Theorem usgr1v 29273

Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr1vr 29272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
2	1	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
3		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
5	3, 4	usgr0e 29253	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 ∈ USGraph))
7	2, 6	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
9		snprc 4717	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
10		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐺 ∈ 𝑊)
11		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
12		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → {𝐴} = ∅)
13	11, 12	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (Vtx‘𝐺) = ∅)
14		usgr0vb 29254	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
15	10, 13, 14	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ (({𝐴} = ∅ ∧ (𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴})) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
17	9, 16	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅)))
18	8, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  USGraphcusgr 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-uspgr 29167  df-usgr 29168

This theorem is referenced by:  usgr1v0edg  29274