Theorem dsmmlss 22056

Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmlss	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmlss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		dsmmlss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
6		lmodgrp 21148	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
7	6	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ LMod ⊆ Grp
8		fss 6727	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	5, 7, 8	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
10	1, 2, 3, 4, 9	dsmmsubg 22055	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11		dsmmlss.k	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
12	1, 4, 3, 5, 11	prdslmodd 21250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	5	ffnd 6711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
19	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 22051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
21	15, 20	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
22	21	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26	17, 23, 24, 25	lmodvscl 21159	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 22, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
28	21	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
29		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
31	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33	5, 3	fexd 7234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
34	1, 4, 33	prdssca 17633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
35	34	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
36	35	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
37	36	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
38	37	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
40	22	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
41		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	1, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41	prdsvscafval 17657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
43	42	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
44	5	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
45	44	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
46		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
48	11, 47	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	49	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	46, 50	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
52		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
55		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
56	52, 53, 54, 55	lmodvs0 21177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
57	45, 51, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
58		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))))
59	58	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
60	57, 59	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
61	60	impr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
62	43, 61	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
63	62	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
64	63	necon3d 2976	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
65	64	ss2rabdv 4000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
66	28, 65	ssfid 9264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
67	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 22051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
68	67	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
69	27, 66, 68	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
70	69	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
71		dsmmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
72	23, 25, 17, 24, 71	islss4 21243	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
73	12, 72	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
74	10, 70, 73	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  X_scprds 17622  Grpcgrp 19150  SubGrpcsubg 19336  Ringcrg 20465  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212   ⊕_m cdsmm 22043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-prds 17624  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-dsmm 22044

This theorem is used by:  dsmmlmod  22057  frlmlss  22063