Theorem aspss 21870

Description: Span preserves subset ordering. (spanss 31278 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aspval.a	⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
aspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
aspss	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Proof of Theorem aspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sstr2 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊))) → (𝑆 ⊆ 𝑡 → 𝑇 ⊆ 𝑡))
4	3	ss2rabdv 4069	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
5		intss 4969	. . 3 ⊢ ({𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡} ⊆ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
7		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑊 ∈ AssAlg)
8		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
9		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
10	8, 9	sstrd 3989	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
11		aspval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AlgSpan‘𝑊)
12		aspval.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	11, 12, 13	aspval 21866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
15	7, 10, 14	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
16	11, 12, 13	aspval 21866	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
17	16	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑆) = ∩ {𝑡 ∈ ((SubRing‘𝑊) ∩ (LSubSp‘𝑊)) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑡})
18	6, 15, 17	3sstr4d 4026	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝐴‘𝑇) ⊆ (𝐴‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946  ∩ cint 4946  ‘cfv 6546  Basecbs 17208  SubRingcsubrg 20547  LSubSpclss 20904  AssAlgcasa 21844  AlgSpancasp 21845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-assa 21847  df-asp 21848

This theorem is referenced by:  mplbas2  22045  mplind  22079