MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2lem 24511
Description: Lemma for metss2 24512. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
4 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
5 metcl 24329 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 13070 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 13118 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1312anassrs 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlrr 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17 metcl 24329 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 13070 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 11294 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 11354 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 693 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 259 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 4072 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 24331 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
271, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2827adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥𝑋)
30 simpr 483 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 13053 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 595 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 13071 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 24383 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 24331 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3715, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3837adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39 rpxr 13037 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 727 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 24383 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 4027 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3419  wss 3947   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157   · cmul 11163  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299   / cdiv 11921  +crp 13028  ∞Metcxmet 21328  Metcmet 21329  ballcbl 21330  MetOpencmopn 21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338
This theorem is referenced by:  metss2  24512  equivcfil  25318  equivcau  25319  equivtotbnd  37479
  Copyright terms: Public domain W3C validator