MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 22898
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
31, 2locfinbas 22896 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
43eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴))
54biimpar 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
61locfinnei 22897 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
75, 6syldan 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
8 inelcm 4428 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑠 ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…)
98expcom 415 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
109ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑠 β†’ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…))
1110ss2rabdv 4037 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
12 ssfi 9123 . . . . . . . 8 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 415 . . . . . . 7 ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} βŠ† {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑛) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 455 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3154 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3140 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 22890 . 2 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ (𝐴 ∈ PtFin ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ 𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  PtFincptfin 22877  LocFinclocfin 22878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-top 22266  df-ptfin 22880  df-locfin 22881
This theorem is referenced by:  locfindis  22904
  Copyright terms: Public domain W3C validator