Theorem xrinfmss 13285

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmsslem 13283	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		ssdifss 4134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
4		3orass 1090	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
5		pnfex 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ V
6	5	snid 4663	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ {+∞}
7		elndif 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {+∞} → ¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))
8		biorf 935	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) → (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
10	9	orbi2i 911	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
11	4, 10	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
12	3, 11	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
13		xrinfmsslem 13283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
14	2, 12, 13	syl2anc2 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
15		xrinfmexpnf 13281	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
16	5	snss 4788	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ {+∞} ⊆ 𝐴)
17		undif 4480	. . . . . . . 8 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴)
18		uncom 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})
19	18	eqeq1i 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
20	17, 19	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
21	16, 20	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
22		raleq 3322	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
23		rexeq 3321	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
24	23	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
25	24	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
26	22, 25	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
27	21, 26	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
28	27	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
29	15, 28	imbitrid 243	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
30	14, 29	mpan9 507	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
31		ssxr 11279	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
32		df-3or 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
33		or32 924	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
34	32, 33	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
35	31, 34	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
36	1, 30, 35	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ℝcr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  xrinfmss2  13286  infxrcl  13308  infxrlb  13309  infxrgelb  13310  xrge0infss  31960  infxrglb  44036  infxrunb2  44064