Theorem unirnffid 9314

Description: The union of the range of a function from a finite set into the class of finite sets is finite. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
unirnffid.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
unirnffid.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
unirnffid	⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem unirnffid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unirnffid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶Fin)
2	1	ffnd 6698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑇)
3		unirnffid.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Fin)
4		fnfi 9171	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑇 ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
6		rnfi 9307	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ran 𝐹 ∈ Fin)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
8	1	frnd 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ Fin)
9		unifi 9311	. 2 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊆ Fin) → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)
10	7, 8, 9	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4866  ran crn 5648   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  Fincfn 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-1o 8454  df-en 8952  df-dom 8953  df-fin 8955

This theorem is used by:  marypha2  9409  acsinfd  18692