Theorem unirnffid 9364

Description: The union of the range of a function from a finite set into the class of finite sets is finite. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirnffid.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
unirnffid.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unirnffid	⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem unirnffid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnffid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
2	1	ffnd 6732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
3		unirnffid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
4		fnfi 9221	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
6		rnfi 9357	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ran 𝐹 ∈ Fin)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
8	1	frnd 6740	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ Fin)
9		unifi 9361	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ Fin) → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  Fincfn 9001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-1o 8504  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005

This theorem is used by:  marypha2  9458  acsinfd  18759