MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 23548
Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 𝐴 = 𝐴
31, 2locfinbas 23546 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
43eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 𝐽𝑥 𝐴))
54biimpar 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐽)
61locfinnei 23547 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
75, 6syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8 inelcm 4471 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑥𝑛) → (𝑠𝑛) ≠ ∅)
98expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
109ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
1110ss2rabdv 4086 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
12 ssfi 9212 . . . . . . . 8 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 413 . . . . . . 7 ({𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 453 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3158 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 23540 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 257 1 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  Fincfn 8984  PtFincptfin 23527  LocFinclocfin 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916  df-ptfin 23530  df-locfin 23531
This theorem is referenced by:  locfindis  23554
  Copyright terms: Public domain W3C validator