Theorem smfaddlem2 47506

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfaddlem2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		smfaddlem2.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		smfaddlem2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
5		smfaddlem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
6	1, 2, 3, 4, 5	smfaddlem1 47505	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
7		smfaddlem2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfaddlem2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elinel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	1, 10	ssdf 45823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	ssexd 5294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
14	7, 12, 13	subsalsal 47101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
15		qct 46106	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ω
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ≼ ω)
17	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
18		qex 12991	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
20	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
21	18	rabex 5308	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
23	20, 22	fvmpt2d 7003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
25	23, 24	eqsstrdi 3980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ)
26		ssdomg 8995	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ V → ((𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ))
27	19, 25, 26	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ)
28	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29		domtr 9002	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
30	27, 28, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
31		inrab 4268	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
32	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33		nfv 1943	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑝 ∈ ℚ
34	1, 33	nfan 1928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ)
35		nfv 1943	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)
36	34, 35	nfan 1928	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
37	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	10, 2	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ad4ant14 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		smfaddlem2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	7, 40, 11	sssmfmpt 47492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43		qre 12983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
44	43	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39, 42, 44	smfpimltmpt 47488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46		elinel2 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
47	46	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
48	47, 3	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	48	ad4ant14 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50		smfaddlem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
51	1, 47	ssdf 45823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
52	7, 50, 51	sssmfmpt 47492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
53	52	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54	43	ssriv 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	25	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
56	54, 55	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	36, 37, 49, 53, 56	smfpimltmpt 47488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
58	32, 45, 57	salincld 47094	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
59	31, 58	eqeltrrid 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
60	17, 30, 59	saliuncl 47065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
61	14, 16, 60	saliuncl 47065	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
62	6, 61	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≼ cdom 8939  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11249  ℚcq 12978   ↾_t crest 17479  SAlgcsalg 47050  SMblFncsmblfn 47437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cc 10425  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-rest 17481  df-salg 47051  df-smblfn 47438

This theorem is used by:  smfadd  47507