Theorem dsmmlss 21859

Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmlss	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmlss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		dsmmlss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
6		lmodgrp 20962	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
7	6	ssriv 3949	. . . 4 ⊢ LMod ⊆ Grp
8		fss 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	5, 7, 8	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
10	1, 2, 3, 4, 9	dsmmsubg 21858	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11		dsmmlss.k	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
12	1, 4, 3, 5, 11	prdslmodd 21064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
16		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
17		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	5	ffnd 6704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
19	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 21854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
21	15, 20	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
22	21	simpld 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26	17, 23, 24, 25	lmodvscl 20973	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 22, 26	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
28	21	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
29		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
31	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33	5, 3	fexd 7223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
34	1, 4, 33	prdssca 17505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
35	34	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
36	35	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
37	36	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
38	37	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
39	38	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
40	22	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
41		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	1, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41	prdsvscafval 17529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
43	42	adantrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
44	5	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
45	44	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
46		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	34	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
48	11, 47	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	49	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	46, 50	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
52		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
53		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
54		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
55		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
56	52, 53, 54, 55	lmodvs0 20991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
57	45, 51, 56	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
58		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))))
59	58	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
60	57, 59	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
61	60	impr 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
62	43, 61	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
63	62	expr 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
64	63	necon3d 2985	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
65	64	ss2rabdv 4037	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
66	28, 65	ssfid 9225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
67	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 21854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
68	67	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
69	27, 66, 68	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
70	69	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
71		dsmmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
72	23, 25, 17, 24, 71	islss4 21057	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
73	12, 72	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
74	10, 70, 73	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  X_scprds 17494  Grpcgrp 18996  SubGrpcsubg 19182  Ringcrg 20311  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026   ⊕_m cdsmm 21846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-dsmm 21847

This theorem is referenced by:  dsmmlmod  21860  frlmlss  21866