Theorem sssmfmpt 47581

Description: The restriction of a sigma-measurable function is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sssmfmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
sssmfmpt.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
sssmfmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sssmfmpt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sssmfmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssmfmpt.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
2	1	resmptd 6036	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵))
3	2	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶))
4		sssmfmpt.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		sssmfmpt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6	4, 5	sssmf 47569	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
7	3, 6	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  SAlgcsalg 47139  SMblFncsmblfn 47526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-rest 17510  df-smblfn 47527

This theorem is used by:  smfaddlem2  47595  smfrec  47620  smfmullem4  47625