Theorem dsmmsubg 21517

Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
dsmmsubg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾s 𝐻) = (𝑃 ↾s 𝐻))
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃))
3		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
4		dsmmsubg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		dsmmsubg.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6	4, 5	fexd 7230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin}
8	7	dsmmbase 21509	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
10		ssrab2 4076	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
11	9, 10	eqsstrrdi 4036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12		dsmmsubg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
13		dsmmsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
14	13	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
15	11, 12, 14	3sstr4g 4026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16		dsmmsubg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
17		grpmnd 18862	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
18	17	ssriv 3985	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
19		fss 6733	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
20	4, 18, 19	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
21		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	13, 12, 5, 16, 20, 21	dsmm0cl 21514	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐻)
23	5	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
24	16	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑆 ∈ 𝑉)
25	20	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
27		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
28		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
29	13, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28	dsmmacl 21515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑎(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
30	13, 5, 16, 4	prdsgrpd 18969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
31	30	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
32	15	sselda 3981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
35	33, 34	grpinvcl 18908	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
36	31, 32, 35	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
38		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
39	5	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
40	4	ffnd 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
41	40	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
42	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
43	37, 42	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin))
44	43	simprd 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
45	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
46	16	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
47	4	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
48	32	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ 𝐼)
50	13, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49	prdsinvgd2 21516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
51	50	adantrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
52		fveq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
53	52	ad2antll 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
54	4	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
55	54	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
56		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑏)) = (0g‘(𝑅‘𝑏))
57		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑏)) = (invg‘(𝑅‘𝑏))
58	56, 57	grpinvid 18920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
60	59	adantrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
61	51, 53, 60	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
62	61	expr 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏))))
63	62	necon3d 2959	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))))
64	63	ss2rabdv 4072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))})
65	44, 64	ssfid 9269	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
66	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21513	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
67	36, 65, 66	mpbir2and 709	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
68	1, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30	issubgrpd2 19058	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389  X_scprds 17395  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036   ⊕_m cdsmm 21505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-dsmm 21506

This theorem is referenced by:  dsmmlss  21518