Theorem smfaddlem2 46779

Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfaddlem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfaddlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfaddlem2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfaddlem2.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfaddlem2.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.7	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfaddlem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfaddlem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝐵,𝑝,𝑞   𝐶,𝑝,𝑞,𝑥   𝐷,𝑝,𝑞   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑝,𝑞   𝑆,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑝)   𝑉(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smfaddlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem2.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfaddlem2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		smfaddlem2.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		smfaddlem2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
5		smfaddlem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
6	1, 2, 3, 4, 5	smfaddlem1 46778	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} = ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)})
7		smfaddlem2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfaddlem2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		elinel1 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11	1, 10	ssdf 45080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	ssexd 5324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ V)
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶))
14	7, 12, 13	subsalsal 46374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
15		qct 45373	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ω
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ≼ ω)
17	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
18		qex 13003	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ∈ V)
20	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅}))
21	18	rabex 5339	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ∈ V)
23	20, 22	fvmpt2d 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅})
24		ssrab2 4080	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑅} ⊆ ℚ
25	23, 24	eqsstrdi 4028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ)
26		ssdomg 9040	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ∈ V → ((𝐾‘𝑝) ⊆ ℚ → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ))
27	19, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ℚ)
28	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ℚ ≼ ω)
29		domtr 9047	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑝) ≼ ℚ ∧ ℚ ≼ ω) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐾‘𝑝) ≼ ω)
31		inrab 4316	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) = {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)}
32	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ SAlg)
33		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑝 ∈ ℚ
34	1, 33	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ)
35		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)
36	34, 35	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝))
37	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	10, 2	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
40		smfaddlem2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
41	7, 40, 11	sssmfmpt 46765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
43		qre 12995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → 𝑝 ∈ ℝ)
44	43	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
45	36, 37, 39, 42, 44	smfpimltmpt 46761	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
46		elinel2 4202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
48	47, 3	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
49	48	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
50		smfaddlem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
51	1, 47	ssdf 45080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
52	7, 50, 51	sssmfmpt 46765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
54	43	ssriv 3987	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
55	25	sselda 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℚ)
56	54, 55	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → 𝑞 ∈ ℝ)
57	36, 37, 49, 53, 56	smfpimltmpt 46761	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
58	32, 45, 57	salincld 46367	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → ({𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐵 < 𝑝} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ 𝐷 < 𝑞}) ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
59	31, 58	eqeltrrid 2846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝)) → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
60	17, 30, 59	saliuncl 46338	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
61	14, 16, 60	saliuncl 46338	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑝 ∈ ℚ ∪ 𝑞 ∈ (𝐾‘𝑝){𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 < 𝑝 ∧ 𝐷 < 𝑞)} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))
62	6, 61	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≼ cdom 8983  ℝcr 11154   + caddc 11158   < clt 11295  ℚcq 12990   ↾_t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfadd  46780