MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2lem 23867
Description: Lemma for metss2 23868. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
4 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
5 metcl 23685 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 12957 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 13005 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1312anassrs 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlrr 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
17 metcl 23685 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 12957 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 11185 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 11245 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 693 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)) < 𝑆 → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 259 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) → (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 4033 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 23687 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
271, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2827adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29 simprl 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑥𝑋)
30 simpr 485 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 12940 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 597 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 12958 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 23739 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1371 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 23687 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3715, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3837adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
39 rpxr 12924 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 727 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 23739 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1371 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑦𝑋 ∣ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 3991 1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑆 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑆 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791
This theorem is referenced by:  metss2  23868  equivcfil  24663  equivcau  24664  equivtotbnd  36237
  Copyright terms: Public domain W3C validator