MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmsubg 21781
Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmsubg.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmsubg.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (𝑃s 𝐻) = (𝑃s 𝐻))
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) = (0g𝑃))
3 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝑃) = (+g𝑃))
4 dsmmsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
5 dsmmsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
64, 5fexd 7247 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin}
87dsmmbase 21773 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
10 ssrab2 4090 . . . 4 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
119, 10eqsstrrdi 4051 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12 dsmmsubg.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
13 dsmmsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
1413fveq2i 6910 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1511, 12, 143sstr4g 4041 . 2 (𝜑𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
16 dsmmsubg.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
17 grpmnd 18971 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1817ssriv 3999 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
19 fss 6753 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
204, 18, 19sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
21 eqid 2735 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2213, 12, 5, 16, 20, 21dsmm0cl 21778 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐻)
2353ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝐼𝑊)
24163ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑆𝑉)
25203ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
26 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑎𝐻)
27 simp3 1137 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
28 eqid 2735 . . 3 (+g𝑃) = (+g𝑃)
2913, 12, 23, 24, 25, 26, 27, 28dsmmacl 21779 . 2 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎(+g𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
3013, 5, 16, 4prdsgrpd 19081 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3130adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
3215sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
33 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
34 eqid 2735 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
3533, 34grpinvcl 19018 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
3631, 32, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
37 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐻)
38 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
395adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑊)
404ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
4213, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21777 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
4337, 42mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin))
4443simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
455ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
4616ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑆𝑉)
474ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
4832adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
49 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏𝐼)
5013, 45, 46, 47, 33, 34, 48, 49prdsinvgd2 21780 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
5150adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
52 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
5352ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
544ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
5554adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
56 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑏)) = (0g‘(𝑅𝑏))
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (invg‘(𝑅𝑏)) = (invg‘(𝑅𝑏))
5856, 57grpinvid 19030 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
5955, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6059adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6151, 53, 603eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6261expr 456 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏))))
6362necon3d 2959 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏)) → (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))))
6463ss2rabdv 4086 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))})
6544, 64ssfid 9299 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6613, 38, 33, 12, 39, 41dsmmelbas 21777 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
6736, 65, 66mpbir2and 713 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
681, 2, 3, 15, 22, 29, 67, 30issubgrpd2 19173 1 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Xscprds 17492  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  m cdsmm 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-dsmm 21770
This theorem is referenced by:  dsmmlss  21782
  Copyright terms: Public domain W3C validator