Theorem trlne 40187

Description: The trace of a lattice translation is not equal to any atom not under the fiducial co-atom 𝑊. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlne.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlne.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlne.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlne	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))

Proof of Theorem trlne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
2		trlne.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		trlne.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlne.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlne.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlle 40186	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
7	6	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
8		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (𝑃 = (𝑅‘𝐹) → (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊))
9	7, 8	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 = (𝑅‘𝐹) → 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	necon3bd 2954	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹)))
11	1, 10	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≠ (𝑅‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161

This theorem is referenced by:  trlnle  40188