Theorem dsmmsubg 21149

Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
dsmmsubg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾s 𝐻) = (𝑃 ↾s 𝐻))
2		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃))
3		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
4		dsmmsubg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		dsmmsubg.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6	4, 5	fexd 7177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin}
8	7	dsmmbase 21141	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
10		ssrab2 4037	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
11	9, 10	eqsstrrdi 3999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12		dsmmsubg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
13		dsmmsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
14	13	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
15	11, 12, 14	3sstr4g 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16		dsmmsubg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
17		grpmnd 18755	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
18	17	ssriv 3948	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
19		fss 6685	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
20	4, 18, 19	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	13, 12, 5, 16, 20, 21	dsmm0cl 21146	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐻)
23	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
24	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑆 ∈ 𝑉)
25	20	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
27		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
28		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
29	13, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28	dsmmacl 21147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑎(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
30	13, 5, 16, 4	prdsgrpd 18857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
32	15	sselda 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
35	33, 34	grpinvcl 18798	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
36	31, 32, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
38		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
39	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
40	4	ffnd 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
42	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
43	37, 42	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin))
44	43	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
45	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
46	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
47	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
48	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ 𝐼)
50	13, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49	prdsinvgd2 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
51	50	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
52		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
53	52	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
54	4	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
55	54	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑏)) = (0g‘(𝑅‘𝑏))
57		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑏)) = (invg‘(𝑅‘𝑏))
58	56, 57	grpinvid 18808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
60	59	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
61	51, 53, 60	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
62	61	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏))))
63	62	necon3d 2964	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))))
64	63	ss2rabdv 4033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))})
65	44, 64	ssfid 9211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
66	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
67	36, 65, 66	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
68	1, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30	issubgrpd2 18944	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321  X_scprds 17327  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922   ⊕_m cdsmm 21137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-dsmm 21138

This theorem is referenced by:  dsmmlss  21150