Theorem spanss 31442

Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss	⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	ss2rabdv 4029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intss 4926	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
7		sstr 3944	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
9		spanval 31427	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
11		spanval 31427	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
13	6, 10, 12	3sstr4d 3991	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∩ cint 4904  ‘cfv 6502   ℋchba 31013   S_ℋ csh 31022  spancspn 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-1cn 11098  ax-addcl 11100  ax-hilex 31093  ax-hfvadd 31094  ax-hv0cl 31097  ax-hfvmul 31099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-map 8779  df-nn 12160  df-hlim 31066  df-sh 31301  df-ch 31315  df-span 31403

This theorem is referenced by:  spanssoc  31443  span0  31636  spanuni  31638  spansnpji  31672  shatomistici  32455