MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc 15401
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑠

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 8965 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 hashcl 13923 . . . 4 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℕ0)
32nn0cnd 12152 . . 3 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
5 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 pwfi 8856 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
75, 6sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8 diffi 8906 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
10 1cnd 10828 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 11176 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -1 ∈ ℂ)
12 eldifsni 4703 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ≠ ∅)
1312adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ≠ ∅)
14 eldifi 4041 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
15 elpwi 4522 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠𝐴)
17 ssfi 8851 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
185, 16, 17syl2an 599 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
19 hashnncl 13933 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2113, 20mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 12131 . . . . . 6 ((♯‘𝑠) ∈ ℕ → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2411, 23expcld 13716 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) ∈ ℂ)
2516adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠𝐴)
26 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝐴 ⊆ Fin)
2725, 26sstrd 3911 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ⊆ Fin)
28 unifi 8965 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2918, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
30 intssuni 4881 . . . . . . . 8 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
3113, 30syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝑠)
3229, 31ssfid 8898 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
33 hashcl 13923 . . . . . 6 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12152 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
3624, 35mulcld 10853 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
379, 36fsumcl 15297 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
38 disjdif 4386 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅)
40 0elpw 5247 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
41 snssi 4721 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {∅} ⊆ 𝒫 𝐴)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ⊆ 𝒫 𝐴
43 undif 4396 . . . . . . 7 ({∅} ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴)
4442, 43mpbi 233 . . . . . 6 ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴
4544eqcomi 2746 . . . . 5 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4645a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
47 1cnd 10828 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4847negcld 11176 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → -1 ∈ ℂ)
495, 15, 17syl2an 599 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
50 hashcl 13923 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5248, 51expcld 13716 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
531adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
54 inss1 4143 . . . . . . . 8 ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴
55 ssfi 8851 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
5653, 54, 55sylancl 589 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
57 hashcl 13923 . . . . . . 7 (( 𝐴 𝑠) ∈ Fin → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12152 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℂ)
6052, 59mulcld 10853 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) ∈ ℂ)
6139, 46, 7, 60fsumsplit 15305 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
62 inidm 4133 . . . . . . 7 ( 𝐴 𝐴) = 𝐴
6362fveq2i 6720 . . . . . 6 (♯‘( 𝐴 𝐴)) = (♯‘ 𝐴)
6463oveq2i 7224 . . . . 5 ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴))
654subidd 11177 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴)) = 0)
6664, 65syl5eq 2790 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = 0)
67 incexclem 15400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
681, 67syldan 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
6966, 68eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 0 = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
704, 37negsubd 11195 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))))
71 0ex 5200 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
72 1cnd 10828 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 1 ∈ ℂ)
7372, 4mulcld 10853 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ)
74 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
75 hash0 13934 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7674, 75eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
7776oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
78 neg1cn 11944 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
79 exp0 13639 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (-1↑0) = 1
8177, 80eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
82 rint0 4901 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → ( 𝐴 𝑠) = 𝐴)
8382fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝐴))
8481, 83oveq12d 7231 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8584sumsn 15310 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8671, 73, 85sylancr 590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
874mulid2d 10851 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) = (♯‘ 𝐴))
8886, 87eqtr2d 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
899, 36fsumneg 15351 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
90 expm1t 13663 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9111, 21, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9224, 11mulcomd 10854 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))))
9324mulm1d 11284 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9491, 92, 933eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9525unissd 4829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
9631, 95sstrd 3911 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
97 sseqin2 4130 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑠 𝐴 ↔ ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9896, 97sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9998fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝑠))
10094, 99oveq12d 7231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
10124, 35mulneg1d 11285 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
102100, 101eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
103102sumeq2dv 15267 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10489, 103eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10588, 104oveq12d 7231 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10670, 105eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10761, 69, 1063eqtr4rd 2788 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = 0)
1084, 37, 107subeq0d 11197 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   cuni 4819   cint 4859  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  -cneg 11063  cn 11830  0cn0 12090  cexp 13635  chash 13896  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250
This theorem is referenced by:  incexc2  15402
  Copyright terms: Public domain W3C validator