MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 23027
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
31, 2locfinbas 23025 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
43eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴))
54biimpar 478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
61locfinnei 23026 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
75, 6syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
8 inelcm 4464 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…)
98expcom 414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
109ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
1110ss2rabdv 4073 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
12 ssfi 9172 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 414 . . . . . . 7 ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 454 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3160 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3146 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 23019 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (𝐴 ∈ PtFin ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 256 1 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Fincfn 8938  PtFincptfin 23006  LocFinclocfin 23007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-top 22395  df-ptfin 23009  df-locfin 23010
This theorem is referenced by:  locfindis  23033
  Copyright terms: Public domain W3C validator