Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanss 28921
 Description: Ordering relationship for the spans of subsets of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanss ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))

Proof of Theorem spanss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3858 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐵𝑥𝐴𝑥))
21ralrimivw 3126 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ∀𝑥S (𝐵𝑥𝐴𝑥))
3 ss2rab 3930 . . . . 5 ({𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥} ↔ ∀𝑥S (𝐵𝑥𝐴𝑥))
42, 3sylibr 226 . . . 4 (𝐴𝐵 → {𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥})
5 intss 4766 . . . 4 ({𝑥S𝐵𝑥} ⊆ {𝑥S𝐴𝑥} → {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴𝐵 {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
76adantl 474 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → {𝑥S𝐴𝑥} ⊆ {𝑥S𝐵𝑥})
8 sstr 3859 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℋ) → 𝐴 ⊆ ℋ)
98ancoms 451 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
10 spanval 28906 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
119, 10syl 17 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
12 spanval 28906 . . 3 (𝐵 ⊆ ℋ → (span‘𝐵) = {𝑥S𝐵𝑥})
1312adantr 473 . 2 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐵) = {𝑥S𝐵𝑥})
147, 11, 133sstr4d 3897 1 ((𝐵 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐵) → (span‘𝐴) ⊆ (span‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508  ∀wral 3081  {crab 3085   ⊆ wss 3822  ∩ cint 4745  ‘cfv 6185   ℋchba 28490   Sℋ csh 28499  spancspn 28503 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-1cn 10391  ax-addcl 10393  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hv0cl 28574  ax-hfvmul 28576 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-map 8206  df-nn 11438  df-hlim 28543  df-sh 28778  df-ch 28792  df-span 28882 This theorem is referenced by:  spanssoc  28922  span0  29115  spanuni  29117  spansnpji  29151  shatomistici  29934
 Copyright terms: Public domain W3C validator