MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 22132
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2801 . . . . . . . 8 𝐴 = 𝐴
31, 2locfinbas 22130 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
43eleq2d 2878 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 𝐽𝑥 𝐴))
54biimpar 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐽)
61locfinnei 22131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
75, 6syldan 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8 inelcm 4375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑥𝑛) → (𝑠𝑛) ≠ ∅)
98expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
109ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
1110ss2rabdv 4006 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
12 ssfi 8726 . . . . . . . 8 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 417 . . . . . . 7 ({𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 457 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3252 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3152 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 22124 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 260 1 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  cin 3883  wss 3884  c0 4246   cuni 4803  cfv 6328  Fincfn 8496  PtFincptfin 22111  LocFinclocfin 22112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-top 21502  df-ptfin 22114  df-locfin 22115
This theorem is referenced by:  locfindis  22138
  Copyright terms: Public domain W3C validator