Theorem aspss 21836

Description: Span preserves subset ordering. (spanss 31406 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspss	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Proof of Theorem aspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sstr2 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 4028	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 4925	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
9		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 3945	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		aspval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
12		aspval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	11, 12, 13	aspval 21832	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	aspval 21832	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 3990	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∩ cint 4903  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  SubRingcsubrg 20506  LSubSpclss 20886  AssAlgcasa 21809  AlgSpancasp 21810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-assa 21812  df-asp 21813

This theorem is referenced by:  mplbas2  22001  mplind  22029