MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2lem 23883
Description: Lemma for metss2 23884. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
metss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 simplrl 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 metcl 23701 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 12964 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 13012 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1312anassrs 469 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1413adantlrr 720 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 metcl 23701 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 12964 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 11192 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 11252 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 694 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 260 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 4038 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 23703 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
271, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2827adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
29 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
30 simpr 486 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 12947 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 598 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 12965 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 23755 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 23703 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3715, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3837adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
39 rpxr 12931 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 728 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 23755 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 3996 1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807
This theorem is referenced by:  metss2  23884  equivcfil  24679  equivcau  24680  equivtotbnd  36266
  Copyright terms: Public domain W3C validator