Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sssmfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sssmfmpt 43809
Description: The restriction of a sigma-measurable function is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sssmfmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
sssmfmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
sssmfmpt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sssmfmpt (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sssmfmpt
StepHypRef Expression
1 sssmfmpt.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 5876 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32eqcomd 2744 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶))
4 sssmfmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 sssmfmpt.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
64, 5sssmf 43797 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73, 6eqeltrd 2833 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  wss 3841  cmpt 5107  cres 5521  cfv 6333  SAlgcsalg 43375  SMblFncsmblfn 43759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-rest 16792  df-smblfn 43760
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  43822  smfrec  43846  smfmullem4  43851
  Copyright terms: Public domain W3C validator