Theorem dsmmsubg 21652

Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
dsmmsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
dsmmsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)

Assertion

Ref	Expression
dsmmsubg	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾s 𝐻) = (𝑃 ↾s 𝐻))
2		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃))
3		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃))
4		dsmmsubg.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5		dsmmsubg.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6	4, 5	fexd 7201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin}
8	7	dsmmbase 21644	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
10		ssrab2 4043	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
11	9, 10	eqsstrrdi 3992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12		dsmmsubg.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
13		dsmmsubg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
14	13	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
15	11, 12, 14	3sstr4g 4000	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16		dsmmsubg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
17		grpmnd 18872	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
18	17	ssriv 3950	. . . 4 ⊢ Grp ⊆ Mnd
19		fss 6704	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
20	4, 18, 19	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
21		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
22	13, 12, 5, 16, 20, 21	dsmm0cl 21649	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐻)
23	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
24	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑆 ∈ 𝑉)
25	20	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
27		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → 𝑏 ∈ 𝐻)
28		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
29	13, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28	dsmmacl 21650	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻 ∧ 𝑏 ∈ 𝐻) → (𝑎(+g‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
30	13, 5, 16, 4	prdsgrpd 18982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
32	15	sselda 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
35	33, 34	grpinvcl 18919	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
36	31, 32, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑎 ∈ 𝐻)
38		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
39	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝐼 ∈ 𝑊)
40	4	ffnd 6689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
42	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21648	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ 𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
43	37, 42	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin))
44	43	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
45	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
46	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝑉)
47	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
48	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ 𝐼)
50	13, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49	prdsinvgd2 21651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
51	50	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)))
52		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
53	52	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(𝑎‘𝑏)) = ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))))
54	4	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
55	54	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑏) ∈ Grp)
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑏)) = (0g‘(𝑅‘𝑏))
57		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘(𝑅‘𝑏)) = (invg‘(𝑅‘𝑏))
58	56, 57	grpinvid 18931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅‘𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
60	59	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → ((invg‘(𝑅‘𝑏))‘(0g‘(𝑅‘𝑏))) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
61	51, 53, 60	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∈ 𝐼 ∧ (𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)))
62	61	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅‘𝑏))))
63	62	necon3d 2946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝐼) → ((((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏)) → (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))))
64	63	ss2rabdv 4039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ⊆ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (𝑎‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))})
65	44, 64	ssfid 9212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)
66	13, 38, 33, 12, 39, 41	dsmmelbas 21648	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏 ∈ 𝐼 ∣ (((invg‘𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑏))} ∈ Fin)))
67	36, 65, 66	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐻) → ((invg‘𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
68	1, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30	issubgrpd2 19074	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  dom cdm 5638   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  X_scprds 17408  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  SubGrpcsubg 19052   ⊕_m cdsmm 21640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-dsmm 21641

This theorem is referenced by:  dsmmlss  21653