MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aspss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem aspss 21652
Description: Span preserves subset ordering. (spanss 30866 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aspval.a 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘Š)
aspval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
aspss ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ (π΄β€˜π‘‡) βŠ† (π΄β€˜π‘†))
Proof of Theorem aspss
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š))) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
2 sstr2 3990 . . . . 5 (𝑇 βŠ† 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑑))
31, 2syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑇 βŠ† 𝑑))
43ss2rabdv 4074 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑} βŠ† {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑})
5 intss 4974 . . 3 ({𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑} βŠ† {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑} β†’ ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑} βŠ† ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑})
64, 5syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑} βŠ† ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑})
7 simp1 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ π‘Š ∈ AssAlg)
8 simp3 1136 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑆)
9 simp2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
108, 9sstrd 3993 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
11 aspval.a . . . 4 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘Š)
12 aspval.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 eqid 2730 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1411, 12, 13aspval 21648 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ (π΄β€˜π‘‡) = ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑})
157, 10, 14syl2anc 582 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ (π΄β€˜π‘‡) = ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑇 βŠ† 𝑑})
1611, 12, 13aspval 21648 . . 3 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (π΄β€˜π‘†) = ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑})
17163adant3 1130 . 2 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ (π΄β€˜π‘†) = ∩ {𝑑 ∈ ((SubRingβ€˜π‘Š) ∩ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∣ 𝑆 βŠ† 𝑑})
186, 15, 173sstr4d 4030 1 ((π‘Š ∈ AssAlg ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉 ∧ 𝑇 βŠ† 𝑆) β†’ (π΄β€˜π‘‡) βŠ† (π΄β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  Basecbs 17150  SubRingcsubrg 20459  LSubSpclss 20688  AssAlgcasa 21626  AlgSpancasp 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-mgp 20031  df-ur 20078  df-ring 20131  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-assa 21629  df-asp 21630
This theorem is referenced by:  mplbas2  21818  mplind  21852
  Copyright terms: Public domain W3C validator