Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfaddlem2 45965
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem2.x 𝑥𝜑
smfaddlem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
smfaddlem2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2
StepHypRef Expression
1 smfaddlem2.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfaddlem2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 smfaddlem2.d . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 smfaddlem2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5 smfaddlem2.k . . 3 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
61, 2, 3, 4, 5smfaddlem1 45964 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
7 smfaddlem2.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfaddlem2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
9 elinel1 4187 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
111, 10ssdf 44252 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
128, 11ssexd 5314 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
13 eqid 2724 . . . 4 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
147, 12, 13subsalsal 45560 . . 3 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
15 qct 44557 . . . 4 ℚ ≼ ω
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
1714adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
18 qex 12942 . . . . . . 7 ℚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
205a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
2118rabex 5322 . . . . . . . . 9 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
2320, 22fvmpt2d 7001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24 ssrab2 4069 . . . . . . 7 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
2523, 24eqsstrdi 4028 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ⊆ ℚ)
26 ssdomg 8992 . . . . . 6 (ℚ ∈ V → ((𝐾𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾𝑝) ≼ ℚ))
2719, 25, 26sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ℚ)
2815a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29 domtr 8999 . . . . 5 (((𝐾𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
31 inrab 4298 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
3214ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
33 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑝 ∈ ℚ
341, 33nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑝 ∈ ℚ)
35 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)
3634, 35nfan 1894 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
377ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
3810, 2syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3938ad4ant14 749 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40 smfaddlem2.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
417, 40, 11sssmfmpt 45951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4241ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 qre 12934 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
4443ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
4536, 37, 39, 42, 44smfpimltmpt 45947 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
46 elinel2 4188 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
4847, 3syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad4ant14 749 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 smfaddlem2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
511, 47ssdf 44252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
527, 50, 51sssmfmpt 45951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5352ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5443ssriv 3978 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
5525sselda 3974 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
5654, 55sselid 3972 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
5736, 37, 49, 53, 56smfpimltmpt 45947 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5832, 45, 57salincld 45553 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5931, 58eqeltrrid 2830 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6017, 30, 59saliuncl 45524 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6114, 16, 60saliuncl 45524 . 2 (𝜑 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
626, 61eqeltrd 2825 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  cin 3939  wss 3940   ciun 4987   class class class wbr 5138  cmpt 5221  cfv 6533  (class class class)co 7401  ωcom 7848  cdom 8933  cr 11105   + caddc 11109   < clt 11245  cq 12929  t crest 17365  SAlgcsalg 45509  SMblFncsmblfn 45896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-rest 17367  df-salg 45510  df-smblfn 45897
This theorem is referenced by:  smfadd  45966
  Copyright terms: Public domain W3C validator