Theorem xrinfmss 13310

Description: Any subset of extended reals has an infimum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrinfmss	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem xrinfmss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrinfmsslem 13308	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
2		ssdifss 4093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
3		ssxr 11249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
4		3orass 1100	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
5		pnfex 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ V
6	5	snid 4620	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ {+∞}
7		elndif 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {+∞} → ¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))
8		biorf 947	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) → (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ↔ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
10	9	orbi2i 923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))))
11	4, 10	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})) ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
12	3, 11	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞})))
13		xrinfmsslem 13308	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ (𝐴 ∖ {+∞}))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
14	2, 12, 13	syl2anc2 594	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
15		xrinfmexpnf 13306	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)))
16	5	snss 4742	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ {+∞} ⊆ 𝐴)
17		undif 4435	. . . . . . . 8 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴)
18		uncom 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ ({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})
19	18	eqeq1i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (({+∞} ∪ (𝐴 ∖ {+∞})) = 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
20	17, 19	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ({+∞} ⊆ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
21	16, 20	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 ↔ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
22		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
23		rexeq 3315	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
24	23	imbi2d 342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
25	24	ralbidv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
26	22, 25	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
27	21, 26	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
28	27	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞})𝑧 < 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
29	15, 28	imbitrid 246	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {+∞}) ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {+∞})𝑧 < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))))
30	14, 29	mpan9 514	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
31		ssxr 11249	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
32		df-3or 1098	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴))
33		or32 936	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴) ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
34	32, 33	bitri 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
35	31, 34	sylib 220	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ +∞ ∈ 𝐴))
36	1, 30, 35	mpjaodan 971	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4581   class class class wbr 5099  ℝcr 11069  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  xrinfmss2  13311  infxrcl  13334  infxrlb  13335  infxrgelb  13336  xrge0infss  32912  infxrglb  45880  infxrunb2  45907