Theorem xrinfmss 12691

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmsslem 12689	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		ssdifss 4063	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 10699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
4		3orass 1087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
5		pnfex 10683	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ V
6	5	snid 4561	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ {+∞}
7		elndif 4056	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {+∞} → ¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))
8		biorf 934	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) → (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
10	9	orbi2i 910	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
11	4, 10	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
12	3, 11	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
13		xrinfmsslem 12689	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
14	2, 12, 13	syl2anc2 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
15		xrinfmexpnf 12687	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
16	5	snss 4679	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ {+∞} ⊆ 𝐴)
17		undif 4388	. . . . . . . 8 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴)
18		uncom 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})
19	18	eqeq1i 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
20	17, 19	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
21	16, 20	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
22		raleq 3358	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
23		rexeq 3359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
24	23	imbi2d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
25	24	ralbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
26	22, 25	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
27	21, 26	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
28	27	rexbidv 3256	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
29	15, 28	syl5ib 247	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
30	14, 29	mpan9 510	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
31		ssxr 10699	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
32		df-3or 1085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
33		or32 923	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
34	32, 33	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
35	31, 34	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
36	1, 30, 35	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  xrinfmss2  12692  infxrcl  12714  infxrlb  12715  infxrgelb  12716  xrge0infss  30510  infxrglb  41972  infxrunb2  42000