terms: Public domain W3C validator