Theorem trlne 41243

Description: The trace of a lattice translation is not equal to any atom not under the fiducial co-atom 𝑊. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlne.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlne	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))

Proof of Theorem trlne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1221	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
2		trlne.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		trlne.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlne.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlne.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlle 41242	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
7	6	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
8		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑃 = (𝑅‘𝐹) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊))
9	7, 8	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 = (𝑅‘𝐹) → 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	necon3bd 2969	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹)))
11	1, 10	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  lecple 17435  Atomscatm 40321  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  trLctrl 41216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217

This theorem is used by:  trlnle  41244