Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sssmfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sssmfmpt 45927
Description: The restriction of a sigma-measurable function is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sssmfmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
sssmfmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
sssmfmpt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sssmfmpt (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sssmfmpt
StepHypRef Expression
1 sssmfmpt.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 6040 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32eqcomd 2737 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶))
4 sssmfmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 sssmfmpt.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
64, 5sssmf 45915 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73, 6eqeltrd 2832 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3948  cmpt 5231  cres 5678  cfv 6543  SAlgcsalg 45485  SMblFncsmblfn 45872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-rest 17375  df-smblfn 45873
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  45941  smfrec  45966  smfmullem4  45971
  Copyright terms: Public domain W3C validator