Theorem xrinfmss 13260

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmsslem 13258	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		ssdifss 4077	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
4		3orass 1095	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
5		pnfex 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ V
6	5	snid 4601	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ {+∞}
7		elndif 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {+∞} → ¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))
8		biorf 942	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) → (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
10	9	orbi2i 918	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
11	4, 10	bitr4i 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
12	3, 11	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
13		xrinfmsslem 13258	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
14	2, 12, 13	syl2anc2 591	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
15		xrinfmexpnf 13256	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
16	5	snss 4723	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ {+∞} ⊆ 𝐴)
17		undif 4417	. . . . . . . 8 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴)
18		uncom 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})
19	18	eqeq1i 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
20	17, 19	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
21	16, 20	bitri 276	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
22		raleq 3295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
23		rexeq 3294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
24	23	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
25	24	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
26	22, 25	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
27	21, 26	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
28	27	rexbidv 3164	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
29	15, 28	imbitrid 245	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
30	14, 29	mpan9 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
31		ssxr 11213	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
32		df-3or 1093	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
33		or32 931	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
34	32, 33	bitri 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
35	31, 34	sylib 219	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
36	1, 30, 35	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079  ℝcr 11035  +∞cpnf 11174  -∞cmnf 11175  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  xrinfmss2  13261  infxrcl  13284  infxrlb  13285  infxrgelb  13286  xrge0infss  32859  infxrglb  45792  infxrunb2  45819