Theorem unifi2 9285

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 9284 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9252). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unifi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unifi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9244	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9244	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ralimi 3086	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
4		dfss3 3932	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → 𝐴 ⊆ Fin)
6		unifi 9284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
8		fin2inf 9252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ω ∈ V)
10		isfiniteg 9247	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
12	7, 11	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105  ωcom 7801   ≺ csdm 8881  Fincfn 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886

This theorem is referenced by: (None)