Theorem harword 9567

Description: Weak ordering property of the Hartogs function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harword	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

Proof of Theorem harword

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 9045	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≼ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → 𝑦 ≼ 𝑌)
2	1	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ 𝑦 ∈ On) → (𝑦 ≼ 𝑋 → 𝑦 ≼ 𝑌))
4	3	ss2rabdv 4002	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋} ⊆ {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
5		reldom 8990	. . . 4 ⊢ Rel ≼
6	5	brrelex1i 5710	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
7		harval 9564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑋})
9	5	brrelex2i 5711	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
10		harval 9564	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑌) = {𝑦 ∈ On ∣ 𝑦 ≼ 𝑌})
12	4, 8, 11	3sstr4d 3967	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (har‘𝑋) ⊆ (har‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105  Oncon0 6368  ‘cfv 6546   ≼ cdom 8982  harchar 9560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-en 8985  df-dom 8986  df-oi 9514  df-har 9561

This theorem is used by:  hsmexlem3  10516