Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | trlle.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(ocβπΎ) =
(ocβπΎ) |
3 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(AtomsβπΎ) =
(AtomsβπΎ) |
4 | | trlle.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | 1, 2, 3, 4 | lhpocnel 38484 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β (((ocβπΎ)βπ) β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ ((ocβπΎ)βπ) β€ π)) |
6 | 5 | adantr 482 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (((ocβπΎ)βπ) β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ ((ocβπΎ)βπ) β€ π)) |
7 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
8 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
9 | | trlle.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | | trlle.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
11 | 1, 7, 8, 3, 4, 9, 10 | trlval2 38629 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (((ocβπΎ)βπ) β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ ((ocβπΎ)βπ) β€ π)) β (π
βπΉ) = ((((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ)))(meetβπΎ)π)) |
12 | 6, 11 | mpd3an3 1463 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) = ((((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ)))(meetβπΎ)π)) |
13 | | hllat 37828 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
14 | 13 | ad2antrr 725 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΎ β Lat) |
15 | | hlop 37827 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
16 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΎ β OP) |
17 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
18 | 17, 4 | lhpbase 38464 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 18 | ad2antlr 726 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 17, 2 | opoccl 37659 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OP β§ π β (BaseβπΎ)) β ((ocβπΎ)βπ) β (BaseβπΎ)) |
21 | 16, 19, 20 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((ocβπΎ)βπ) β (BaseβπΎ)) |
22 | 17, 4, 9 | ltrncl 38591 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((ocβπΎ)βπ) β (BaseβπΎ)) β (πΉβ((ocβπΎ)βπ)) β (BaseβπΎ)) |
23 | 21, 22 | mpd3an3 1463 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (πΉβ((ocβπΎ)βπ)) β (BaseβπΎ)) |
24 | 17, 7 | latjcl 18329 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§
((ocβπΎ)βπ) β (BaseβπΎ) β§ (πΉβ((ocβπΎ)βπ)) β (BaseβπΎ)) β (((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ))) β (BaseβπΎ)) |
25 | 14, 21, 23, 24 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ))) β (BaseβπΎ)) |
26 | 17, 1, 8 | latmle2 18355 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§
(((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ))) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ)))(meetβπΎ)π) β€ π) |
27 | 14, 25, 19, 26 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((((ocβπΎ)βπ)(joinβπΎ)(πΉβ((ocβπΎ)βπ)))(meetβπΎ)π) β€ π) |
28 | 12, 27 | eqbrtrd 5128 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |