Theorem lfinpfin 23532

Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lfinpfin	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	locfinbas 23530	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴)
4	3	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
6	1	locfinnei 23531	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8		inelcm 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
9	8	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
10	9	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
11	10	ss2rabdv 4076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅})
12		ssfi 9213	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
13	12	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
15	14	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
16	15	rexlimdvw 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
17	7, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
18	17	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
19	2	isptfin 23524	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
20	18, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  PtFincptfin 23511  LocFinclocfin 23512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-top 22900  df-ptfin 23514  df-locfin 23515

This theorem is referenced by:  locfindis  23538