MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc 15870
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑠

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 9382 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 hashcl 14392 . . . 4 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℕ0)
32nn0cnd 12587 . . 3 ( 𝐴 ∈ Fin → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
41, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) ∈ ℂ)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 pwfi 9355 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
75, 6sylib 218 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8 diffi 9214 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∈ Fin)
10 1cnd 11254 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 1 ∈ ℂ)
1110negcld 11605 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -1 ∈ ℂ)
12 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ≠ ∅)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ≠ ∅)
14 eldifi 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
15 elpwi 4612 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝑠𝐴)
17 ssfi 9212 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
185, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
19 hashnncl 14402 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
2113, 20mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 ((♯‘𝑠) ∈ ℕ → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((♯‘𝑠) − 1) ∈ ℕ0)
2411, 23expcld 14183 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑((♯‘𝑠) − 1)) ∈ ℂ)
2516adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠𝐴)
26 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝐴 ⊆ Fin)
2725, 26sstrd 4006 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ⊆ Fin)
28 unifi 9382 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
2918, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
30 intssuni 4975 . . . . . . . 8 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
3113, 30syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝑠)
3229, 31ssfid 9299 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 ∈ Fin)
33 hashcl 14392 . . . . . 6 ( 𝑠 ∈ Fin → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
3534nn0cnd 12587 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘ 𝑠) ∈ ℂ)
3624, 35mulcld 11279 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
379, 36fsumcl 15766 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
38 disjdif 4478 . . . . 5 ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅
3938a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ({∅} ∩ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = ∅)
40 0elpw 5362 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
41 snssi 4813 . . . . . . . 8 (∅ ∈ 𝒫 𝐴 → {∅} ⊆ 𝒫 𝐴)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 {∅} ⊆ 𝒫 𝐴
43 undif 4488 . . . . . . 7 ({∅} ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴)
4442, 43mpbi 230 . . . . . 6 ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) = 𝒫 𝐴
4544eqcomi 2744 . . . . 5 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4645a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝒫 𝐴 = ({∅} ∪ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
47 1cnd 11254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4847negcld 11605 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → -1 ∈ ℂ)
495, 15, 17syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
50 hashcl 14392 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ Fin → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘𝑠) ∈ ℕ0)
5248, 51expcld 14183 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (-1↑(♯‘𝑠)) ∈ ℂ)
531adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
54 inss1 4245 . . . . . . . 8 ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴
55 ssfi 9212 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ ( 𝐴 𝑠) ⊆ 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ( 𝐴 𝑠) ∈ Fin)
57 hashcl 14392 . . . . . . 7 (( 𝐴 𝑠) ∈ Fin → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) ∈ ℂ)
6052, 59mulcld 11279 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) ∈ ℂ)
6139, 46, 7, 60fsumsplit 15774 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
62 inidm 4235 . . . . . . 7 ( 𝐴 𝐴) = 𝐴
6362fveq2i 6910 . . . . . 6 (♯‘( 𝐴 𝐴)) = (♯‘ 𝐴)
6463oveq2i 7442 . . . . 5 ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴))
654subidd 11606 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘ 𝐴)) = 0)
6664, 65eqtrid 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = 0)
67 incexclem 15869 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
681, 67syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − (♯‘( 𝐴 𝐴))) = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
6966, 68eqtr3d 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 0 = Σ𝑠 ∈ 𝒫 𝐴((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
704, 37negsubd 11624 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))))
71 0ex 5313 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
72 1cnd 11254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 1 ∈ ℂ)
7372, 4mulcld 11279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ)
74 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = (♯‘∅))
75 hash0 14403 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘∅) = 0
7674, 75eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = ∅ → (♯‘𝑠) = 0)
7776oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = (-1↑0))
78 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
79 exp0 14103 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (-1↑0) = 1
8177, 80eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (-1↑(♯‘𝑠)) = 1)
82 rint0 4993 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = ∅ → ( 𝐴 𝑠) = 𝐴)
8382fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑠 = ∅ → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝐴))
8481, 83oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8584sumsn 15779 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ (1 · (♯‘ 𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
8671, 73, 85sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (1 · (♯‘ 𝐴)))
874mullidd 11277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1 · (♯‘ 𝐴)) = (♯‘ 𝐴))
8886, 87eqtr2d 2776 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
899, 36fsumneg 15820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
90 expm1t 14128 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑠) ∈ ℕ) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9111, 21, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1))
9224, 11mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))))
9324mulm1d 11713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1 · (-1↑((♯‘𝑠) − 1))) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9491, 92, 933eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-1↑(♯‘𝑠)) = -(-1↑((♯‘𝑠) − 1)))
9525unissd 4922 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
9631, 95sstrd 4006 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → 𝑠 𝐴)
97 sseqin2 4231 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑠 𝐴 ↔ ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9896, 97sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ( 𝐴 𝑠) = 𝑠)
9998fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (♯‘( 𝐴 𝑠)) = (♯‘ 𝑠))
10094, 99oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) = (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
10124, 35mulneg1d 11714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → (-(-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
102100, 101eqtr2d 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → -((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
103102sumeq2dv 15735 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})-((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10489, 103eqtr3d 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))))
10588, 104oveq12d 7449 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) + -Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10670, 105eqtr3d 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = (Σ𝑠 ∈ {∅} ((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠))) + Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑(♯‘𝑠)) · (♯‘( 𝐴 𝑠)))))
10761, 69, 1063eqtr4rd 2786 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ((♯‘ 𝐴) − Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠))) = 0)
1084, 37, 107subeq0d 11626 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (♯‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((♯‘𝑠) − 1)) · (♯‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   cint 4951  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cexp 14099  chash 14366  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  incexc2  15871
  Copyright terms: Public domain W3C validator