MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmsubg 21764
Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmsubg.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmsubg.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (𝑃s 𝐻) = (𝑃s 𝐻))
2 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) = (0g𝑃))
3 eqidd 2737 . 2 (𝜑 → (+g𝑃) = (+g𝑃))
4 dsmmsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
5 dsmmsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
64, 5fexd 7248 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 eqid 2736 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin}
87dsmmbase 21756 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
10 ssrab2 4079 . . . 4 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
119, 10eqsstrrdi 4028 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12 dsmmsubg.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
13 dsmmsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
1413fveq2i 6908 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1511, 12, 143sstr4g 4036 . 2 (𝜑𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16 dsmmsubg.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
17 grpmnd 18959 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1817ssriv 3986 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
19 fss 6751 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
204, 18, 19sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
21 eqid 2736 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2213, 12, 5, 16, 20, 21dsmm0cl 21761 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐻)
2353ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝐼𝑊)
24163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑆𝑉)
25203ad2ant1 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26 simp2 1137 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑎𝐻)
27 simp3 1138 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
28 eqid 2736 . . 3 (+g𝑃) = (+g𝑃)
2913, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28dsmmacl 21762 . 2 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎(+g𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
3013, 5, 16, 4prdsgrpd 19069 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
3215sselda 3982 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
3533, 34grpinvcl 19006 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
3631, 32, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐻)
38 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
395adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑊)
404ffnd 6736 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
4213, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21760 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
4337, 42mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin))
4443simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
455ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
4616ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑆𝑉)
474ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
4832adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏𝐼)
5013, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49prdsinvgd2 21763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
5150adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
52 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
5352ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
544ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
5554adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑏)) = (0g‘(𝑅𝑏))
57 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (invg‘(𝑅𝑏)) = (invg‘(𝑅𝑏))
5856, 57grpinvid 19018 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6059adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6151, 53, 603eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6261expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏))))
6362necon3d 2960 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏)) → (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))))
6463ss2rabdv 4075 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))})
6544, 64ssfid 9302 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6613, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21760 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
6736, 65, 66mpbir2and 713 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
681, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30issubgrpd2 19161 1 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  wss 3950  dom cdm 5684   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Xscprds 17491  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  SubGrpcsubg 19139  m cdsmm 21752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-dsmm 21753
This theorem is referenced by:  dsmmlss  21765
  Copyright terms: Public domain W3C validator