MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc 15873
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑠

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 9384 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 hashcl 14395 . . . 4 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℕ0)
32nn0cnd 12589 . . 3 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 pwfi 9357 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
75, 6sylib 218 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8 diffi 9215 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
10 1cnd 11256 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 11607 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -1 ∈ ℂ)
12 eldifsni 4790 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ≠ ∅)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ≠ ∅)
14 eldifi 4131 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
15 elpwi 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠𝐴)
17 ssfi 9213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
185, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
19 hashnncl 14405 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2113, 20mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 12567 . . . . . 6 ((♯‘𝑠) ∈ ℕ → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2411, 23expcld 14186 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) ∈ ℂ)
2516adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠𝐴)
26 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝐴 ⊆ Fin)
2725, 26sstrd 3994 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ⊆ Fin)
28 unifi 9384 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2918, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
30 intssuni 4970 . . . . . . . 8 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
3113, 30syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝑠)
3229, 31ssfid 9301 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
33 hashcl 14395 . . . . . 6 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12589 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
3624, 35mulcld 11281 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
379, 36fsumcl 15769 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
38 disjdif 4472 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅)
40 0elpw 5356 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
41 snssi 4808 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {∅} ⊆ 𝒫 𝐴)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ⊆ 𝒫 𝐴
43 undif 4482 . . . . . . 7 ({∅} ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴)
4442, 43mpbi 230 . . . . . 6 ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴
4544eqcomi 2746 . . . . 5 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4645a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
47 1cnd 11256 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4847negcld 11607 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → -1 ∈ ℂ)
495, 15, 17syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
50 hashcl 14395 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5248, 51expcld 14186 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
531adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
54 inss1 4237 . . . . . . . 8 ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴
55 ssfi 9213 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
57 hashcl 14395 . . . . . . 7 (( 𝐴 𝑠) ∈ Fin → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12589 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℂ)
6052, 59mulcld 11281 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) ∈ ℂ)
6139, 46, 7, 60fsumsplit 15777 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
62 inidm 4227 . . . . . . 7 ( 𝐴 𝐴) = 𝐴
6362fveq2i 6909 . . . . . 6 (♯‘( 𝐴 𝐴)) = (♯‘ 𝐴)
6463oveq2i 7442 . . . . 5 ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴))
654subidd 11608 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴)) = 0)
6664, 65eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = 0)
67 incexclem 15872 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
681, 67syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
6966, 68eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 0 = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
704, 37negsubd 11626 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))))
71 0ex 5307 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
72 1cnd 11256 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 1 ∈ ℂ)
7372, 4mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ)
74 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
75 hash0 14406 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7674, 75eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
78 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
79 exp0 14106 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (-1↑0) = 1
8177, 80eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
82 rint0 4988 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → ( 𝐴 𝑠) = 𝐴)
8382fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝐴))
8481, 83oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8584sumsn 15782 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8671, 73, 85sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
874mullidd 11279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) = (♯‘ 𝐴))
8886, 87eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
899, 36fsumneg 15823 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
90 expm1t 14131 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9111, 21, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9224, 11mulcomd 11282 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))))
9324mulm1d 11715 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9491, 92, 933eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9525unissd 4917 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
9631, 95sstrd 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
97 sseqin2 4223 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑠 𝐴 ↔ ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9896, 97sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9998fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝑠))
10094, 99oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
10124, 35mulneg1d 11716 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
102100, 101eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
103102sumeq2dv 15738 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10489, 103eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10588, 104oveq12d 7449 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10670, 105eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10761, 69, 1063eqtr4rd 2788 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = 0)
1084, 37, 107subeq0d 11628 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   cuni 4907   cint 4946  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cexp 14102  chash 14369  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  incexc2  15874
  Copyright terms: Public domain W3C validator