MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmsubg 21149
Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmsubg.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmsubg.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (𝑃s 𝐻) = (𝑃s 𝐻))
2 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) = (0g𝑃))
3 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (+g𝑃) = (+g𝑃))
4 dsmmsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
5 dsmmsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
64, 5fexd 7177 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 eqid 2736 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin}
87dsmmbase 21141 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
10 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
119, 10eqsstrrdi 3999 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12 dsmmsubg.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
13 dsmmsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
1413fveq2i 6845 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1511, 12, 143sstr4g 3989 . 2 (𝜑𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16 dsmmsubg.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
17 grpmnd 18755 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1817ssriv 3948 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
19 fss 6685 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
204, 18, 19sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
21 eqid 2736 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2213, 12, 5, 16, 20, 21dsmm0cl 21146 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐻)
2353ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝐼𝑊)
24163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑆𝑉)
25203ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26 simp2 1137 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑎𝐻)
27 simp3 1138 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
28 eqid 2736 . . 3 (+g𝑃) = (+g𝑃)
2913, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28dsmmacl 21147 . 2 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎(+g𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
3013, 5, 16, 4prdsgrpd 18857 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
3215sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
3533, 34grpinvcl 18798 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
3631, 32, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐻)
38 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
395adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑊)
404ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
4213, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21145 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
4337, 42mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin))
4443simprd 496 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
455ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
4616ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑆𝑉)
474ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
4832adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏𝐼)
5013, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49prdsinvgd2 21148 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
5150adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
52 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
5352ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
544ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
5554adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑏)) = (0g‘(𝑅𝑏))
57 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (invg‘(𝑅𝑏)) = (invg‘(𝑅𝑏))
5856, 57grpinvid 18808 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6059adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6151, 53, 603eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6261expr 457 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏))))
6362necon3d 2964 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏)) → (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))))
6463ss2rabdv 4033 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))})
6544, 64ssfid 9211 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6613, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21145 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
6736, 65, 66mpbir2and 711 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
681, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30issubgrpd2 18944 1 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Xscprds 17327  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922  m cdsmm 21137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-dsmm 21138
This theorem is referenced by:  dsmmlss  21150
  Copyright terms: Public domain W3C validator