Theorem smfaddlem2 46685

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfaddlem2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		smfaddlem2.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		smfaddlem2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
5		smfaddlem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
6	1, 2, 3, 4, 5	smfaddlem1 46684	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
7		smfaddlem2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfaddlem2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elinel1 4224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	1, 10	ssdf 44977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	ssexd 5342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
14	7, 12, 13	subsalsal 46280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
15		qct 45277	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ω
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ≼ ω)
17	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
18		qex 13026	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
20	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
21	18	rabex 5357	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
23	20, 22	fvmpt2d 7042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24		ssrab2 4103	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
25	23, 24	eqsstrdi 4063	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ)
26		ssdomg 9060	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ V → ((𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ))
27	19, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ)
28	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29		domtr 9067	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
31		inrab 4335	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
32	14	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑝 ∈ ℚ
34	1, 33	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ)
35		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)
36	34, 35	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
37	7	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	10, 2	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ad4ant14 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		smfaddlem2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	7, 40, 11	sssmfmpt 46671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43		qre 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
44	43	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39, 42, 44	smfpimltmpt 46667	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46		elinel2 4225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
48	47, 3	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	48	ad4ant14 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50		smfaddlem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
51	1, 47	ssdf 44977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
52	7, 50, 51	sssmfmpt 46671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
53	52	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54	43	ssriv 4012	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	25	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
56	54, 55	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	36, 37, 49, 53, 56	smfpimltmpt 46667	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
58	32, 45, 57	salincld 46273	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
59	31, 58	eqeltrrid 2849	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
60	17, 30, 59	saliuncl 46244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
61	14, 16, 60	saliuncl 46244	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
62	6, 61	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324  ℚcq 13013   ↾_t crest 17480  SAlgcsalg 46229  SMblFncsmblfn 46616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-ac2 10532  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-ac 10185  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-rest 17482  df-salg 46230  df-smblfn 46617

This theorem is referenced by:  smfadd  46686