Theorem harword 9532

Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harword	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 9010	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → 𝑦 ≼ 𝑌)
2	1	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
4	3	ss2rabdv 4030	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
5		reldom 8955	. . . 4 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex1i 5719	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
7		harval 9529	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
9	5	brrelex2i 5720	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
10		harval 9529	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
12	4, 8, 11	3sstr4d 3993	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  Oncon0 6364  ‘cfv 6540   ≼ cdom 8947  harchar 9525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-en 8950  df-dom 8951  df-oi 9479  df-har 9526

This theorem is used by:  hsmexlem3  10427