Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harword 8761
 Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harword (𝑋𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domtr 8296 . . . . 5 ((𝑦𝑋𝑋𝑌) → 𝑦𝑌)
21expcom 404 . . . 4 (𝑋𝑌 → (𝑦𝑋𝑦𝑌))
32adantr 474 . . 3 ((𝑋𝑌𝑦 ∈ On) → (𝑦𝑋𝑦𝑌))
43ss2rabdv 3904 . 2 (𝑋𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑌})
5 reldom 8249 . . . 4 Rel ≼
65brrelex1i 5408 . . 3 (𝑋𝑌𝑋 ∈ V)
7 harval 8758 . . 3 (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑋})
86, 7syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑋})
95brrelex2i 5409 . . 3 (𝑋𝑌𝑌 ∈ V)
10 harval 8758 . . 3 (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑌})
119, 10syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦𝑌})
124, 8, 113sstr4d 3867 1 (𝑋𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888  Oncon0 5978  ‘cfv 6137   ≼ cdom 8241  harchar 8752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-en 8244  df-dom 8245  df-oi 8706  df-har 8754 This theorem is referenced by:  hsmexlem3  9587
 Copyright terms: Public domain W3C validator