Theorem spanss 31281

Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss	⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3986	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
2	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ⊆ 𝑥))
3	2	ss2rabdv 4072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
4		intss 4977	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
6	5	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥} ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
7		sstr 3988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
8	7	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
9		spanval 31266	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
11		spanval 31266	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
12	11	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐵 ⊆ 𝑥})
13	6, 10, 12	3sstr4d 4027	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419   ⊆ wss 3947  ∩ cint 4954  ‘cfv 6554   ℋchba 30852   S_ℋ csh 30861  spancspn 30865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-1cn 11216  ax-addcl 11218  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hv0cl 30936  ax-hfvmul 30938

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-map 8857  df-nn 12265  df-hlim 30905  df-sh 31140  df-ch 31154  df-span 31242

This theorem is referenced by:  spanssoc  31282  span0  31475  spanuni  31477  spansnpji  31511  shatomistici  32294