Theorem lfinpfin 23418

Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lfinpfin	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	locfinbas 23416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴)
4	3	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
6	1	locfinnei 23417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
7	5, 6	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8		inelcm 4431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
9	8	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
10	9	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
11	10	ss2rabdv 4042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅})
12		ssfi 9143	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
13	12	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
15	14	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
16	15	rexlimdvw 3140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
17	7, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
18	17	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
19	2	isptfin 23410	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
20	18, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  PtFincptfin 23397  LocFinclocfin 23398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925  df-top 22788  df-ptfin 23400  df-locfin 23401

This theorem is referenced by:  locfindis  23424