Theorem smfaddlem2 47989

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfaddlem2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		smfaddlem2.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		smfaddlem2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
5		smfaddlem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
6	1, 2, 3, 4, 5	smfaddlem1 47988	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
7		smfaddlem2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfaddlem2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elinel1 4101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	1, 10	ssdf 46308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	ssexd 5291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
14	7, 12, 13	subsalsal 47584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
15		qct 46589	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ω
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ≼ ω)
17	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
18		qex 13118	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
20	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
21	18	rabex 5305	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
23	20, 22	fvmpt2d 7033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24		ssrab2 4008	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
25	23, 24	eqsstrdi 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ)
26		ssdomg 9058	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ V → ((𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ))
27	19, 25, 26	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ)
28	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29		domtr 9065	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
31		inrab 4264	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
32	14	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑝 ∈ ℚ
34	1, 33	nfan 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ)
35		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)
36	34, 35	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
37	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	10, 2	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ad4ant14 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		smfaddlem2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	7, 40, 11	sssmfmpt 47975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43		qre 13110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
44	43	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39, 42, 44	smfpimltmpt 47971	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46		elinel2 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
48	47, 3	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	48	ad4ant14 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50		smfaddlem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
51	1, 47	ssdf 46308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
52	7, 50, 51	sssmfmpt 47975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54	43	ssriv 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	25	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
56	54, 55	sselid 3911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	36, 37, 49, 53, 56	smfpimltmpt 47971	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
58	32, 45, 57	salincld 47577	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
59	31, 58	eqeltrrid 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
60	17, 30, 59	saliuncl 47548	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
61	14, 16, 60	saliuncl 47548	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
62	6, 61	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ωcom 7904   ≼ cdom 9002  ℝcr 11229   + caddc 11233   < clt 11373  ℚcq 13105   ↾_t crest 17623  SAlgcsalg 47533  SMblFncsmblfn 47920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cc 10543  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-rest 17625  df-salg 47534  df-smblfn 47921

This theorem is used by:  smfadd  47990