Theorem xrinfmss 13443

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmsslem 13441	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		ssdifss 4076	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11382	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
4		3orass 1106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
5		pnfex 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ V
6	5	snid 4619	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ {+∞}
7		elndif 4069	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {+∞} → ¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))
8		biorf 950	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) → (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
10	9	orbi2i 926	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
11	4, 10	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
12	3, 11	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
13		xrinfmsslem 13441	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
14	2, 12, 13	syl2anc2 597	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
15		xrinfmexpnf 13439	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
16	5	snss 4741	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ {+∞} ⊆ 𝐴)
17		undif 4437	. . . . . . . 8 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴)
18		uncom 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})
19	18	eqeq1i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
20	17, 19	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
21	16, 20	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
22		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
23		rexeq 3315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
24	23	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
25	24	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
26	22, 25	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
27	21, 26	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
28	27	rexbidv 3186	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
29	15, 28	imbitrid 247	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
30	14, 29	mpan9 516	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
31		ssxr 11382	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
32		df-3or 1104	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
33		or32 939	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
34	32, 33	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
35	31, 34	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
36	1, 30, 35	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4584   class class class wbr 5102  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343  -∞cmnf 11344  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by:  xrinfmss2  13444  infxrcl  13467  infxrlb  13468  infxrgelb  13469  xrge0infss  33398  infxrglb  46445  infxrunb2  46472