Theorem harword 9468

Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harword	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 8944	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → 𝑦 ≼ 𝑌)
2	1	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
4	3	ss2rabdv 4027	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
5		reldom 8889	. . . 4 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex1i 5680	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
7		harval 9465	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
9	5	brrelex2i 5681	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
10		harval 9465	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
12	4, 8, 11	3sstr4d 3989	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   ≼ cdom 8881  harchar 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-en 8884  df-dom 8885  df-oi 9415  df-har 9462

This theorem is referenced by:  hsmexlem3  10338