Theorem trscott 35818

Description: The Scott's trick set of a transitive class is also transitive. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
trscott	⊢ (Tr 𝐴 → Tr Scott 𝐴)

Proof of Theorem trscott

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1tr 9790	. . 3 ⊢ Tr (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))
2		trin 5223	. . 3 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ Tr (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))) → Tr (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))))
4		dfscott3 35803	. . 3 ⊢ Scott 𝐴 = (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴)))
5		treq 5218	. . 3 ⊢ (Scott 𝐴 = (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))) → (Tr Scott 𝐴 ↔ Tr (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴)))))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Tr Scott 𝐴 ↔ Tr (𝐴 ∩ (𝑅1‘suc ∩ (rank “ 𝐴))))
7	3, 6	sylibr 237	1 ⊢ (Tr 𝐴 → Tr Scott 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∩ cin 4088  ∩ cint 4906  Tr wtr 5211   “ cima 5654  suc csuc 6367  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9773  rankcrnk 9774  Scott cscott 9935

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-reg 9593  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-r1 9775  df-rank 9776  df-scott 9936

This theorem is used by: (None)