Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifi2 8790
 Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 8789 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 8757). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
unifi2 ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω) → 𝐴 ≺ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unifi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 8752 . . 3 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 isfinite2 8752 . . . . 5 (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
32ralimi 3148 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
4 dfss3 3932 . . . 4 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
53, 4sylibr 237 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω → 𝐴 ⊆ Fin)
6 unifi 8789 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
71, 5, 6syl2an 598 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
8 fin2inf 8757 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
98adantr 484 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω) → ω ∈ V)
10 isfiniteg 8754 . . 3 (ω ∈ V → ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
119, 10syl 17 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω) → ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
127, 11mpbid 235 1 ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≺ ω) → 𝐴 ≺ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910  ∪ cuni 4811   class class class wbr 5039  ωcom 7555   ≺ csdm 8483  Fincfn 8484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator