MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2lem 24375
Description: Lemma for metss2 24376. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
metss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 simplrl 774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 metcl 24193 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 13022 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 13070 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1312anassrs 467 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1413adantlrr 718 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 metcl 24193 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 13022 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 11248 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 11308 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 692 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 260 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 4068 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 24195 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
271, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2827adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
29 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
30 simpr 484 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 13005 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 13023 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 24247 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 24195 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3715, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3837adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
39 rpxr 12989 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 726 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 24247 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 4024 1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  metss2  24376  equivcfil  25182  equivcau  25183  equivtotbnd  37159
  Copyright terms: Public domain W3C validator