Theorem spanss 31284

Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss	⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	ss2rabdv 4042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intss 4936	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
7		sstr 3958	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
9		spanval 31269	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
11		spanval 31269	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
13	6, 10, 12	3sstr4d 4005	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514   ℋchba 30855   S_ℋ csh 30864  spancspn 30868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-map 8804  df-nn 12194  df-hlim 30908  df-sh 31143  df-ch 31157  df-span 31245

This theorem is referenced by:  spanssoc  31285  span0  31478  spanuni  31480  spansnpji  31514  shatomistici  32297