Theorem omsmon 34712

Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
omsmon.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
omsmon.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
omsmon	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem omsmon

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmon.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sstr2 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑧))
5	4	anim1d 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω) → (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)))
6	5	ss2rabdv 4030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
7		resmpt 6041	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
9		resss 6002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ↾ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
10	8, 9	eqsstrrdi 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
11		rnss 5931	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)))
13		oms.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
15		ssrab2 4035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
16		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)})
17	15, 16	sselid 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18		elpwi 4571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅 → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ dom 𝑅)
20	13	fdmd 6720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑅 = 𝑄)
22	19, 21	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑄)
23		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
24	22, 23	sseldd 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑄)
25	14, 24	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
26	25	ralrimiva 3159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
27		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
28		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑥
29	28	esumcl 34443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
30	27, 29	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
31	26, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}) → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
32	31	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
33		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦))
34	33	rnmptss 7122	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)}Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦) ∈ (0[,]+∞) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
35	32, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
36	12, 35	xrge0infssd 33135	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ) ≤ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
37		oms.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉)
38		omsmon.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄)
39	1, 38	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄)
40		omsfval 34708	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
41	37, 13, 39, 40	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
42		omsfval 34708	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
43	37, 13, 38, 42	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑧 ∧ 𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑅‘𝑦)), (0[,]+∞), < ))
44	36, 41, 43	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴) ≤ ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵))
45		oms.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
46	45	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐴) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐴)
47	45	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝑀‘𝐵) = ((toOMeas‘𝑅)‘𝐵)
48	44, 46, 47	3brtr4g 5147	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≤ (𝑀‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ωcom 7864   ≼ cdom 8943  infcinf 9404  0cc0 11111  +∞cpnf 11251   < clt 11254   ≤ cle 11255  [,]cicc 13386  Σ^*cesum 34440  toOMeascoms 34705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-xadd 13149  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-ordt 17572  df-xrs 17573  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-ps 18639  df-tsr 18640  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-ntr 23206  df-nei 23284  df-cn 23413  df-haus 23501  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-tsms 24313  df-esum 34441  df-oms 34706

This theorem is used by:  omsmeas  34737