Theorem usgr1v 29288

Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr1vr 29287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
5	3, 4	usgr0e 29268	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
7	2, 6	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
9		snprc 4722	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ 𝑊)
11		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → {𝐴} = ∅)
13	11, 12	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = ∅)
14		usgr0vb 29269	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
15	10, 13, 14	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
17	9, 16	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
18	8, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {csn 4631  ‘cfv 6563  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  USGraphcusgr 29181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-uspgr 29182  df-usgr 29183

This theorem is referenced by:  usgr1v0edg  29289