Theorem unirnffid 9368

Description: The union of the range of a function from a finite set into the class of finite sets is finite. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirnffid.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
unirnffid.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unirnffid	⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem unirnffid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnffid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
2	1	ffnd 6718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
3		unirnffid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
4		fnfi 9204	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
6		rnfi 9359	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ran 𝐹 ∈ Fin)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
8	1	frnd 6725	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ Fin)
9		unifi 9365	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ Fin) → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)
10	7, 8, 9	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4903  ran crn 5673   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  Fincfn 8962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-fin 8966

This theorem is referenced by:  marypha2  9462  acsinfd  18547