Theorem dsmmlss 21150

Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmlss	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmlss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		dsmmlss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
6		lmodgrp 20329	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
7	6	ssriv 3948	. . . 4 ⊢ LMod ⊆ Grp
8		fss 6685	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	5, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
10	1, 2, 3, 4, 9	dsmmsubg 21149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11		dsmmlss.k	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
12	1, 4, 3, 5, 11	prdslmodd 20430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
16		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	5	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
19	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 21145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
21	15, 20	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
22	21	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26	17, 23, 24, 25	lmodvscl 20339	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 22, 26	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
28	21	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
31	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33	5, 3	fexd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
34	1, 4, 33	prdssca 17338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
35	34	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
36	35	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
37	36	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
38	37	adantrr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
40	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
41		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	1, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41	prdsvscafval 17362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
43	42	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
44	5	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
45	44	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
46		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
48	11, 47	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	49	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	46, 50	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
53		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
54		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
56	52, 53, 54, 55	lmodvs0 20356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
57	45, 51, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
58		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
60	57, 59	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
61	60	impr 455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
62	43, 61	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
63	62	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
64	63	necon3d 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
65	64	ss2rabdv 4033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
66	28, 65	ssfid 9211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
67	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 21145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
68	67	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
69	27, 66, 68	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
70	69	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
71		dsmmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
72	23, 25, 17, 24, 71	islss4 20423	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
73	12, 72	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
74	10, 70, 73	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  X_scprds 17327  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392   ⊕_m cdsmm 21137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-dsmm 21138

This theorem is referenced by:  dsmmlmod  21151  frlmlss  21157