Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlne 38238
Description: The trace of a lattice translation is not equal to any atom not under the fiducial co-atom π‘Š. Part of proof of Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlne.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlne.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlne.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlne.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlne.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlne (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ))

Proof of Theorem trlne
StepHypRef Expression
1 simp3r 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
2 trlne.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 trlne.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 trlne.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 trlne.r . . . . . 6 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5trlle 38237 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
763adant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
8 breq1 5084 . . . 4 (𝑃 = (π‘…β€˜πΉ) β†’ (𝑃 ≀ π‘Š ↔ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š))
97, 8syl5ibrcom 248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 = (π‘…β€˜πΉ) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
109necon3bd 2955 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
111, 10mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6454  lecple 17010  Atomscatm 37316  HLchlt 37403  LHypclh 38037  LTrncltrn 38154  trLctrl 38211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-map 8644  df-proset 18054  df-poset 18072  df-plt 18089  df-lub 18105  df-glb 18106  df-join 18107  df-meet 18108  df-p0 18184  df-p1 18185  df-lat 18191  df-oposet 37229  df-ol 37231  df-oml 37232  df-covers 37319  df-ats 37320  df-atl 37351  df-cvlat 37375  df-hlat 37404  df-lhyp 38041  df-laut 38042  df-ldil 38157  df-ltrn 38158  df-trl 38212
This theorem is referenced by:  trlnle  38239
  Copyright terms: Public domain W3C validator