Theorem dsmmsubg 20457

Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
dsmmsubg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾s 𝐻) = (𝑃 ↾s 𝐻))
2		eqidd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃))
3		eqidd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
4		dsmmsubg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		dsmmsubg.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		fex 6750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin}
9	8	dsmmbase 20449	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
11		ssrab2 3914	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
12	10, 11	syl6eqssr 3881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13		dsmmsubg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
14		dsmmsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
15	14	fveq2i 6440	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
16	12, 13, 15	3sstr4g 3871	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
17		dsmmsubg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
18		grpmnd 17790	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
19	18	ssriv 3831	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
20		fss 6295	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
21	4, 19, 20	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
22		eqid 2825	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
23	14, 13, 5, 17, 21, 22	dsmm0cl 20454	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐻)
24	5	3ad2ant1 1167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
25	17	3ad2ant1 1167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑆 ∈ 𝑉)
26	21	3ad2ant1 1167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
27		simp2 1171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
28		simp3 1172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
29		eqid 2825	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
30	14, 13, 24, 25, 26, 27, 28, 29	dsmmacl 20455	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑎(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
31	14, 5, 17, 4	prdsgrpd 17886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	31	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
33	16	sselda 3827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
34		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
35		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
36	34, 35	grpinvcl 17828	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37	32, 33, 36	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
38		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
39		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
40	5	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
41	4	ffnd 6283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
42	41	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
43	14, 39, 34, 13, 40, 42	dsmmelbas 20453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
44	38, 43	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin))
45	44	simprd 491	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
46	5	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
47	17	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
48	4	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
49	33	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
50		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ 𝐼)
51	14, 46, 47, 48, 34, 35, 49, 50	prdsinvgd2 20456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
52	51	adantrr 708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
53		fveq2 6437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
54	53	ad2antll 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
55	4	ffvelrnda 6613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
56	55	adantlr 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
57		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑏)) = (0g‘(𝑅‘𝑏))
58		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑏)) = (invg‘(𝑅‘𝑏))
59	57, 58	grpinvid 17837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
61	60	adantrr 708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
62	52, 54, 61	3eqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
63	62	expr 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏))))
64	63	necon3d 3020	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))))
65	64	ss2rabdv 3910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))})
66		ssfi 8455	. . . 4 ⊢ (({𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))}) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
67	45, 65, 66	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
68	14, 39, 34, 13, 40, 42	dsmmelbas 20453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
69	37, 67, 68	mpbir2and 704	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
70	1, 2, 3, 16, 23, 30, 69, 31	issubgrpd2 17968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  dom cdm 5346   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  +_gcplusg 16312  0_gc0g 16460  X_scprds 16466  Mndcmnd 17654  Grpcgrp 17783  inv_gcminusg 17784  SubGrpcsubg 17946   ⊕_m cdsmm 20445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-subg 17949  df-dsmm 20446

This theorem is referenced by:  dsmmlss  20458