MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc 15783
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘ 

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 9341 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
2 hashcl 14316 . . . 4 (โˆช ๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„•0)
32nn0cnd 12534 . . 3 (โˆช ๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„‚)
41, 3syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
6 pwfi 9178 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
75, 6sylib 217 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin)
8 diffi 9179 . . . 4 (๐’ซ ๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) โˆˆ Fin)
97, 8syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) โˆˆ Fin)
10 1cnd 11209 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1110negcld 11558 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
12 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) โ†’ ๐‘  โ‰  โˆ…)
1312adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ๐‘  โ‰  โˆ…)
14 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด)
15 elpwi 4610 . . . . . . . . . 10 (๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
17 ssfi 9173 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
185, 16, 17syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
19 hashnncl 14326 . . . . . . . 8 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘  โ‰  โˆ…))
2113, 20mpbird 257 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•)
22 nnm1nn0 12513 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„• โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2411, 23expcld 14111 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2516adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ๐‘  โŠ† ๐ด)
26 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ๐ด โŠ† Fin)
2725, 26sstrd 3993 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ๐‘  โŠ† Fin)
28 unifi 9341 . . . . . . . 8 ((๐‘  โˆˆ Fin โˆง ๐‘  โŠ† Fin) โ†’ โˆช ๐‘  โˆˆ Fin)
2918, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ โˆช ๐‘  โˆˆ Fin)
30 intssuni 4975 . . . . . . . 8 (๐‘  โ‰  โˆ… โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
3113, 30syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐‘ )
3229, 31ssfid 9267 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin)
33 hashcl 14316 . . . . . 6 (โˆฉ ๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
3432, 33syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
3534nn0cnd 12534 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ โ„‚)
3624, 35mulcld 11234 . . 3 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
379, 36fsumcl 15679 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
38 disjdif 4472 . . . . 5 ({โˆ…} โˆฉ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) = โˆ…
3938a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ({โˆ…} โˆฉ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) = โˆ…)
40 0elpw 5355 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ ๐’ซ ๐ด
41 snssi 4812 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ ๐’ซ ๐ด โ†’ {โˆ…} โŠ† ๐’ซ ๐ด)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 {โˆ…} โŠ† ๐’ซ ๐ด
43 undif 4482 . . . . . . 7 ({โˆ…} โŠ† ๐’ซ ๐ด โ†” ({โˆ…} โˆช (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) = ๐’ซ ๐ด)
4442, 43mpbi 229 . . . . . 6 ({โˆ…} โˆช (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) = ๐’ซ ๐ด
4544eqcomi 2742 . . . . 5 ๐’ซ ๐ด = ({โˆ…} โˆช (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…}))
4645a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ๐’ซ ๐ด = ({โˆ…} โˆช (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})))
47 1cnd 11209 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4847negcld 11558 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
495, 15, 17syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ๐‘  โˆˆ Fin)
50 hashcl 14316 . . . . . . 7 (๐‘  โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•0)
5248, 51expcld 14111 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
531adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ โˆช ๐ด โˆˆ Fin)
54 inss1 4229 . . . . . . . 8 (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โŠ† โˆช ๐ด
55 ssfi 9173 . . . . . . . 8 ((โˆช ๐ด โˆˆ Fin โˆง (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โŠ† โˆช ๐ด) โ†’ (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
5653, 54, 55sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin)
57 hashcl 14316 . . . . . . 7 ((โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„•0)
5958nn0cnd 12534 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) โˆˆ โ„‚)
6052, 59mulcld 11234 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) โˆˆ โ„‚)
6139, 46, 7, 60fsumsplit 15687 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
62 inidm 4219 . . . . . . 7 (โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด) = โˆช ๐ด
6362fveq2i 6895 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)
6463oveq2i 7420 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด))) = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด))
654subidd 11559 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)) = 0)
6664, 65eqtrid 2785 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด))) = 0)
67 incexclem 15782 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง โˆช ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
681, 67syldan 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
6966, 68eqtr3d 2775 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ 0 = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
704, 37negsubd 11577 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))) = ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))))
71 0ex 5308 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ V
72 1cnd 11209 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7372, 4mulcld 11234 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
74 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
75 hash0 14327 . . . . . . . . . . . 12 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ ) = 0)
7776oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = (-1โ†‘0))
78 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„‚
79 exp0 14031 . . . . . . . . . . 11 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (-1โ†‘0) = 1
8177, 80eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = 1)
82 rint0 4995 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = โˆช ๐ด)
8382fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘  = โˆ… โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด))
8481, 83oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘  = โˆ… โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)))
8584sumsn 15692 . . . . . . 7 ((โˆ… โˆˆ V โˆง (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)))
8671, 73, 85sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)))
874mullidd 11232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (1 ยท (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด))
8886, 87eqtr2d 2774 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
899, 36fsumneg 15733 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})-((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = -ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
90 expm1t 14056 . . . . . . . . . . 11 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆˆ โ„•) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท -1))
9111, 21, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท -1))
9224, 11mulcomd 11235 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1))))
9324mulm1d 11666 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (-1 ยท (-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1))) = -(-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)))
9491, 92, 933eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) = -(-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)))
9525unissd 4919 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ โˆช ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
9631, 95sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด)
97 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . 11 (โˆฉ ๐‘  โŠ† โˆช ๐ด โ†” (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = โˆฉ ๐‘ )
9896, 97sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ) = โˆฉ ๐‘ )
9998fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )) = (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))
10094, 99oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) = (-(-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
10124, 35mulneg1d 11667 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ (-(-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = -((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
102100, 101eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โˆง ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})) โ†’ -((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
103102sumeq2dv 15649 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})-((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
10489, 103eqtr3d 2775 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ -ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
10588, 104oveq12d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) + -ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
10670, 105eqtr3d 2775 . . 3 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))) = (ฮฃ๐‘  โˆˆ {โˆ…} ((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))) + ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐ด โˆฉ โˆฉ ๐‘ )))))
10761, 69, 1063eqtr4rd 2784 . 2 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) โˆ’ ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ ))) = 0)
1084, 37, 107subeq0d 11579 1 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629  โˆช cuni 4909  โˆฉ cint 4951  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  incexc2  15784
  Copyright terms: Public domain W3C validator