Theorem unifi2 9387

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 9386 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9343). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unifi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unifi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9335	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9335	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ralimi 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
4		dfss3 3968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → 𝐴 ⊆ Fin)
6		unifi 9386	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 5, 6	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
8		fin2inf 9343	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ω ∈ V)
10		isfiniteg 9338	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
12	7, 11	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4913   class class class wbr 5153  ωcom 7876   ≺ csdm 8973  Fincfn 8974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978

This theorem is referenced by: (None)