Theorem unifi2 9348

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This version of unifi 9347 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 9315). (Contributed by NM, 11-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unifi2	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unifi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 9307	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		isfinite2 9307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≺ ω → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ralimi 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
4		dfss3 3970	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ Fin)
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω → 𝐴 ⊆ Fin)
6		unifi 9347	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 5, 6	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ∈ Fin)
8		fin2inf 9315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ω ∈ V)
10		isfiniteg 9310	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → (∪ 𝐴 ∈ Fin ↔ ∪ 𝐴 ≺ ω))
12	7, 11	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ ω) → ∪ 𝐴 ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ωcom 7859   ≺ csdm 8944  Fincfn 8945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949

This theorem is referenced by: (None)