MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmlss 21685
Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
dsmmlss.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢LMod)
dsmmlss.k ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = 𝑆)
dsmmlss.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
dsmmlss.h 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
Assertion
Ref Expression
dsmmlss (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝐻
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem dsmmlss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmlss.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmlss.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
3 dsmmlss.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4 dsmmlss.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5 dsmmlss.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢LMod)
6 lmodgrp 20757 . . . . 5 (π‘Ž ∈ LMod β†’ π‘Ž ∈ Grp)
76ssriv 3986 . . . 4 LMod βŠ† Grp
8 fss 6744 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢LMod ∧ LMod βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
95, 7, 8sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
101, 2, 3, 4, 9dsmmsubg 21684 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
11 dsmmlss.k . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = 𝑆)
121, 4, 3, 5, 11prdslmodd 20860 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
14 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
15 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐻)
16 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ•m 𝑅) = (𝑆 βŠ•m 𝑅)
17 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
185ffnd 6728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
191, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21680 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
2115, 20mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin))
2221simpld 493 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
24 eqid 2728 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
25 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
2617, 23, 24, 25lmodvscl 20768 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2713, 14, 22, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2821simprd 494 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)
29 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
304ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3218ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
335, 3fexd 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
341, 4, 33prdssca 17445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3635eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
3736biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3837adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4022adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
41 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
421, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41prdsvscafval 17469 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)))
4342adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)))
445ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod)
46 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4734adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4811, 47eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5146, 50eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
52 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
53 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = ( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))
54 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
55 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
5652, 53, 54, 55lmodvs0 20786 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
5745, 51, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
58 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
5958eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6057, 59syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6160impr 453 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
6243, 61eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
6362expr 455 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6463necon3d 2958 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6564ss2rabdv 4073 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))})
6628, 65ssfid 9298 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)
671, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21680 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
6867adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
6927, 66, 68mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)
7069ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)
71 dsmmlss.u . . . 4 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
7223, 25, 17, 24, 71islss4 20853 . . 3 (𝑃 ∈ LMod β†’ (𝐻 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)))
7312, 72syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)))
7410, 70, 73mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  Xscprds 17434  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822   βŠ•m cdsmm 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-dsmm 21673
This theorem is referenced by:  dsmmlmod  21686  frlmlss  21692
  Copyright terms: Public domain W3C validator