Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlle 37200
Description: The trace of a lattice translation is less than the fiducial co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlle.l = (le‘𝐾)
trlle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlle.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlle.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)

Proof of Theorem trlle
StepHypRef Expression
1 trlle.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 eqid 2818 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 eqid 2818 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 trlle.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 37034 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
65adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
7 eqid 2818 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8 eqid 2818 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9 trlle.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trlle.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
111, 7, 8, 3, 4, 9, 10trlval2 37179 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
126, 11mpd3an3 1453 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13 hllat 36379 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 722 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 hlop 36378 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1817, 4lhpbase 37014 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1918ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2017, 2opoccl 36210 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2116, 19, 20syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2217, 4, 9ltrncl 37141 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
2321, 22mpd3an3 1453 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
2417, 7latjcl 17649 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
2514, 21, 23, 24syl3anc 1363 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
2617, 1, 8latmle2 17675 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
2714, 25, 19, 26syl3anc 1363 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
2812, 27eqbrtrd 5079 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  occoc 16561  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  OPcops 36188  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  trlne  37201  cdlemc5  37211  cdlemg6c  37636  cdlemg10c  37655  cdlemg10  37657  cdlemg17dALTN  37680  cdlemg27a  37708  cdlemg31b0N  37710  cdlemg31b0a  37711  cdlemg27b  37712  cdlemg31c  37715  cdlemg35  37729  cdlemh2  37832  cdlemh  37833  cdlemk3  37849  cdlemk9  37855  cdlemk9bN  37856  cdlemk10  37859  cdlemk12  37866  cdlemk14  37870  cdlemk12u  37888  cdlemkfid1N  37937  cdlemk47  37965  dia1N  38069  dia1dim  38077  dia2dimlem1  38080  dia2dimlem10  38089  dib1dim  38181  cdlemn2a  38212  dih1dimb  38256  dihopelvalcpre  38264  dihwN  38305  dihglblem5apreN  38307  dih1dimatlem  38345
  Copyright terms: Public domain W3C validator