Theorem trlle 40440

Description: The trace of a lattice translation is less than the fiducial co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlle.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem trlle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		trlle.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 40274	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9		trlle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlle.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	1, 7, 8, 3, 4, 9, 10	trlval2 40419	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
12	6, 11	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13		hllat 39619	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlop 39618	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18	17, 4	lhpbase 40254	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20	17, 2	opoccl 39450	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 4, 9	ltrncl 40381	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23	21, 22	mpd3an3 1464	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
24	17, 7	latjcl 18362	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
26	17, 1, 8	latmle2 18388	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
27	14, 25, 19, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
28	12, 27	eqbrtrd 5120	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  lecple 17184  occoc 17185  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354  OPcops 39428  Atomscatm 39519  HLchlt 39606  LHypclh 40240  LTrncltrn 40357  trLctrl 40414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-lhyp 40244  df-laut 40245  df-ldil 40360  df-ltrn 40361  df-trl 40415

This theorem is referenced by:  trlne  40441  cdlemc5  40451  cdlemg6c  40876  cdlemg10c  40895  cdlemg10  40897  cdlemg17dALTN  40920  cdlemg27a  40948  cdlemg31b0N  40950  cdlemg31b0a  40951  cdlemg27b  40952  cdlemg31c  40955  cdlemg35  40969  cdlemh2  41072  cdlemh  41073  cdlemk3  41089  cdlemk9  41095  cdlemk9bN  41096  cdlemk10  41099  cdlemk12  41106  cdlemk14  41110  cdlemk12u  41128  cdlemkfid1N  41177  cdlemk47  41205  dia1N  41309  dia1dim  41317  dia2dimlem1  41320  dia2dimlem10  41329  dib1dim  41421  cdlemn2a  41452  dih1dimb  41496  dihopelvalcpre  41504  dihwN  41545  dihglblem5apreN  41547  dih1dimatlem  41585