MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2lem 24438
Description: Lemma for metss2 24439. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
metss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2lem ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)

Proof of Theorem metss2lem
StepHypRef Expression
1 metss2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 simplrl 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 metcl 24256 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
7 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
87rpred 13048 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
9 metss2.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
116, 8, 10ltmuldiv2d 13096 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 ↔ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)))
12 metss2.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1312anassrs 466 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
1413adantlrr 719 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
15 metss2.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
17 metcl 24256 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1816, 3, 4, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ)
1910rpred 13048 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2019, 6remulcld 11274 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
21 lelttr 11334 . . . . . 6 (((π‘₯𝐢𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2218, 20, 8, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ∧ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2314, 22mpand 693 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) < 𝑆 β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2411, 23sylbird 259 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆))
2524ss2rabdv 4065 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)} βŠ† {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
26 metxmet 24258 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
271, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2827adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
29 simprl 769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
30 simpr 483 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 13031 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3230, 9, 31syl2anr 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ+)
3332rpxrd 13049 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*)
34 blval 24310 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑆 / 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
3528, 29, 33, 34syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐷𝑦) < (𝑆 / 𝑅)})
36 metxmet 24258 . . . . 5 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3715, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3837adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
39 rpxr 13015 . . . 4 (𝑆 ∈ ℝ+ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
4039ad2antll 727 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
41 blval 24310 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4238, 29, 40, 41syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝐢𝑦) < 𝑆})
4325, 35, 423sstr4d 4020 1 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(𝑆 / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   / cdiv 11901  β„+crp 13006  βˆžMetcxmet 21268  Metcmet 21269  ballcbl 21270  MetOpencmopn 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278
This theorem is referenced by:  metss2  24439  equivcfil  25245  equivcau  25246  equivtotbnd  37308
  Copyright terms: Public domain W3C validator