MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1v 29007
Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgr1v ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1v
StepHypRef Expression
1 usgr1vr 29006 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
21adantrl 713 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3 simplrl 774 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺𝑊)
4 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
53, 4usgr0e 28987 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
65ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
72, 6impbid 211 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
87ex 412 . 2 (𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
9 snprc 4714 . . 3 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10 simpl 482 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐺𝑊)
11 simprr 770 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
12 simpl 482 . . . . . 6 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → {𝐴} = ∅)
1311, 12eqtrd 2764 . . . . 5 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = ∅)
14 usgr0vb 28988 . . . . 5 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1510, 13, 14syl2an2 683 . . . 4 (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1615ex 412 . . 3 ({𝐴} = ∅ → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
179, 16sylbi 216 . 2 𝐴 ∈ V → ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
188, 17pm2.61i 182 1 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  c0 4315  {csn 4621  cfv 6534  Vtxcvtx 28750  iEdgciedg 28751  USGraphcusgr 28903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-hash 14292  df-edg 28802  df-uhgr 28812  df-upgr 28836  df-uspgr 28904  df-usgr 28905
This theorem is referenced by:  usgr1v0edg  29008
  Copyright terms: Public domain W3C validator