MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmlss 21290
Description: The finite hull of a product of modules is additionally closed under scalar multiplication and thus is a linear subspace of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmlss.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
dsmmlss.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
dsmmlss.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢LMod)
dsmmlss.k ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = 𝑆)
dsmmlss.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmlss.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
dsmmlss.h 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
Assertion
Ref Expression
dsmmlss (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝐻
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem dsmmlss
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmlss.p . . 3 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2 dsmmlss.h . . 3 𝐻 = (Baseβ€˜(𝑆 βŠ•m 𝑅))
3 dsmmlss.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4 dsmmlss.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
5 dsmmlss.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢LMod)
6 lmodgrp 20470 . . . . 5 (π‘Ž ∈ LMod β†’ π‘Ž ∈ Grp)
76ssriv 3985 . . . 4 LMod βŠ† Grp
8 fss 6731 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢LMod ∧ LMod βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
95, 7, 8sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
101, 2, 3, 4, 9dsmmsubg 21289 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
11 dsmmlss.k . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = 𝑆)
121, 4, 3, 5, 11prdslmodd 20572 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
14 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
15 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐻)
16 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ•m 𝑅) = (𝑆 βŠ•m 𝑅)
17 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
185ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
191, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21285 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐻 ↔ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
2115, 20mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin))
2221simpld 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
24 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
25 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
2617, 23, 24, 25lmodvscl 20481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2713, 14, 22, 26syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2821simprd 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
304ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3218ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
335, 3fexd 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
341, 4, 33prdssca 17398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3635eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
3736biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3837adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘†))
4022adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
41 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
421, 17, 24, 29, 30, 31, 32, 39, 40, 41prdsvscafval 17422 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)))
4342adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)))
445ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod)
46 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
4734adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4811, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
4948fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5146, 50eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
52 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = ( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))
54 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))
5652, 53, 54, 55lmodvs0 20498 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘…β€˜π‘₯) ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
5745, 51, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
58 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
5958eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) ↔ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6057, 59syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6160impr 455 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
6243, 61eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)))
6362expr 457 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6463necon3d 2961 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))))
6564ss2rabdv 4072 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))})
6628, 65ssfid 9263 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)
671, 16, 17, 2, 3, 18dsmmelbas 21285 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
6867adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻 ↔ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏)β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))} ∈ Fin)))
6927, 66, 68mpbir2and 711 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐻)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)
7069ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)
71 dsmmlss.u . . . 4 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
7223, 25, 17, 24, 71islss4 20565 . . 3 (𝑃 ∈ LMod β†’ (𝐻 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)))
7312, 72syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐻 ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))βˆ€π‘ ∈ 𝐻 (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑏) ∈ 𝐻)))
7410, 70, 73mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Xscprds 17387  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534   βŠ•m cdsmm 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-dsmm 21278
This theorem is referenced by:  dsmmlmod  21291  frlmlss  21297
  Copyright terms: Public domain W3C validator