Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sssmfmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sssmfmpt 46167
Description: The restriction of a sigma-measurable function is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sssmfmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
sssmfmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
sssmfmpt.c (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
sssmfmpt (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem sssmfmpt
StepHypRef Expression
1 sssmfmpt.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
21resmptd 6049 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶𝐵))
32eqcomd 2734 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶))
4 sssmfmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 sssmfmpt.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
64, 5sssmf 46155 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73, 6eqeltrd 2829 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wss 3949  cmpt 5235  cres 5684  cfv 6553  SAlgcsalg 45725  SMblFncsmblfn 46112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-rest 17411  df-smblfn 46113
This theorem is referenced by:  smfaddlem2  46181  smfrec  46206  smfmullem4  46211
  Copyright terms: Public domain W3C validator