Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfaddlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfaddlem2 46779
Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfaddlem2.x 𝑥𝜑
smfaddlem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a (𝜑𝐴𝑉)
smfaddlem2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
Assertion
Ref Expression
smfaddlem2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2
StepHypRef Expression
1 smfaddlem2.x . . 3 𝑥𝜑
2 smfaddlem2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 smfaddlem2.d . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 smfaddlem2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5 smfaddlem2.k . . 3 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
61, 2, 3, 4, 5smfaddlem1 46778 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)})
7 smfaddlem2.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfaddlem2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
9 elinel1 4201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
109adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
111, 10ssdf 45080 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
128, 11ssexd 5324 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
13 eqid 2737 . . . 4 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
147, 12, 13subsalsal 46374 . . 3 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
15 qct 45373 . . . 4 ℚ ≼ ω
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ≼ ω)
1714adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
18 qex 13003 . . . . . . 7 ℚ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
205a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
2118rabex 5339 . . . . . . . . 9 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
2320, 22fvmpt2d 7029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
2523, 24eqsstrdi 4028 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ⊆ ℚ)
26 ssdomg 9040 . . . . . 6 (ℚ ∈ V → ((𝐾𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾𝑝) ≼ ℚ))
2719, 25, 26sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ℚ)
2815a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29 domtr 9047 . . . . 5 (((𝐾𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾𝑝) ≼ ω)
31 inrab 4316 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)}
3214ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
33 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑝 ∈ ℚ
341, 33nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑝 ∈ ℚ)
35 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑥 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)
3634, 35nfan 1899 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝))
377ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
3810, 2syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3938ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40 smfaddlem2.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
417, 40, 11sssmfmpt 46765 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4241ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43 qre 12995 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
4443ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
4536, 37, 39, 42, 44smfpimltmpt 46761 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
46 elinel2 4202 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
4847, 3syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4948ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50 smfaddlem2.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
511, 47ssdf 45080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
527, 50, 51sssmfmpt 46765 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5352ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5443ssriv 3987 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ
5525sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
5654, 55sselid 3981 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
5736, 37, 49, 53, 56smfpimltmpt 46761 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5832, 45, 57salincld 46367 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
5931, 58eqeltrrid 2846 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6017, 30, 59saliuncl 46338 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
6114, 16, 60saliuncl 46338 . 2 (𝜑 𝑝 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐾𝑝){𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
626, 61eqeltrd 2841 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  cr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  cq 12990  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfadd  46780
  Copyright terms: Public domain W3C validator