Theorem dsmmlss 20660

Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dsmmlss.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
dsmmlss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
dsmmlss.k	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
dsmmlss.p	⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
dsmmlss.h	⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
dsmmlss	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝑥,𝐻

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dsmmlss

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsmmlss.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2		dsmmlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
3		dsmmlss.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		dsmmlss.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		dsmmlss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶LMod)
6		lmodgrp 19860	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ LMod → 𝑎 ∈ Grp)
7	6	ssriv 3891	. . . 4 ⊢ LMod ⊆ Grp
8		fss 6540	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶LMod ∧ LMod ⊆ Grp) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
9	5, 7, 8	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Grp)
10	1, 2, 3, 4, 9	dsmmsubg 20659	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
11		dsmmlss.k	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = 𝑆)
12	1, 4, 3, 5, 11	prdslmodd 19960	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑃 ∈ LMod)
14		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ 𝐻)
16		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆 ⊕m 𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	5	ffnd 6524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
19	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 20655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
21	15, 20	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑏 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
22	21	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
24		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
25		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
26	17, 23, 24, 25	lmodvscl 19870	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
27	13, 14, 22, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃))
28	21	simprd 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ Ring)
31	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
33	5, 3	fexd 7021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
34	1, 4, 33	prdssca 16915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
35	34	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
36	35	eleq2d 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))))
37	36	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
38	37	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑆))
40	22	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑃))
41		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	1, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41	prdsvscafval 16939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
43	42	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)))
44	5	ffvelrnda 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
45	44	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ LMod)
46		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
47	34	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆 = (Scalar‘𝑃))
48	11, 47	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘𝑃))
49	48	fveq2d 6699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
50	49	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
51	46, 50	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))))
52		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘(𝑅‘𝑥)) = (Scalar‘(𝑅‘𝑥))
53		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))
54		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(𝑅‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))
56	52, 53, 54, 55	lmodvs0 19887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅‘𝑥) ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
57	45, 51, 56	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
58		oveq2 7199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))))
59	58	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(0g‘(𝑅‘𝑥))) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
60	57, 59	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
61	60	impr 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → (𝑎( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑏‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
62	43, 61	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
63	62	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑏‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) = (0g‘(𝑅‘𝑥))))
64	63	necon3d 2953	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥)) → (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
65	64	ss2rabdv 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑏‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
66	28, 65	ssfid 8876	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)
67	1, 16, 17, 2, 3, 18	dsmmelbas 20655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
68	67	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏)‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin)))
69	27, 66, 68	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
70	69	ralrimivva 3102	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
71		dsmmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑃)
72	23, 25, 17, 24, 71	islss4 19953	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ LMod → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
73	12, 72	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))∀𝑏 ∈ 𝐻 (𝑎( ·𝑠 ‘𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)))
74	10, 70, 73	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3055  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  Basecbs 16666  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  0_gc0g 16898  X_scprds 16904  Grpcgrp 18319  SubGrpcsubg 18491  Ringcrg 19516  LModclmod 19853  LSubSpclss 19922   ⊕_m cdsmm 20647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-hom 16773  df-cco 16774  df-0g 16900  df-prds 16906  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-subg 18494  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-dsmm 20648

This theorem is referenced by:  dsmmlmod  20661  frlmlss  20667