MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 23352
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2724 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
31, 2locfinbas 23350 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
43eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴))
54biimpar 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
61locfinnei 23351 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
75, 6syldan 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
8 inelcm 4457 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…)
98expcom 413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
109ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
1110ss2rabdv 4066 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
12 ssfi 9170 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 413 . . . . . . 7 ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3152 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3138 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 23344 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (𝐴 ∈ PtFin ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  βˆͺ cuni 4900  β€˜cfv 6534  Fincfn 8936  PtFincptfin 23331  LocFinclocfin 23332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-fin 8940  df-top 22720  df-ptfin 23334  df-locfin 23335
This theorem is referenced by:  locfindis  23358
  Copyright terms: Public domain W3C validator