Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1v 27049
 Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1v ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1v
StepHypRef Expression
1 usgr1vr 27048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
21adantrl 715 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3 simplrl 776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
4 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
53, 4usgr0e 27029 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
65ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
72, 6impbid 215 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
87ex 416 . 2 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
9 snprc 4638 . . 3 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10 simpl 486 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐺𝑊)
11 simprr 772 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
12 simpl 486 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → {𝐴} = ∅)
1311, 12eqtrd 2859 . . . . 5 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = ∅)
14 usgr0vb 27030 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1510, 13, 14syl2an2 685 . . . 4 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1615ex 416 . . 3 ({𝐴} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
179, 16sylbi 220 . 2 𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
188, 17pm2.61i 185 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ∅c0 4276  {csn 4550  ‘cfv 6343  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  USGraphcusgr 26945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-uspgr 26946  df-usgr 26947 This theorem is referenced by:  usgr1v0edg  27050
 Copyright terms: Public domain W3C validator