MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmlss 21782
Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmlss.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
Assertion
Ref Expression
dsmmlss (𝜑𝐻𝑈)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmlss.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmlss.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
3 dsmmlss.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
4 dsmmlss.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
5 dsmmlss.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶LMod)
6 lmodgrp 20882 . . . . 5 (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
76ssriv 3999 . . . 4 LMod ⊆ Grp
8 fss 6753 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
95, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
101, 2, 3, 4, 9dsmmsubg 21781 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11 dsmmlss.k . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = 𝑆)
121, 4, 3, 5, 11prdslmodd 20985 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → 𝑏𝐻)
16 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
17 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
185ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
191, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥𝐼 ∣ (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → (𝑏𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥𝐼 ∣ (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)))
2115, 20mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥𝐼 ∣ (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
2221simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23 eqid 2735 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24 eqid 2735 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
25 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2617, 23, 24, 25lmodvscl 20893 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
2713, 14, 22, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
2821simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)
29 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
304ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
313ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
3218ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
335, 3fexd 7247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ V)
341, 4, 33prdssca 17503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑃))
3534fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
3635eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
3736biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
3837adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
4022adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
421, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41prdsvscafval 17527 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)))
4342adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)))
445ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ LMod)
4544adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ LMod)
46 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
4734adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
4811, 47eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (Scalar‘(𝑅𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
4948fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5049adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
5146, 50eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))))
52 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘(𝑅𝑥)) = (Scalar‘(𝑅𝑥))
53 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))
54 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥)))
55 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
5652, 53, 54, 55lmodvs0 20911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(0g‘(𝑅𝑥))) = (0g‘(𝑅𝑥)))
5745, 51, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(0g‘(𝑅𝑥))) = (0g‘(𝑅𝑥)))
58 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(0g‘(𝑅𝑥))))
5958eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(0g‘(𝑅𝑥))) = (0g‘(𝑅𝑥))))
6057, 59syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))))
6160impr 454 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑏𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
6243, 61eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ (𝑥𝐼 ∧ (𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
6362expr 456 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑏𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥))))
6463necon3d 2959 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥)) → (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
6564ss2rabdv 4086 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ⊆ {𝑥𝐼 ∣ (𝑏𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
6628, 65ssfid 9299 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)
671, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21777 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)))
6867adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin)))
6927, 66, 68mpbir2and 713 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏𝐻)) → (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
7069ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏𝐻 (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
71 dsmmlss.u . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
7223, 25, 17, 24, 71islss4 20978 . . 3 (𝑃 ∈ LMod → (𝐻𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏𝐻 (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
7312, 72syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏𝐻 (𝑎( ·𝑠𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
7410, 70, 73mpbir2and 713 1 (𝜑𝐻𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Xscprds 17492  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  m cdsmm 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-dsmm 21770
This theorem is referenced by:  dsmmlmod  21783  frlmlss  21789
  Copyright terms: Public domain W3C validator