Theorem lfinpfin 23692

Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lfinpfin	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	locfinbas 23690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴)
4	3	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴))
5	4	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
6	1	locfinnei 23691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
7	5, 6	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8		inelcm 4424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
9	8	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
10	9	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
11	10	ss2rabdv 4028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅})
12		ssfi 9155	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
13	12	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
14	11, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
15	14	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
16	15	rexlimdvw 3170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
17	7, 16	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
18	17	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
19	2	isptfin 23684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
20	18, 19	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6536  Fincfn 8941  PtFincptfin 23671  LocFinclocfin 23672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-fin 8945  df-top 23062  df-ptfin 23674  df-locfin 23675

This theorem is used by:  locfindis  23698