Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfaddlem2 45467
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem2.x 𝑥𝜑
smfaddlem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
smfaddlem2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2
StepHypRef Expression
1 smfaddlem2.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfaddlem2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 smfaddlem2.d . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 smfaddlem2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5 smfaddlem2.k . . 3 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
61, 2, 3, 4, 5smfaddlem1 45466 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
7 smfaddlem2.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfaddlem2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
9 elinel1 4195 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
109adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
111, 10ssdf 43750 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
128, 11ssexd 5324 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
13 eqid 2733 . . . 4 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
147, 12, 13subsalsal 45062 . . 3 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
15 qct 44059 . . . 4 ℚ ≼ ω
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
1714adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
18 qex 12942 . . . . . . 7 ℚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
205a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
2118rabex 5332 . . . . . . . . 9 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
2320, 22fvmpt2d 7009 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24 ssrab2 4077 . . . . . . 7 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
2523, 24eqsstrdi 4036 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ⊆ ℚ)
26 ssdomg 8993 . . . . . 6 (ℚ ∈ V → ((𝐾𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾𝑝) ≼ ℚ))
2719, 25, 26sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ℚ)
2815a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29 domtr 9000 . . . . 5 (((𝐾𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
31 inrab 4306 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
3214ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
33 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑝 ∈ ℚ
341, 33nfan 1903 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑝 ∈ ℚ)
35 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)
3634, 35nfan 1903 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
377ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
3810, 2syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3938ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40 smfaddlem2.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
417, 40, 11sssmfmpt 45453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4241ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 qre 12934 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
4443ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
4536, 37, 39, 42, 44smfpimltmpt 45449 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
46 elinel2 4196 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
4746adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
4847, 3syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 smfaddlem2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
511, 47ssdf 43750 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
527, 50, 51sssmfmpt 45453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5352ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5443ssriv 3986 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
5525sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
5654, 55sselid 3980 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
5736, 37, 49, 53, 56smfpimltmpt 45449 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5832, 45, 57salincld 45055 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5931, 58eqeltrrid 2839 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6017, 30, 59saliuncl 45026 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6114, 16, 60saliuncl 45026 . 2 (𝜑 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
626, 61eqeltrd 2834 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3947  wss 3948   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6541  (class class class)co 7406  ωcom 7852  cdom 8934  cr 11106   + caddc 11110   < clt 11245  cq 12929  t crest 17363  SAlgcsalg 45011  SMblFncsmblfn 45398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-rest 17365  df-salg 45012  df-smblfn 45399
This theorem is referenced by:  smfadd  45468
  Copyright terms: Public domain W3C validator