Theorem sssmfmpt 43020

Description: The restriction of a sigma-measurable function is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sssmfmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
sssmfmpt.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
sssmfmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sssmfmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sssmfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssmfmpt.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 5903	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3	2	eqcomd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶))
4		sssmfmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		sssmfmpt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6	4, 5	sssmf 43008	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
7	3, 6	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936   ↦ cmpt 5139   ↾ cres 5552  ‘cfv 6350  SAlgcsalg 42586  SMblFncsmblfn 42970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-rest 16690  df-smblfn 42971

This theorem is referenced by:  smfaddlem2  43033  smfrec  43057  smfmullem4  43062