MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 23421
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
31, 2locfinbas 23419 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
43eleq2d 2815 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴))
54biimpar 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
61locfinnei 23420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
75, 6syldan 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
8 inelcm 4460 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…)
98expcom 413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
109ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
1110ss2rabdv 4069 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
12 ssfi 9191 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 413 . . . . . . 7 ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3156 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3142 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 23413 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (𝐴 ∈ PtFin ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  {crab 3428   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903  β€˜cfv 6542  Fincfn 8957  PtFincptfin 23400  LocFinclocfin 23401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961  df-top 22789  df-ptfin 23403  df-locfin 23404
This theorem is referenced by:  locfindis  23427
  Copyright terms: Public domain W3C validator