Theorem cnfrrnsmf 46186

Description: A function, continuous from the standard topology on the space of n-dimensional reals to the standard topology on the reals, is Borel measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfrrnsmf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
cnfrrnsmf.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
cnfrrnsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfrrnsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfrrnsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfrrnsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Proof of Theorem cnfrrnsmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfrrnsmf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		cnfrrnsmf.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
3	2	rrxtop 45724	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		cnfrrnsmf.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
6		cnfrrnsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
7		cnfrrnsmf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
8	4, 5, 6, 7	cnfsmf 46175	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  dom cdm 5682  ran crn 5683  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  (,)cioo 13366   ↾_t crest 17411  TopOpenctopn 17412  topGenctg 17428  Topctop 22823   Cn ccn 23156  ℝ^crrx 25339  SalGencsalgen 45747  SMblFncsmblfn 46130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-field 20641  df-abv 20711  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lmhm 20921  df-lvec 21002  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-refld 21551  df-phl 21572  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cn 23159  df-xms 24254  df-ms 24255  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-tng 24521  df-nrg 24522  df-nlm 24523  df-clm 25018  df-cph 25124  df-tcph 25125  df-rrx 25341  df-salg 45744  df-salgen 45748  df-smblfn 46131

This theorem is referenced by: (None)