Theorem trlle 40163

Description: The trace of a lattice translation is less than the fiducial co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlle.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem trlle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		trlle.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 39997	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9		trlle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlle.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	1, 7, 8, 3, 4, 9, 10	trlval2 40142	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
12	6, 11	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13		hllat 39341	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlop 39340	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18	17, 4	lhpbase 39977	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20	17, 2	opoccl 39172	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 4, 9	ltrncl 40104	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23	21, 22	mpd3an3 1464	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
24	17, 7	latjcl 18363	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
26	17, 1, 8	latmle2 18389	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
27	14, 25, 19, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
28	12, 27	eqbrtrd 5117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  occoc 17187  joincjn 18235  meetcmee 18236  Latclat 18355  OPcops 39150  Atomscatm 39241  HLchlt 39328  LHypclh 39963  LTrncltrn 40080  trLctrl 40137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-oposet 39154  df-ol 39156  df-oml 39157  df-covers 39244  df-ats 39245  df-atl 39276  df-cvlat 39300  df-hlat 39329  df-lhyp 39967  df-laut 39968  df-ldil 40083  df-ltrn 40084  df-trl 40138

This theorem is referenced by:  trlne  40164  cdlemc5  40174  cdlemg6c  40599  cdlemg10c  40618  cdlemg10  40620  cdlemg17dALTN  40643  cdlemg27a  40671  cdlemg31b0N  40673  cdlemg31b0a  40674  cdlemg27b  40675  cdlemg31c  40678  cdlemg35  40692  cdlemh2  40795  cdlemh  40796  cdlemk3  40812  cdlemk9  40818  cdlemk9bN  40819  cdlemk10  40822  cdlemk12  40829  cdlemk14  40833  cdlemk12u  40851  cdlemkfid1N  40900  cdlemk47  40928  dia1N  41032  dia1dim  41040  dia2dimlem1  41043  dia2dimlem10  41052  dib1dim  41144  cdlemn2a  41175  dih1dimb  41219  dihopelvalcpre  41227  dihwN  41268  dihglblem5apreN  41270  dih1dimatlem  41308