Theorem smfaddlem2 46886

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfaddlem2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		smfaddlem2.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		smfaddlem2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
5		smfaddlem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
6	1, 2, 3, 4, 5	smfaddlem1 46885	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
7		smfaddlem2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfaddlem2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elinel1 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	1, 10	ssdf 45196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	ssexd 5264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
13		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
14	7, 12, 13	subsalsal 46481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
15		qct 45485	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ω
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ≼ ω)
17	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
18		qex 12861	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
20	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
21	18	rabex 5279	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
23	20, 22	fvmpt2d 6948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24		ssrab2 4029	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
25	23, 24	eqsstrdi 3975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ)
26		ssdomg 8929	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ V → ((𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ))
27	19, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ)
28	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29		domtr 8936	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
31		inrab 4265	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
32	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑝 ∈ ℚ
34	1, 33	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ)
35		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)
36	34, 35	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
37	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	10, 2	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		smfaddlem2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	7, 40, 11	sssmfmpt 46872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43		qre 12853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
44	43	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39, 42, 44	smfpimltmpt 46868	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46		elinel2 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
48	47, 3	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	48	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50		smfaddlem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
51	1, 47	ssdf 45196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
52	7, 50, 51	sssmfmpt 46872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54	43	ssriv 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	25	sselda 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
56	54, 55	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	36, 37, 49, 53, 56	smfpimltmpt 46868	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
58	32, 45, 57	salincld 46474	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
59	31, 58	eqeltrrid 2838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
60	17, 30, 59	saliuncl 46445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
61	14, 16, 60	saliuncl 46445	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
62	6, 61	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∪ ciun 4941   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ωcom 7802   ≼ cdom 8873  ℝcr 11012   + caddc 11016   < clt 11153  ℚcq 12848   ↾_t crest 17326  SAlgcsalg 46430  SMblFncsmblfn 46817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-rest 17328  df-salg 46431  df-smblfn 46818

This theorem is referenced by:  smfadd  46887