Theorem harword 9523

Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harword	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 8981	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → 𝑦 ≼ 𝑌)
2	1	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
4	3	ss2rabdv 4042	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
5		reldom 8927	. . . 4 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex1i 5697	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
7		harval 9520	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
9	5	brrelex2i 5698	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
10		harval 9520	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
12	4, 8, 11	3sstr4d 4005	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  Oncon0 6335  ‘cfv 6514   ≼ cdom 8919  harchar 9516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-en 8922  df-dom 8923  df-oi 9470  df-har 9517

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10388