Theorem dsmmlss 20487

Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmlss	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmlss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		dsmmlss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
6		lmodgrp 19262	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
7	6	ssriv 3825	. . . 4 ⊢ LMod ⊆ Grp
8		fss 6304	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	5, 7, 8	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
10	1, 2, 3, 4, 9	dsmmsubg 20486	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11		dsmmlss.k	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
12	1, 4, 3, 5, 11	prdslmodd 19364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	12	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14		simprl 761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15		simprr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
16		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
17		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	5	ffnd 6292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
19	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 20482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
20	19	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
21	15, 20	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
22	21	simpld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26	17, 23, 24, 25	lmodvscl 19272	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 22, 26	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
28	21	simprd 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
29		eqid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30	4	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
31	3	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	18	ad2antrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33		fex 6761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
34	5, 3, 33	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
35	1, 4, 34	prdssca 16502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
36	35	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
37	36	eleq2d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
38	37	biimpar 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
39	38	adantrr 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
40	39	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
41	22	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
42		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43	1, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 40, 41, 42	prdsvscafval 16526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
44	43	adantrr 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
45	5	ffvelrnda 6623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
46	45	adantlr 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
47		simplrl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
48	35	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
49	11, 48	eqtrd 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
50	49	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	50	adantlr 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
52	47, 51	eleqtrrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
53		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
54		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
55		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
56		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
57	53, 54, 55, 56	lmodvs0 19289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
58	46, 52, 57	syl2anc 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
59		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))))
60	59	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
61	58, 60	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
62	61	impr 448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
63	44, 62	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
64	63	expr 450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
65	64	necon3d 2990	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
66	65	ss2rabdv 3904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
67		ssfi 8468	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
68	28, 66, 67	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
69	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 20482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
70	69	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
71	27, 68, 70	mpbir2and 703	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
72	71	ralrimivva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
73		dsmmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
74	23, 25, 17, 24, 73	islss4 19357	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
75	12, 74	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
76	10, 72, 75	mpbir2and 703	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486  X_scprds 16492  Grpcgrp 17809  SubGrpcsubg 17972  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324   ⊕_m cdsmm 20474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-dsmm 20475

This theorem is referenced by:  dsmmlmod  20488  frlmlss  20494