Theorem dsmmsubg 21708

Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
dsmmsubg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾s 𝐻) = (𝑃 ↾s 𝐻))
2		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃))
3		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
4		dsmmsubg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		dsmmsubg.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6	4, 5	fexd 7224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin}
8	7	dsmmbase 21700	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
10		ssrab2 4060	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
11	9, 10	eqsstrrdi 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12		dsmmsubg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
13		dsmmsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
14	13	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
15	11, 12, 14	3sstr4g 4017	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16		dsmmsubg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
17		grpmnd 18928	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
18	17	ssriv 3967	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
19		fss 6727	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
20	4, 18, 19	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	13, 12, 5, 16, 20, 21	dsmm0cl 21705	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐻)
23	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
24	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑆 ∈ 𝑉)
25	20	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
27		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
28		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
29	13, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28	dsmmacl 21706	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑎(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
30	13, 5, 16, 4	prdsgrpd 19038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
32	15	sselda 3963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
35	33, 34	grpinvcl 18975	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
36	31, 32, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
38		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
39	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
40	4	ffnd 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
42	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21704	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
43	37, 42	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin))
44	43	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
45	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
46	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
47	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
48	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ 𝐼)
50	13, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49	prdsinvgd2 21707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
51	50	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
52		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
53	52	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
54	4	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑏)) = (0g‘(𝑅‘𝑏))
57		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑏)) = (invg‘(𝑅‘𝑏))
58	56, 57	grpinvid 18987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
60	59	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
61	51, 53, 60	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
62	61	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏))))
63	62	necon3d 2954	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))))
64	63	ss2rabdv 4056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))})
65	44, 64	ssfid 9278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
66	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21704	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
67	36, 65, 66	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
68	1, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30	issubgrpd2 19130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  dom cdm 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  X_scprds 17464  Mndcmnd 18717  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  SubGrpcsubg 19108   ⊕_m cdsmm 21696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-dsmm 21697

This theorem is referenced by:  dsmmlss  21709