Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfaddlem2 46720
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem2.x 𝑥𝜑
smfaddlem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
smfaddlem2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2
StepHypRef Expression
1 smfaddlem2.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfaddlem2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 smfaddlem2.d . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 smfaddlem2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5 smfaddlem2.k . . 3 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
61, 2, 3, 4, 5smfaddlem1 46719 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
7 smfaddlem2.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfaddlem2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
9 elinel1 4211 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
111, 10ssdf 45015 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
128, 11ssexd 5330 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
13 eqid 2735 . . . 4 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
147, 12, 13subsalsal 46315 . . 3 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
15 qct 45312 . . . 4 ℚ ≼ ω
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
1714adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
18 qex 13001 . . . . . . 7 ℚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
205a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
2118rabex 5345 . . . . . . . . 9 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
2320, 22fvmpt2d 7029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24 ssrab2 4090 . . . . . . 7 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
2523, 24eqsstrdi 4050 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ⊆ ℚ)
26 ssdomg 9039 . . . . . 6 (ℚ ∈ V → ((𝐾𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾𝑝) ≼ ℚ))
2719, 25, 26sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ℚ)
2815a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29 domtr 9046 . . . . 5 (((𝐾𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
31 inrab 4322 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
3214ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
33 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑝 ∈ ℚ
341, 33nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑝 ∈ ℚ)
35 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)
3634, 35nfan 1897 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
377ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
3810, 2syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3938ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40 smfaddlem2.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
417, 40, 11sssmfmpt 46706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4241ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 qre 12993 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
4443ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
4536, 37, 39, 42, 44smfpimltmpt 46702 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
46 elinel2 4212 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
4847, 3syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 smfaddlem2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
511, 47ssdf 45015 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
527, 50, 51sssmfmpt 46706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5352ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5443ssriv 3999 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
5525sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
5654, 55sselid 3993 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
5736, 37, 49, 53, 56smfpimltmpt 46702 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5832, 45, 57salincld 46308 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5931, 58eqeltrrid 2844 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6017, 30, 59saliuncl 46279 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6114, 16, 60saliuncl 46279 . 2 (𝜑 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
626, 61eqeltrd 2839 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  cr 11152   + caddc 11156   < clt 11293  cq 12988  t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  smfadd  46721
  Copyright terms: Public domain W3C validator