Theorem spanss 31553

Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss	⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	ss2rabdv 4030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intss 4929	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
6	5	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
7		sstr 3946	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
8	7	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
9		spanval 31538	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
11		spanval 31538	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
12	11	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
13	6, 10, 12	3sstr4d 3993	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ∩ cint 4907  ‘cfv 6523   ℋchba 31124   S_ℋ csh 31133  spancspn 31137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135  ax-hilex 31204  ax-hfvadd 31205  ax-hv0cl 31208  ax-hfvmul 31210

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-map 8812  df-nn 12213  df-hlim 31177  df-sh 31412  df-ch 31426  df-span 31514

This theorem is referenced by:  spanssoc  31554  span0  31747  spanuni  31749  spansnpji  31783  shatomistici  32566